Marathon de l'arithmétique

C'est pas avec ce genre de problème que ce sujet risque de bouger XD ; une étude asymptotique bien poussé de la chose est la seul issus à mon humble avis . Bonne journée à tous et faites revivre ce forum .

Abdek_M a écrit:

Je propose ce problème afin de... !!! j'espère

Soit et deux entiers naturels tels que
On suppose que pour tout , , prouver l'existence d'un entier tel que

@Abdek_M puisque personne n'as pu résoudre ce problème on vous invite à nous proposer une solution.

Problème 100:
Un peu facile mais bon je le poste pour faire avancer ce marathon.
Trouver tout les entiers positifs n tel que : 20n+2/2003n+2002
Bonne chance.

expert_run a écrit:

Problème 100:
Un peu facile mais bon je le poste pour faire avancer ce marathon.
Trouver tout les entiers positifs n tel que : 20n+2/2003n+2002
Bonne chance.

Oui, il est facile! Voici ce qu'il faut faire:
On sait que 2 divise 20n+2, il divise donc 2003n+2002. Ainsi 2 divise 2003n. Et puisque 2 et 2003 sont premiers entre eux, on doit avoir n est un entier pair.
Il existe donc un entier naturel k tel que n=2k.
On est ramené à déterminer l'entier k tel que 20k+1 divise 2003k+1001.
Cela équivaut à l'existence d'un entier naturel m tel que 2003k+1001=m(20k+1).
L'équation devient k(2003-20m)+1001-m=0 ou encore 20k(2003-20m)+20020-20m=20k(2003-20m)+2003-20m+18017=0.
Il résulte que (2003-20m)(20k+1)=-18017, ou encore (20k+1)(20m-2003)=18017.
On déduit que 20k+1 divise 18017 (or 18017 est divisible par 43 et par 419 qui sont tous les deux premiers).
Donc 20k+1 est soit égal à 1, soit à 43, soit à 419 ou soit à 18017.
Seul le premier cas qui marche, et qui donne k=0 d'où n=0.
Réciproquement, si n=0 alors 2 divise 2002 (qui est vrai).
Finalement, n=0 est la seule solution à notre problème.
Sauf erreurs.

Liquid a écrit:

Supposer que x=ga et y=gb, où a et b n'ont pas de facteurs premiers en commun.
Puis g^2ab|g^2a^2+g^2b^2-ga => gab|ga^2+gb^2-a => g|a
Mais on a a|ga^2+gb^2-a aussi ==> a|gb^2 => a|g
Donc, a=g et x=a^2!
désolée pour mon français.
un autre problème:
trouver tous n dans N tel qu'il existe a,b (dans Z) avec n^2=a+b et n^3=a^2+b^2

Ta solution est bonne! Je vais essayer de résoudre ce que tu proposes comme exercice:
On a , donc .
On remplace dans l'autre équation pour trouver .
Cela équivaut à une équation du second degré en b: .
Le discriminent de cette équation est .
Et ainsi pour que l'équation admette des solutions entières, il faut que le discriminent soit un carré parfait.
Cela veut dire que est un carré parfait.
On remarque que le discriminent devient négatif de lorsque n est supérieur ou égal à 3, ce cas est par conséquent exclus.
Et par conséquent, si n vérifie l'énoncé alors .
Réciproquement:
Si n=0, alors .
Si n=1, alors .
Si n=2, alors .
Donc, il existe trois valeurs de n pour lesquels l'énoncé est vérifié et ce sont 0, 1 et 2.
Sauf erreurs.

Je propose un exercice que je n'ai pas traité:
Problème 101:
Trouvez tous les quadruplets (a,b,c,n) des entiers tels que .
Bonne chance.

nmo a écrit:

Je propose un exercice que je n'ai pas traité:
Problème 101:
Trouvez tous les quadruplets (a,b,c,n) des entiers tels que .
Bonne chance.

Solution du problème 101:
On suppose que a=<b=<c alors a!+b!+c!=a!(1+(a+1)...b+(a+1)...c)=2^n
Donc a! est une puissance de n alors a= 0 a=1 ou a=2
a=0 ;1 ==>1+b!+c!=2^n ==> soit b! et c! sont de différente parité
Supposons que b! est impair alors b!=1 ==> b=0 ou 1
Ainsi 2+c!=2^n
on a 2^n-2=(-1)^n+1 (mod3)
Si n est pair alors c!=2 ou 1 d'ou c=2 puisque c est pair
Si n=2k alors c!=4^k-2 n'est pas divisible par 5 donc c€ {4;2}

a=2==>b=3 ==> c! est pair
De même c!=2^n-8=(-1)^n+1 (mod3)
Si n est pair alors c!=2! ( ce qui est faux)
Si n=2k alors c!=4^k-8 n'est pas divisible par 5 donc c€ {4;2} (qui donne 4 comme seule valeur de c)s
Alors les seules solutions sont:
(0;0;2); (0,1;2);(1;1;2) et leurs permutations avec n=2 ainsi (2,3,4) et ses permutations avec n=5 ...

j'ai fais la meme methode

je propos un nouveau exerice
Exercice 102 :
soit a b et des entiers naturels tel que
on pose x=a+b+c et y=ab+ac+bc et z=abc pouver que

bonne chance

nmo a écrit:

Liquid a écrit:

Supposer que x=ga et y=gb, où a et b n'ont pas de facteurs premiers en commun.
Puis g^2ab|g^2a^2+g^2b^2-ga => gab|ga^2+gb^2-a => g|a
Mais on a a|ga^2+gb^2-a aussi ==> a|gb^2 => a|g
Donc, a=g et x=a^2!
désolée pour mon français.
un autre problème:
trouver tous n dans N tel qu'il existe a,b (dans Z) avec n^2=a+b et n^3=a^2+b^2

Ta solution est bonne! Je vais essayer de résoudre ce que tu proposes comme exercice:
On a , donc .
On remplace dans l'autre équation pour trouver .
Cela équivaut à une équation du second degré en b: .
Le discriminent de cette équation est .
Et ainsi pour que l'équation admette des solutions entières, il faut que le discriminent soit un carré parfait.
Cela veut dire que est un carré parfait.
On remarque que le discriminent devient négatif de lorsque n est supérieur ou égal à 3, ce cas est par conséquent exclus.
Et par conséquent, si n vérifie l'énoncé alors .
Réciproquement:
Si n=0, alors .
Si n=1, alors .
Si n=2, alors .
Donc, il existe trois valeurs de n pour lesquels l'énoncé est vérifié et ce sont 0, 1 et 2.
Sauf erreurs.

On peut aussi remarquer qu'on a:

2(a²+b²)>=(a+b)² <=> 2n^3>=n^4 <=> n£{0,1,2}

aymas a écrit:

je propos un nouveau exerice
Exercice 102 :
soit a b et des entiers naturels tel que
on pose x=a+b+c et y=ab+ac+bc et z=abc pouver que

bonne chance

Notons et supposons que , soit alors un diviseur premier de , remarquons ensuite que les polynômes et sont égaux dans ,ils ont donc les mêmes racines, ce qui montre finalement que qui est bien en contradiction avec la première condition

Je n'ai pas de problème à proposer pour l'instant.

Problème 103:

Trouver le plus petit entier strictement positif n tel que:
(i) n a exactement 144 diviseurs positifs distincts, et
(ii) il y a 10 entiers consécutifs parmi les diviseurs positifs de n.

Vz a écrit:

aymas a écrit:

je propos un nouveau exerice
Exercice 102 :
soit a b et des entiers naturels tel que
on pose x=a+b+c et y=ab+ac+bc et z=abc pouver que

bonne chance

Notons et supposons que , soit alors un diviseur premier de , remarquons ensuite que les polynômes et sont égaux dans ,ils ont donc les mêmes racines, ce qui montre finalement que qui est bien en contradiction avec la première condition

Je n'ai pas de problème à proposer pour l'instant.

j'arrive pas à saisir le passage en rouge,qu'est ce qui nous donnerait le droit d'utiliser z/pz de cette façon??normalement si (x-a)(x-b)(x-c)=0/ alors on pourrait uniquement conclure que a=0 ou b=0 ou c=0[p]..non? merci de donner plus d'explications

et pour ma part voici une autre solution de l'exo 102:
soit p un diviseur commun de x ,y et z
donc p/a^3 et p/b^3 et p/c^3 d'où p/pgcd(a^3,b^3,c^3)=(pgcd(a,b,c))^3=1 donc p=1 d'où la conclusion.j'aimerais bien comprendre la solution de "vz" pour plus d'astuces peut-être.