exo inégalité

salut:

Prouver que pour tous les réels x,y>0

x/(x^4+y^2) +y/(x^2+y^4)=< 1/xy

x^4 + y² > = 2x²y et x² + y^4 >= 2xy²
donc x/(x^4 + y²)<= 1/2 xy et y/(x²+y^4) <= 1/2xy
en sommant tu retrouves le resultat

Solution :

On a selon IAG:
x^4+y²>= 2x²y
Alors : 1/(x^4+y²)<= 1/2x²y
Alors :
x/(x^4+y²)<= 1/2xy

De même :
y/(x²+y^4)<= 1/2xy

En sommant les deux inégalités, le résultat en découle.

Norax a écrit:

Mon premier exercice :
Montre que , si x>10²
1-(2/x) + 3/x² > 0.9

1-(2/x) + 3/x² =(x²+3)/x² - 2/x

On a x²+3>x² <==> (x²+3)/x² >1

Et 2/x < 2/10² <==> -2/x > -2/10²

Donc (x²+3)/x² - 2/x> 1-2/10²

1-2/10²= 98/100=0,98>0,9

donc 1-(2/x) + 3/x² > 0.9

Norax a écrit:

Ex3:
a et b et c et d appartiennent a R et a<b ; c<d
Montre que
ac+bd>= 1/2(a+b)(c+d)

En faisant la méthode classique on trouve: (ac+bd-ad-bc)/2

ac+bd-ad-bc=(a-b)(c-d)

(c-d)<0 et (a-b)<0

donc (a-b)(c-d)>0

On conclue donc que: ac+bd>= 1/2(a+b)(c+d)

Norax a écrit:

Ex 2:
a et b appartient a R*+ , a<=b
Montre que
a<=2/(1/a)+(1/b)<=R ab <= (a+b)/2 <= R ((a²+b²)/2)

C koi "R" qui est dans "a<=2/(1/a)+(1/b)<=R ab <= (a+b)/2 <= R ((a²+b²)/2)"

pour le 2ex R veut dire racine

Exercice 3 :

Voici une méthode plus élégante:
On veut montrer :
ac+bd >= 1/2(a+b)(c+d)
<==> ac+bd >= (a/2 + b/2)(c+d)
<==> ac+bd >= ac/2 + ad/2 + bc/2 + bd/2
<==> 2ac+2bd >= ac+ad+bc+bd
<==> ac+bd>= ad+bc
<==> ac+bd-ad-bc>=0
<==> a(c-d)-b(c-d)>=0
<==> (c-d)(a-b) >=0
Ce qui est vrai vu que a<b et c<d
CQFD.

Exercice 3 :

Moyen harmonique - Moyen géométrique - Moyen arithmétique - Moyen quadratique...
Min(a,b)<=2/(1/a)+(1/b)<=rac(ab)<=(a+b)/2<=rac((a²+b²)/2)<= Max(a,b)

Merci Aminox ! Merci Konica !

Ehh Konica ! J suis en tronc commun et pour les moyens que tu viens de me dire , je les avez trouver sur internet mais je ne peux pas les utiliser tant que je les ai pas fais en cours tu aurai pour moi une astuce plus detaillé , sinon merci de toute façon

Norax a écrit:

Ehh Konica ! J suis en tronc commun et pour les moyens que tu viens de me dire , je les avez trouver sur internet mais je ne peux pas les utiliser tant que je les ai pas fais en cours tu aurai pour moi une astuce plus detaillé , sinon merci de toute façon

Meme si tu n'as pas fait ces moyens ; Il faut les apprendre

Oui mais est ce que tu crois que si je mets une reponse pareil à mon prof il va l'accepter ?

C pour les olympiades,pas pour ton prof

Allez,postez des exos

konica a écrit:

Exercice 3 :

Voici une méthode plus élégante:
On veut montrer :
ac+bd >= 1/2(a+b)(c+d)
<==> ac+bd >= (a/2 + b/2)(c+d)
<==> ac+bd >= ac/2 + ad/2 + bc/2 + bd/2
<==> 2ac+2bd >= ac+ad+bc+bd
<==> ac+bd>= ad+bc
<==> ac+bd-ad-bc>=0
<==> a(c-d)-b(c-d)>=0
<==> (c-d)(a-b) >=0
Ce qui est vrai vu que a<b et c<d
CQFD.

c la méme methode que j'ai fai

Ehh C'etait un exs donné par mon prof , mais d toute façon merci , Voila ce lien , d'exercices marocmaths.com/cours/exordre.pdf

Norax a écrit:

Ex 2:
a et b appartient a R*+ , a<=b
Montre que
a<=2/(1/a)+(1/b)<=R ab <= (a+b)/2 <= R ((a²+b²)/2)

Tu peux simplement utiliser la méthode classique(soustraction)

Oui j vois merci ^^

c'est pas des ex d'olymp

Rimetta j crois que cet article n'est pas pour les exrs d'olymp non?

Ouais c ce que je vois, allez postez des exos svp