préparation aux olympiades

Oty a écrit:

Probleme 6
soit f une fonction numérique définie sur R+ tele que :
x->f(x)-x^3 et x->f(x)-3x sont deux fonction croissantes sur R+ .
Montrer que :
x->f(x)-x-x² est aussi une fonction croissante sur R+ .

Soit , et .
Soient x et y deux réels strictement positifs,
Puisque h est croissante, alors , ou encore .==>(1)
Puisque k est croissante, alors , ou encore .==(2)
On a d'autre part, .
***Le premier cas: si x et y sont inférieurs à 1.
On a et selon 2, il vient donc .
Donc g est croissante sur ]0,1].
***Le deuxième cas: si x et y sont supérieurs à 1.
On a , et .
Donc et selon 1, il vient donc .
Donc g est croissante sur [1,[.
***Conclusion: g est croissante sur ]0,1] et sur [1,[.
Donc g est croissante sur [0,[.
CQFD.
Sauf erreurs!

Poste un exo stp

boubou math a écrit:

Poste un exo stp

Si vous avez étudiez les matrices, voici un problème:
Soit la matrice définie par: .
Calculez , pour tout entier naturel n.
( et .)
Sinon, calculez la somme: où n et p sont des entiers naturels donnés.
Bonne chance.

pas encore étuidés ^^

legend-crush a écrit:

pas encore étuidés ^^

Donc, il faut calculer la somme que j'ai proposée...

Solution Pour le 2:
Notation je note pout tout entier naturel l et tout entier naturel k: [p"k] egale a k (parmi p).
On note aussi A la somme recherchée.
Donc A=sum(0->n)(((i+p)!)/i!)
Ainsi A=(p!)sum(0->n)([i+p"p])
Donc A=(p!)sum((-p)->n)([i+p"p])
Donc par changement d'indices:
A=(p!)sum(0->n+p)([j"p])
Donc A=(p!)[(n+p+1)"(p+1)]
Cette derniere egalité est bien connue mais c'est aussi demontrable par simple recurrence.

nmo a écrit:

Si vous avez étudiez les matrices, voici un problème:
Soit la matrice définie par: .
Calculez , pour tout entier naturel n.
( et .)
Sinon, calculez la somme: où n et p sont des entiers naturels donnés.
Bonne chance.

Au debut quand j'ai vu ce problème il y a quelque jour il ne m'inspirait rien de bon , je viens d'y retourner aujourd hui il y a quelque heure et Hamdoullah tout semblé plus facile avec l'aide du stage que je poursuis en ce moment a Edukaty , Ma solution pour le Probleme 2 est similaire que celle de Yasserito , sauf qu'il fut plus rapide a posté . Voici en détaille ma solution :
on Note S la somme voulu :

malheureusement pour le résultat final je n'ai pas trouver un autre moyen que le conjecturé puis le prouver par récurrence , nmo avez vous une manière plus direct pour le prouver sans récurrence ?

Oty a écrit:

malheureusement pour le résultat final je n'ai pas trouver un autre moyen que le conjecturé puis le prouver par récurrence , nmo avez vous une manière plus direct pour le prouver sans récurrence ?

Non, je ne connais aucune autre méthode; il n'y a que la récurrence.
Je vous propose un nouvel exercice, que j'ai apprécié:
Soit f une fonction définie de l'ensemble des réels vers lui même, vérifiant: .
Montrez que f n'est pas continue sur I.
Bonne chance.

Par absurde, on suppose que f est continue , comme elle est injective donc elle est strictement monotone donc fof est strictement croissante ce qui est bien évidemment faux.

yasserito a écrit:

Par absurde, on suppose que f est continue , comme elle est injective donc elle est strictement monotone donc fof est strictement croissante ce qui est bien évidemment faux.

C'est une très bonne solution!
A toi de proposer un nouvel exercice...

Je vous propose deux exercices:
Trouvez toutes les fonctions C1 f definies sur IR et a valeurs reelles telles que:
fof=f.
Existe il une surjection continue de [0,1[ vers IR.

P.S/ c'etait quoi ta solution nmo pour l'exo precedent?

yasserito a écrit:

Par absurde, on suppose que f est continue , comme elle est injective donc elle est strictement monotone donc fof est strictement croissante ce qui est bien évidemment faux.

excusez moi mais il me semble qu'il y a une erreur , quand tu suppose par l'absure que f est continue ,
il faut faire attention au quantificateur , l'absurde c'est il existe xo sur le quelle f est continue , non ?

Oty a écrit:

yasserito a écrit:

Par absurde, on suppose que f est continue , comme elle est injective donc elle est strictement monotone donc fof est strictement croissante ce qui est bien évidemment faux.

excusez moi mais il me semble qu'il y a une erreur , quand tu suppose par l'absure que f est continue ,
il faut faire attention au quantificateur , l'absurde c'est il existe xo sur le quelle f est continue , non ?

Je vois que c'est le contraire, c'est en ce qu'on doit démontrer qu'on a le quantificateur existentiel.
La supposition de yasserito nous ramène au quantificateur universel.

yasserito a écrit:

P.S/ c'etait quoi ta solution nmo pour l'exo precedent?

C'est la même solution que j'avais en tête.

Oty a écrit:

yasserito a écrit:

Par absurde, on suppose que f est continue , comme elle est injective donc elle est strictement monotone donc fof est strictement croissante ce qui est bien évidemment faux.

excusez moi mais il me semble qu'il y a une erreur , quand tu suppose par l'absure que f est continue ,
il faut faire attention au quantificateur , l'absurde c'est il existe xo sur le quelle f est continue , non ?

Bonjour, c'est le contraire car( f n'est pas continue <=> il existe x tel que f n'est pas continue en x)
La question dont la réponse sera la votre est: Montrer que f n'est pas continue en aucun point de Df.

Ah oui vous avez raison j'ai mal lu la question , Merci beaucoup .
bah comme l'analyse est assez apprécier je propose le problème suivant si yasserito ne voit pas d’inconvénient .
Problème
soit (an)n>=0 une suite a valeurs positives qui vérifient :
pour tout entiers naturels m et n .

ou C est une constante positive .
Prouver que
est convergente .

yasserito a écrit:

Je vous propose deux exercices:
Trouvez toutes les fonctions C1 f definies sur IR et a valeurs reelles telles que: fof=f.

Voici une solution célèbre de ce problème:
.
Au plaisir!

Oty a écrit:

nmo a écrit:

Si vous avez étudiez les matrices, voici un problème:
Soit la matrice définie par: .
Calculez , pour tout entier naturel n.
( et .)
Sinon, calculez la somme: où n et p sont des entiers naturels donnés.
Bonne chance.

Au debut quand j'ai vu ce problème il y a quelque jour il ne m'inspirait rien de bon , je viens d'y retourner aujourd hui il y a quelque heure et Hamdoullah tout semblé plus facile avec l'aide du stage que je poursuis en ce moment a Edukaty , Ma solution pour le Probleme 2 est similaire que celle de Yasserito , sauf qu'il fut plus rapide a posté . Voici en détaille ma solution :
on Note S la somme voulu :

malheureusement pour le résultat final je n'ai pas trouver un autre moyen que le conjecturé puis le prouver par récurrence , nmo avez vous une manière plus direct pour le prouver sans récurrence ?

Salut Oty, j'avais une question le calcul de la somme double et tout à fait le même que j'ai suivis, sauf pour la somme des combinaisons, comment tu as pu conjecturer, une telle somme en fonction des combinaisons?
@nmo: d'autres sommes (également doubles) seront les bienvenus, pour se familiariser un peu avec .

Mohammed_Lahlou a écrit:

Salut Oty, j'avais une question le calcul de la somme double et tout à fait le même que j'ai suivis, sauf pour la somme des combinaisons, comment tu as pu conjecturer, une telle somme en fonction des combinaisons?
@nmo: d'autres sommes (également doubles) seront les bienvenus, pour se familiariser un peu avec .

la reccurence c'est une stratégie de base il faut savoir la manier , sinon tu peux utilisé l'égalité suivante :

Oty a écrit:

Ah oui vous avez raison j'ai mal lu la question , Merci beaucoup .
bah comme l'analyse est assez apprécier je propose le problème suivant si yasserito ne voit pas d’inconvénient .
Problème
soit (an)n>=0 une suite a valeurs positives qui vérifient :
pour tout entiers naturels m et n .

ou C est une constante positive .
Prouver que
est convergente .

Le problème que t'as proposé est bien connu en posant (b_n) la suite qui verifie b_n=a_n+c pour tout n appartenant a IN; Donc la condition devient b_(n+m)<=b_n+b_m pour tout m et n appartenant a IN, avec b_n>=0 pour tout entier naturel n; on se ramene a un pb classique dont tu peux touver une solution partout sur le net ( ca se fait avec des recurrences et des manipulations de born inf)

Je propose un exercice en complexe que je trouve interessant.
Demontrez que ABC est equilateral si et seulement si a^2+b^2+c^2 = ab+ac+bc
Avec A, B et C daffixe respectivement a ,b et c

Bonsoir, je propose cette solution:
ABC equilateral
<==>
AB=AC
AB,AC = Pi/3 [2Pi]
(ou -Pi/3 ca donne le meme resultat en elveant au carre)
<==>
(b-a)/(c-a)=1/2+(V3/2)i
<==>
[(b-a)/(c-a)-1/2]²=-3/4
<==>
(b²-2ab+a²)/(c²-2ac+c²)-(b-a)/(c-a)+1=0
<==>
(b²-2ab+a²)/(c-a) -b+c=0
<==>
b²-2ab+a²-bc+c²+ab-ac=0
<==>
a²+b²+c²=ab+bc+ac

ABC équilatéral <==> a=b=c <==> (a-b)²+(b-c)²+(c-a)²=0 <==> a²+b²+c²=ab+bc+ca

Geo a écrit:

ABC équilatéral <==> a=b=c <==> (a-b)²+(b-c)²+(c-a)²=0 <==> a²+b²+c²=ab+bc+ca

Je ne comprend pas ce qui est en rouge ? ! Est-ce une propriété ?

Lol a=b=c <==> A=B=C <==> ABC est un point, et non un triangle

Je vous propose 2 jolis exos:
1)

On considère ce plateau de jeu. On souhaite le paver(couvrir) de dominos à 2 cases(qu'on peut disposer soit horizontalement soit verticalement). Est-ce possible ?

2)
Trouver tous les entiers strictement positifs x, y et z tel que:
1/x + 1/y + 1/z = 1