préparation aux olympiades

Geo a écrit:

ABC équilatéral <==> a=b=c <==> (a-b)²+(b-c)²+(c-a)²=0 <==> a²+b²+c²=ab+bc+ca

C'est faux géo si les affixes sont égaux, cela permet de dire que les points sont les mêmes, or c'est un triangle ..

Oty a écrit:

Ah oui vous avez raison j'ai mal lu la question , Merci beaucoup .
bah comme l'analyse est assez apprécier je propose le probleme suivant si yasserito ne voit pas d'inconvenient .
Probleme
soit (an)n>=0 une suite a valeurs positives qui vérifient :
pour tout entiers naturels m et n .

ou C est une constante positive .
Prouver que
est convergente .

Voici ma solution :
Démontrons par réccurence que pour tout n de IN* a_n=<na_1+nC.
Inition n =1 on a a_1=<a_1+C, ce qui est vrai puisque C est une constante positive.
Soit n de IN*, supposons que a_n=<na_1+nC, et démontrons que a_(n+1) =< (n+1)a_1+(n+1)C,
On sait que a_(n+1) =< a_1 + a_n +C (m = 1, n fixée), et d'après la supposition a_n=<na_1+nC, donc a_(n+1)=< na_1+nc+c+n, donc a_(n+1) =< (n+1)a_1+(n+1)C, ce qui acheve la réccurence.
a_n=<na_1+nc => (a_n)/n =< a_1+C, ce qui prouve que a_n /n est majorée.
démontrons que (a_n)/n est croissante.
(a_(n+1))/n+1 - (a_n)/n = (na_(n+1) -na_n - a_n)/n(n+1)
= n(a_(n+1)-a_n)-a_n/n(n+1),
or a_(n+1)-a_n =< a_1+C, et donc n(a_(n+1)-a_n) =< n(a_1+C),
et puisque a_n =<n(a_1+C), on a n(a_(n+1)-a_n)-a_n/n(n+1) >= 0,
Ce qui montre que a_(n+1)/n+1 >= a_n /n, et donc (a_n)/n est croissante.
Conclure.

Syba a écrit:

Trouver tous les entiers strictement positifs x, y et z tel que:
1/x + 1/y + 1/z = 1

c 'est le classique des classiques , S={(3.3.3) (2.3.6) (2.4.4) } b leurs permutations biensur


il faut pas poster un autre exercice sans avoir une confirmation

Oty a écrit:

Ah oui vous avez raison j'ai mal lu la question , Merci beaucoup .
bah comme l'analyse est assez apprécier je propose le problème suivant si yasserito ne voit pas d’inconvénient .
Problème
soit (an)n>=0 une suite a valeurs positives qui vérifient :
pour tout entiers naturels m et n .

ou C est une constante positive .
Prouver que
est convergente .

On se ramène à C=0 en posant b_n=a_n+C
b_(n+m)=< b_n+b_m
(b_n/n) converge ssi (a_n/n) car C/n --->0