#Grand Jeu d'été (2007 ) TSM EST COMENCE ==>

slt
bon voila ma solution
on remarque a et b et c jouent des roles symetriques
alors on peut supposer que a>=b>=c
donc d'apres chebychev on a :
(a^3+b^3+c^3)>=(a^2+b^2+c^2)(a+b+c)/3
cad 1/(a^2+b^2+c^2)>= (a+b+c)/3 *
et on a d'apres c-s:
(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)>=9
cad 1/a+1/b+1/c>=9/(a+b+c) **
en aditionnant * et ** on obtient
a^2+b^2+c^2+1/a+1/b+1/c>=9/(a+b+c)+(a+b+c)/3
on obtient directement le resultat en appliquant AM-GM
demonstration achevee.

je crois que c la mm meth que wiles

stof065 a écrit:

a.b.c >0 tel que a^3+b^3+c^3=1
montrer que
S=1/(a²+b²+c²) + 1/a +1/b +1/c >=2rac(3) (ma création)

on a
a²+b²+c²=<(a+b+c)² et (a+b+c)(1/a+1/b+1/c)>=9 ;
et (a+b+c)^3=<9(a^3+b^3+c^3)=9 ==> 1/(a+b+c)>=1/[3]sqrt(9)=µ²
(notons µ 1/(la racine cubique de trois) )
d'ou on a
S>=1/(a+b+c)²+9/(a+b+c)>=µ^4+9µ²=1/3µ+3µ>2rac(3)

bonjour
je crois que c'est a mon tour de poster un exo
EXERCICE N° 43
soit f une application definie de R vers R et qui realise les conditions suivantes:
a) f est injective
b) (∀ x £ R) f(x)f(1-x)=f(ax+b) avec a et b de R
1/montrez que a=0 et f(1-b)=1
2/montrez que f n'est pas surjective

PS: A cause de mon voyage;je serait dans l'incapacite de poster un nouvel exo je prie alors le groupe organisateur de bien vouloir me remplacer si personne ne repond au probleme.

Lisez ce qui est en rouge avant de répondre

Les reponses doivent etre poster ici du le moment qu'on propose l'exo et le premier qui donne une solution juste avec une démonstration complète aura 2 points et proposera lui aussi un exo et ainsi de suite.
si personne n'as résolu l'exo durant 48 heures alors celui qui à proposer l'exo donnera la solution et proposera un autre

Bonjour a tous,
voici ma solution:

1)Pour x=0 on a f(0)f(1)=f(b),
et pour x=1 on a f(1)f(0)=f(a+b).
et par injectivite de f on a a=0.
Et pour x=b on a f(b)f(1-b)=f(b) ce qui donne f(1-b)=1 ou f(b)=0
la deuxieme est impossible car si c est le cas f(x)f(1-x)=0 \forall x\in R, absurde vu l injectivite de f.

2)0 n a pas d antecedent (meme resonnement que la deuxieme partie de 1))

bonsoir,

que quelqu un de la commite d organisation commente, pour que je puisse poster mon exo si ma solution est juje juste.

message sana accents

abdelilah a écrit:

Bonjour a tous,
voici ma solution:

1)Pour x=0 on a f(0)f(1)=f(b),
et pour x=1 on a f(1)f(0)=f(a+b).
et par injectivite de f on a a=0.
Et pour x=b on a f(b)f(1-b)=f(b) ce qui donne f(1-b)=1 ou f(b)=0
la deuxieme est impossible car si c est le cas f(x)f(1-x)=0 forall xin R, absurde vu l injectivite de f.

2)0 n a pas d antecedent (meme resonnement que la deuxieme partie de 1))

t'as raison
voila une idée pour x=1/2 on obtien f(b)>=0 et puisque f(b)#0 alors
f(x)f(1-x)=f(b)#0 pour tt x de R alors 0 n'a po dantecedant
alors tu peux poster ton exo ! ( mais ou etes vous les organisateurs !!)

oui t as raison selfrespect, et c est vrai : les organisateurs se sont eclipser, ce sont les vacancces.

Pour l exo, c est de la geometrie:

Si C(O,R) et C(G,r) sont respectivement les cercles circonscrit et inscrit du triangle ABC.
Mq : OG<= sqrt(R(R-2r)).

Je pense Que le seul organisateur c ALaoui.omar il se peut qu'il soit en voyage alors il faut qu'il soit plusieurs organisateur et n'ont pas un seul !

pour le problème proposé par Monsieur abdelilah c'est l'égalité et non pas "=<"

EXERCICE N° 44
Permettez moi Monsieur abdelilah de poster mon problème mème ce n'est pas moi qui a répondu à ton exo( c'est Euler).
déterminer tous les paires (m,n)£IN² qui vérifient l'équation suivante:
(m+2)^4-m^4=n^3
ce problème est du à moi.

Lisez ce qui est en rouge avant de répondre

Les reponses doivent etre poster ici du le moment qu'on propose l'exo et le premier qui donne une solution juste avec une démonstration complète aura 2 points et proposera lui aussi un exo et ainsi de suite.
si personne n'as résolu l'exo durant 48 heures alors celui qui à proposer l'exo donnera la solution et proposera un autre

Bonjour ,
je crois que lensemble de solution est vide en fait on a :
(E)<==> 8(m+1)[(m+1)²+1]=n^3 (E')
alors il existe k dans N tel que n=2k
alors (E') <==> (m+1)[(m+1)²+1]=k^3
on a (m+1)^[(m+1)²+1]=1
et puisque (m+1)/k^3 alors il s'ecrit forcement sous la forme s^3 c a d ,m+1=s^3
de mm on a (m+1)²+1=r^3
on a alors s^6+1=r^3
==> (r-s²)(r²+rs²+s^4)=1
==>r=1 et s=0
d'ou on deduit m=-1 et n=0 !!
alors S={}
^^

tout à fait juste,bravo!

boukharfane radouane a écrit:

Ton exo Selfrespect svp?

merçi radouane voila mon exo (il ne necessite aucune connaissance special !) tiré d1 livre dolympiade (non resolu )

EXERCICE N° 45
Tout a coup la lumiere electrique s'eteignit dans votre appartement , alors vous allumez deux bougies et vous continuez ce que vous etiez en train de faire ,vous dormez . le lendemain matin vous reveillez ( ) et vous voulez savoir commbien a duré la coupure de lelectricité et vous le demandez a votre frere ( vous ne connaissez ni lheure de coupure ni lheure de reparation ! et vous ne connaissez mm po la longeur initial des bougies ! , mais vous connaissez que lune des bougie etait prevu pour bruler 5 h et lautre 4h !) , celui la vous dit quel'une des bougies restantes etait 4 fois plus longue que l'autre ,!
pourriez vous savoir la durée da la panne ?
( c hyper amusant )
bonne chance .

Lisez ce qui est en rouge avant de répondre

Les reponses doivent etre poster ici du le moment qu'on propose l'exo et le premier qui donne une solution juste avec une démonstration complète aura 2 points et proposera lui aussi un exo et ainsi de suite.
si personne n'as résolu l'exo durant 48 heures alors celui qui à proposer l'exo donnera la solution et proposera un autre

si les deux brulent a la même vitesse, et si T est la durée de la panne alors 5-T = 4(4-T) (c'est la deuxième bougie qui est la plus petite) donc 3T = 11, d'ou T = 11/3 = 2h45min

je vois pas en quoi c difficile, peut etre que j'ai pas bien compris le problème.

schwartz a écrit:

si les deux brulent a la même vitesse, et si T est la durée de la panne alors 5-T = 4(4-T) (c'est la deuxième bougie qui est la plus petite) donc 3T = 11, d'ou T = 11/3 = 2h45min

tt a fait juste !

schwartz a écrit:

je vois pas en quoi c difficile, peut etre que j'ai pas bien compris le problème.

j'ai dit le contraire

selfrespect a écrit:

il ne necessite aucune connaissance special

c a d mm un eleve de tc peut le resoudre il fallairt seulemnt organiser les infos.
mnt tu peux poster ton exo !.

salut
ben ,je propose un autre exo ,si vous permettez mr schwartz. que jai deja posté pourtant qu il est façil personne na essayé avec.


EXERCICE N° 46
soit ABC un triangle dont les cotés a,b,c .on suppose que pour tt naturel n>=1, a^n,b^n,c^n sont des cotés d'un triangle .
Demontrer que ABC est isocel.
a+



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Les reponses doivent etre poster ici du le moment qu'on propose l'exo et le premier qui donne une solution juste avec une démonstration complète aura 2 points et proposera lui aussi un exo et ainsi de suite.
si personne n'as résolu l'exo durant 48 heures alors celui qui à proposer l'exo donnera la solution et proposera un autre

Alaoui.Omar a écrit:

SVP Selfrespect la soluton de ton exercice et poste un autre ,Merci ( dsl pour le retard)

salut
on suppose qu il nest pas un triangle isocel alors c>a>b (nn)
on cherche une contradictiopn (ABC) nest pas un triangle apres un certain rang
so , montrons qu il existe n0 tel que a^n0+b^n0 considerant la suite :Vn=(a^n+b^n)/c^c >0
on a a/c<1 et b/c<1 alors Vn convergente de limite 0
euh diffinition ==> soit epsilon =1
il exisste N tel que qq soit n>N ,0alors prenons n0=N+1
dou le resultat ** ==> ABC n est pas un triangle pour n=N+1 !!!
ABC est isocel.
svp qq1d autres postera un pb je serais reconnaissant .
merci

Salut tout le monde,permette moi mon ami selrespect de proposé cet exo qui est constitué de trois questions et pour que la réponse soit correcte,il faut répondre au moins à 2/3.

EXERCICE N° 47
1-prouvez qu'il n'existe pas une fonction f:IR->IR telle que
f(f(x))=-x^3.
2-Trouver toutes les fonctions définies de Z vers Z et qui vérifient les trois conditions suivantes:
*f(0)=1
**f(f(n))=n
***f(f(n+2)+2)=n
3-Trouve toutes les fonctions f:]0,+infini[->]0,+infini[ telles que
f(f(x)+y)=xf(1+xy)

Lisez ce qui est en rouge avant de répondre

Les reponses doivent etre poster ici du le moment qu'on propose l'exo et le premier qui donne une solution juste avec une démonstration complète aura 2 points et proposera lui aussi un exo et ainsi de suite.
si personne n'as résolu l'exo durant 48 heures alors celui qui à proposer l'exo donnera la solution et proposera un autre

comment en peut etres avec vous au compitition

exo1:
on peut aisement prouver que : f(-x^3)=-f(x)^3
donc f(0)=0
et on a f(1)=-f(-1)^3 et f(-1)=-f(1)^3
donc f(1)=f(1)^9
alors f(1)=0 ou f(1)=1 ou f(1)=-1
*si f(1)=0 alors f0f(1)=f(0)=0
mais d'apres la condition f0f(1)=-1 contradiction
*si f(1)=1 alors f0f(1)=f(1)=1
mais d'apres la condition f0f(1)=-1 contradiction
*si f(1)=-1 alors f(-1)=-1 donc f0f(-1)=f(-1)
mais d'apres la condition f0f(-1)=1 contradiction
il n'existe donc aucune application qui realise les conditions du probleme
demonstration achevee.
exo2:
a petites valeurs on peut tres bien prouver que f(n)=1-n
exemple:
f(0)=1 donc f0f(0)=f(1) donc f(1)=0
f(f(1)+2))=-1 donc f(-1)=2
prouvons par recurrence que f(n)=1-n
pour cela on supose que pour un certain n de N qulqsoit k tel que -n<=k<=n on a f(k)=1-k
on doit prouver que f(n+1)=-n et f(-n-1)=n+2
pour n=1 la propriete est vrai
*prouvons que f(n+1)=-n
on a f(f(n+2)+2)=n
en remplacant n ar -n on aura
f(f(2-n)+2)=-n
et puisque -n<=2-n<=n
alors f(2-n)=n-1
donc f(n+1)=-n
*prouvons que f(-n-1)=n+2
on a f(f(n+2)+2)=n donc f0f(f(n+2)+2)=f(n)
donc f(n+2)+2=f(n)
en remplacant n par -n-1 on trouve que:
f(-n-1)=f(1-n)+2
et puisque -n<=1-n<=n
on a f(1-n)=n
donc f(-1-n)=n+2
recurrence achevee.

quelle rége tu as étuliser premiérement quand tu as dit f(-x^3)=-f(x)^3