#Grand Jeu d'été (2007 ) TSM EST COMENCE ==>

ok clair ! lol
voiçi le nouveau exo :

EXERCICE N° 37
Soit r un irrationel ,
existe il un triangle ABC isocel en A tel que soit
A(1/4,r) et les cordonnées de B et C sont des entiers
bonne chance !

Lisez ce qui est en rouge avant de répondre

Les reponses doivent etre poster ici du le moment qu'on propose l'exo et le premier qui donne une solution juste avec une démonstration complète aura 2 points et proposera lui aussi un exo et ainsi de suite.
si personne n'as résolu l'exo durant 48 heures alors celui qui à proposer l'exo donnera la solution et proposera un autre

slt tt le monde
un tel triangle n'existe pas.
la preuve:
suposons qu'un tel triangle existe
on mene le plan d'un repere orthonorme (o,i;j)
la condition AB=AC devient alors:
(xb-xa)²+(yb-ya)²=(xa-xc)²+(ya-yc)²
xb²-xb/2+yb²-2ryb=xc²-xc/2+yc²-2ryc
2r(yc-yb)=xc²-xc/2+yc²-yb²+xb/2-xb²
*si yc-yb different de 0
on aura r=(xc²-xc/2+yc²-yb²+xb/2-xb²)/2(yc-yb)
mais ce n'est pas possible puisque r est irrationel
ainsi on a yc =yb
donc:xc²-xc/2+yc²-yb²+xb/2-xb²=0
xc²-xc/2+xb/2-xb²=0
(xc-xb)(xc+xb-1/2)=0
donc xc=xb ou xc+xb=1/2
puisque xc et xb appartiennent a N on ne peut pas avoir xc+xb=1/2
et on a alors xc=xb et on sait deja que yc=yb
alors B=C ce que contredit le fait que ABC est un triangle.
demonstration achevee.

bien fait wiles ! t'as merité ce point
a toi de poster ton exo .

EXERCICE N° 38
existe-il deux fonctions f et g definies de R vers R tel que :
f(g(x))=x² et g(f(x))=x^3

Lisez ce qui est en rouge avant de répondre

Les reponses doivent etre poster ici du le moment qu'on propose l'exo et le premier qui donne une solution juste avec une démonstration complète aura 2 points et proposera lui aussi un exo et ainsi de suite.
si personne n'as résolu l'exo durant 48 heures alors celui qui à proposer l'exo donnera la solution et proposera un autre

on a g(f(g(x)))=g(x)^3 donc g(x²)=g(x)^3 donc g(-x)^3=g(x²) donc g(-x)^3=g(x)^3 donc g(-x)=g(x) donc g est une fonction paire donc g(f(x)) est une fonction paire est on a x^3 est une fonction impaire donc g(f(x)) est une fonxtyion impaire ce qui est absurde donc il n existe aucune fonction g est f tel que g(f(x))=x^3 et f(g(x))=x²

nn mon ami je vois qu'il y a une d'erreurs dans ta reponse.
en effet de g(-x)=g(x) tu ne peut pas conclure que g(f(x)) est une fonction paire sauf si tu parvient a prouver que f est impaire et ceci ne me semble pas du tt trivial.

bon je pense que 48h est passè a toi de posè la solution et un autre exercice

Puisque le temps est passé je peux répondre.
On a g(f(x)=x^3 donc gof est injective et donc f est injective.
D'autre part on a f(x^3)=f(g(f(x)))=f(x)^2.
Maintenant prenons les x_i qui verifient x_i^3=x_i c'est à dire que x_i=-1,0 et 1
Pour ces x_i on a f(x_i)=f(x_i^3)=f(x_i)^2 et alors on af(x_i)=0 ou 1 ce qui veut dire qu'il existe x_i different de x_j tel que f(x_i)=f(x_j) contradiction (f est injective)
Donc de telles fonctions n'existent pas.

A toi Wiles de poser un nouveau Exo

est ce qon peut dire la solution suivante ?

gof(x)=x^3 (bijectives)=>g et f bijectives(par contraposé)
=>fog bijective
contradiction avec fog=x² qui nest pas injective
donc deux fonctions f et g satisfaisant les relations précedentes n existent pas!

Non, ceci n est pas vrai

o0aminbe0o a écrit:

est ce qon peut dire la solution suivante ?

gof(x)=x^3 (bijectives)=>g et f bijectives

par contre ceci donne f est injective et g et surjective.

slt tt le monde
desole pour le retard j'etait en vacances
pour l'exo que j'ai poste je pense que ce n'est pas la peine de reposter une solution puisque celle de Kaderov est parfaite je vous propose donc ce joli exo:

EXERCICE N°39
prouvez que pour a ; b et c de R+* tels que a+b+c=1 on a
(a+1/a)^2+(b+1/b)^2+(c+1/c)^2 >= 100/3

Lisez ce qui est en rouge avant de répondre

Les reponses doivent etre poster ici du le moment qu'on propose l'exo et le premier qui donne une solution juste avec une démonstration complète aura 2 points et proposera lui aussi un exo et ainsi de suite.
si personne n'as résolu l'exo durant 48 heures alors celui qui à proposer l'exo donnera la solution et proposera un autre

sslllt
on a
(a+1/a)^2+(b+1/b)^2+(c+1/c)^2 >=(1/3)(a+b+c+1/a+1/b+1/c)²
=(1/3)(1+3+b/a+c/a+c/b +a/b + a/c + b/c)² (a+b+c=1)
=(1/3)(4+(b/a+c/b+a/c)+(a/b+b/c+c/a)²>=(1/3)(4+3+3)² (IAG)=(1/3)*10²=100/3

j'ai rien a ajouter. c'est perfecto.
tu peut postre ton exo stof.

aller stof poste ton exo
et essayer de ne pas proposer une inégalité
(varier un peu : arithmétique, geometrique ,...)
merci

ookkk je cherchhhe....

EXERCICE N° 40
montrer que qlq soit n £N
9n²-6n+(-2)^n =1[27]

Lisez ce qui est en rouge avant de répondre

Les reponses doivent etre poster ici du le moment qu'on propose l'exo et le premier qui donne une solution juste avec une démonstration complète aura 2 points et proposera lui aussi un exo et ainsi de suite.
si personne n'as résolu l'exo durant 48 heures alors celui qui à proposer l'exo donnera la solution et proposera un autre

bonjour a toutes et a tous
la recurence s'avere un outil tres utile dans ce genre d'exos(pas du tt dificiles) on va donc s'en servir dans ce qui suit.
pour n=0 la propriete reste vrai
suposons que pour un certain n de N on a:
9n²-6n+(-2)^n =1[27] donc (-2)^n=1+6n-9n²[27]
on a :
9(n+1)²-6(n+1)+(-2)^(n+1)=9n²+12n+3-2(-2)^n[27]
=9n²+12n+3-2-12n+18n²[27]
=1[27]
recurence achevee.

EXERCICE N° 41
prouvez pour tt x ;y et z de R superieurs a 1 tels que 1/x+1/y+1/z=2 on a:
rac(x+y+z) >= rac(x-1)+rac(y-1)+rac(z-1)

Lisez ce qui est en rouge avant de répondre

Les reponses doivent etre poster ici du le moment qu'on propose l'exo et le premier qui donne une solution juste avec une démonstration complète aura 2 points et proposera lui aussi un exo et ainsi de suite.
si personne n'as résolu l'exo durant 48 heures alors celui qui à proposer l'exo donnera la solution et proposera un autre

je crois qu il ya une erreure dans le pb en fait pour a=b=c=3
on a 3>=3rac(2) !! absurde

desole pour cette erreur
c'est corrige mnt

ssslllllt
on a
rac(x+y+z)=rac(x-1+y-1+z-1+3)
posant que a-1=A . b-1=B . c-1=C
<=>rac(A+B+C+3)>=rac(A)+rac(B)+rac(C) (un exo trés connue)
on a
1/(A+1) + 1/(B+1) +1/(C+1)=2
<=>A/(A+1)+B/(B+1) +C/(C+1)=1
on a
(A/(A+1)+B/(B+1) +C/(C+1))(A+B+C+3)>=(rac(A)+rac(B)+rac(C))² (C-S)
<=>(A+B+C+3)>=(rac(A)+rac(B)+rac(C))²
<=>x+y+z>=(rac(x-1)+rac(y-1)+rac(z-1))²
d ou
rac(x+y+z)>=rac(x-1)+rac(y-1)+rac(z-1)
a+

stof065 a écrit:

ssslllllt
on a
rac(x+y+z)=rac(x-1+y-1+z-1+3)
posant que a-1=A . b-1=B . c-1=C
<=>rac(A+B+C+3)>=rac(A)+rac(B)+rac(C) (un exo trés connue)
on a
1/(A+1) + 1/(B+1) +1/(C+1)=2
<=>A/(A+1)+B/(B+1) +C/(C+1)=1
on a
(A/(A+1)+B/(B+1) +C/(C+1))(A+B+C+3)>=(rac(A)+rac(B)+rac(C))² (C-S)
<=>(A+B+C+3)>=(rac(A)+rac(B)+rac(C))²
<=>x+y+z>=(rac(x-1)+rac(y-1)+rac(z-1))²
d ou
rac(x+y+z)>=rac(x-1)+rac(y-1)+rac(z-1)
a+

bravo stoff , c classique !
aussi :
(rac(x-1)+rac(y-1)+rac(z-1))²=(rac(x)rac(1-1/x)+rac(y)rac(1-1/y)+rac(z)rac(1-1/z))²=<(x+y+z)(3-(1/x+1/y+1/z))=x+y+z (CS)
puis deduction ;
a toi stoff de poster ton exo

EXERCICE N° 42
a.b.c >0 tel que a^3+b^3+c^3=1
montrer que
1/(a²+b²+c²) + 1/a +1/b +1/c >=2rac(3) (ma création)

Lisez ce qui est en rouge avant de répondre

Les reponses doivent etre poster ici du le moment qu'on propose l'exo et le premier qui donne une solution juste avec une démonstration complète aura 2 points et proposera lui aussi un exo et ainsi de suite.
si personne n'as résolu l'exo durant 48 heures alors celui qui à proposer l'exo donnera la solution et proposera un autre