***Grand Jeu D'été de T.C->Première***

solution du problème:
je vais essayer de marquer une identité remarquable:

alors
donc

alors
d'où
avec cas d'égalité a=b=c=0

majdouline a écrit:

solution du problème:
je vais essayer de marquer une identité remarquable:

alors
donc

alors
d'où
avec cas d'égalité a=b=c=0

Bonjour
Oui, mais il y a aussi d'autre cas d'égalité,tu peux les deduire dans ta méthode,trouver a ou b en fonction de c..!
Alors , essaye encore^^

oué g donné un exemple de cas d'egalité :
aloors pour que
a²+4b²+8c² soit égal à 3ab+4bc+2ac
a²+4b²+8c²-3ab-4bc-2ac doit etre égal à zero
donc (a-3b/2-c)²+7(b/2-c)²=0
d'où a-3b/2-c=0 et b/2-c=0
d'où a-3b/2-c=0 et b=2c
alors a-3c-c=0 et b=2c
d'où a=4c et b=2c
alors a/4=c et b/2=c
d'où le cas d'égalité est a/4=b/2=c
voilà

Ouii La c'est 5/5 ..

slt à tous....
résoudre dans R le système suivant:

ENJOY!!

messieurs réveillez-vous!!!!.... les 48h se sont deja écoulées......

donc les 48h se sont écoulées....voici la solution complète du problème:
on a a(a+b)²=9
donc a(a+b)²>0
alors a>0
et on a
donc :
et puisque a>0
alors
d’où b>a>0
posons

on a :a(a+b)²=9
alors a(a+ma)²=9
alors a(a(1+m)]²=9
d’où (1)
et on a
Alors (2)
En mettant (1) à la puissance 4 on obtient :

Alors
(a)
En mettant (2) au cube…on obtient :

donc : (b)
de (a) et (b) on a :

d’où :
en développant :

il est facile de remarquer que 2 est une solution alors on factorise :

d’où
alors m-2=0 d’où m=2
donc
alors 2a=b
on a a(a+b)²=9
a(a+2a)²=9 alors a.(3a)²=9 -----> donc :
alors a=1 et on a b=2a alors b=2 d’où
S={1 ;2}
-------------------------------------------------------
le soir je vais poster un nouveau problème
@+

poste nous un exo majdo

Bonsoir à tous.....
je vois que j'ai augmenté un peu le niveau de difficulté...g accéléré un peu le rythme....alors je ralentis en proposant cette simple inégalité:
soient a,b et c des réels strictement positifs.....prouver que:

en déterminant le cas d'égalité
PS.l'utilisation des théorèmes pour cet exo n'est pas permise.....ça devient trivial avec l'inégalité de Chebychev....
ENJOY

correct...il ne te reste que le cas d'égalité....

Quand a = b = c = d

Donc:


Donc


=a²+b²+c²+d²-2ac-2bd=(a-c)²+(b-d)²=0
Donc a=c et b=d

Le cas d'égalité : a=c et b=d

faux.......
(a+b+c+d)²=(a+b)²+(c+d)²+2(a+b)(c+d)=a²+b²+2ab+c²+d²+2cd+2ac+2ad+2bc+2bd
ce qui n'est pas egal à:a²+b²+c²+d²+2ac+2bd+2bc+2bc
...................................................

majdouline a écrit:

faux.......
(a+b+c+d)²=(a+b)²+(c+d)²+2(a+b)(c+d)=a²+b²+2ab+c²+d²+2cd+2ac+2ad+2bc+2bd
ce qui n'est pas egal à:a²+b²+c²+d²+2ac+2bd+2bc+2bc
...................................................

(a+b+c+d)²=a²+b²+c²+d²+2(a+b)(c+d) ou (a+c)(b+d) ou (a+d)(b+c) ou (a+c)(b+d) donc ce n'est pas faux!

la volonté tu vois ce que tu as ecrit...c faux
(a+b+c+d)²=a²+b²+c²+d²+2ab+2ac+2bd+2cd+2ad+2bc
tu as oublié 2ab+2cd....regarde depuis la quatrieme ligne tout est faux

Bonjour!
Je pense que c'est juste maintenant,N'est-ce pas Majdouline^^?

ok, voilà mon exercice:
a,b,c des réels tels que:

c encore faux...le cas d'égalité n'est pas a=c et b=d...mais a=b=c=d
essaie encore^^c pas juste ....tu n'as pas attendu la confirmation...corrige et après on va voir ton exo....

majdouline a écrit:

c encore faux...le cas d'égalité n'est pas a=c et b=d...mais a=b=c=d
essaie encore^^c pas juste ....tu n'as pas attendu la confirmation...corrige et après on va voir ton exo....

Bonsoir
non,c'est juste, le cas d'égalité c'est a=c et b=d
en plus ma méthode est juste,tout est logique , prends un nombre et vérifie mon cas.
En plus a=b=c=d ,c'est presque a=c et b=d, ce n'est qu'une partie ou les 4 nombres sont égaux...
Sinon, donnez moi un contre exemple,sachant que mathsmaster l'a confirmé

posons :|a|=x |b|=y et |c|=z (tel que x et y et z sont des reels postitifs)
1)-si a b et c sont positifs:
|a|+|b|+|c|-abc=x+y+z-xyz
d'apres les moyennes on a :
et on a x²+y²+z²=3
alors :
alors x+y+z≤3
et on a x et y et z sont positifs alors -xyz≤0
en sommant :
x+y+z-xyz≤3<4 (ce qui est juste )
d'où |a|+|b|+|c|-abc<4 (a)
-----------------------------------------------------------------------
2)- si ;b et c sont négatifs:
|a|=x |b|=y et |c|=z
a=-x et b=-y et c=-z
donc -abc=xyz (x ;y et z sont positifs)
on a deja prouvé que x+y+z≤3 (1)
en utilisant les moyennes on a:

et puisque a²+b²+c²=x²+y²+z²=3 alors:
d'on xyz≤1 (2)
en sommant (1) et (2) on trouve que :
x+y+z+xyz≤3
et on a |a|=x |b|=y et |c|=z et -abc=xyz
alors d'où |a|+|b|+|c|-abc≤4 (b)
----------------------------------------------------------------
---------------------------------------------------------
3)-si a et b sont négatif et c est positif:
a=-x b=-y et c=z
|a|+|b|+|c|=x+y+z≤3
-abc=-xyz≤0
alors |a|+|b|+|c|-abc<4
------------------------------------------------------
4)-si a et b sont positifs et est négatif c on a :
|a|+|b|+|c|=x+y+z≤3
-abc=xyz≤1
|a|+|b|+|c|-abc≤4
------------------------------------------------------
5)-de meme si:a et c sont négatif et b est positif:
a=-x et c=-z et b=y
|a|+|b|+|c|=x+y+z≤3
-abc=-xyz≤0
donc alors |a|+|b|+|c|-abc<0
----------------------------------------------------
6)-si a et c positifs et b est negatif
a=x c=z et et b=-y
|a|+|b|+|c|=x+y+z≤3
-abc=xyz≤1 donc
|a|+|b|+|c|-abc≤4
---------------------------------------------
7)-si b et c sont négatifs et a est positif:
b=-y c=-z et a=y
|a|+|b|+|c|=x+y+z≤3
-abc=-xyz≤0 donc |a|+|b|+|c|-abc<4
-----------------------------------------
-si b et c sont positifs et c est négatif
b=y c=z et a=-x
b=-y c=-z et a=y
|a|+|b|+|c|=x+y+z≤3
-abc=xyz≤1
alors |a|+|b|+|c|-abc≤4
-------------------------------------------------
donc dans tous les cas on a :
|a|+|b|+|c|-abc≤4
l'egalité a lieu si :
a=b=c=-1
ou a=-1 et b=c=1
ou b=-1 et a=c=1
ou c=-1 et b=a=1
voilà....

Bonsoir tout le monde
Bien,il est facile^^
Allez majdouline,poste ton exercice
Pas de retars^^

majdouline a écrit:

posons :|a|=x |b|=y et |c|=z (tel que x et y et z sont des reels postitifs)
1)-si a b et c sont positifs:
|a|+|b|+|c|-abc=x+y+z-xyz
d'apres les moyennes on a :
et on a x²+y²+z²=3
alors :
alors x+y+z≤3
et on a x et y et z sont positifs alors -xyz≤0
en sommant :
x+y+z-xyz≤3<4 (ce qui est juste )
d'où |a|+|b|+|c|-abc<4 (a)
-----------------------------------------------------------------------
2)- si ;b et c sont négatifs:
|a|=x |b|=y et |c|=z
a=-x et b=-y et c=-z
donc -abc=xyz (x ;y et z sont positifs)
on a deja prouvé que x+y+z≤3 (1)
en utilisant les moyennes on a:

et puisque a²+b²+c²=x²+y²+z²=3 alors:
d'on xyz≤1 (2)
en sommant (1) et (2) on trouve que :
x+y+z+xyz≤3
et on a |a|=x |b|=y et |c|=z et -abc=xyz
alors d'où |a|+|b|+|c|-abc≤4 (b)
----------------------------------------------------------------
de (a) et (b) on a:pour tous a;b et c de IR on a :
|a|+|b|+|c|-abc≤4
l'égalité a lieu si:a=b=c=-1

nan je crois que c pas complet
car on pt avoir par exemple
a>0 et 0>b;c
oubein le contraire en fait ya bcp cas
c cke je pense !!!

houssam110 a écrit:

majdouline a écrit:

posons :|a|=x |b|=y et |c|=z (tel que x et y et z sont des reels postitifs)
1)-si a b et c sont positifs:
|a|+|b|+|c|-abc=x+y+z-xyz
d'apres les moyennes on a :
et on a x²+y²+z²=3
alors :
alors x+y+z≤3
et on a x et y et z sont positifs alors -xyz≤0
en sommant :
x+y+z-xyz≤3<4 (ce qui est juste )
d'où |a|+|b|+|c|-abc<4 (a)
-----------------------------------------------------------------------
2)- si ;b et c sont négatifs:
|a|=x |b|=y et |c|=z
a=-x et b=-y et c=-z
donc -abc=xyz (x ;y et z sont positifs)
on a deja prouvé que x+y+z≤3 (1)
en utilisant les moyennes on a:

et puisque a²+b²+c²=x²+y²+z²=3 alors:
d'on xyz≤1 (2)
en sommant (1) et (2) on trouve que :
x+y+z+xyz≤3
et on a |a|=x |b|=y et |c|=z et -abc=xyz
alors d'où |a|+|b|+|c|-abc≤4 (b)
----------------------------------------------------------------
de (a) et (b) on a:pour tous a;b et c de IR on a :
|a|+|b|+|c|-abc≤4
l'égalité a lieu si:a=b=c=-1

nan je crois que c pas complet
car on pt avoir par exemple
a>0 et 0>b;c
oubein le contraire en fait ya bcp cas
c cke je pense !!!

Je crois que tu as raison Houssam,j'ai pas pensé à cela!
Alors essaye autrement majdouline^^

posons :|a|=x |b|=y et |c|=z (tel que x et y et z sont des reels postitifs)
1)-si a b et c sont positifs:
|a|+|b|+|c|-abc=x+y+z-xyz
d'apres les moyennes on a :
et on a x²+y²+z²=3
alors :
alors x+y+z≤3
et on a x et y et z sont positifs alors -xyz≤0
en sommant :
x+y+z-xyz≤3<4 (ce qui est juste )
d'où |a|+|b|+|c|-abc<4 (a)
-----------------------------------------------------------------------
2)- si ;b et c sont négatifs:
|a|=x |b|=y et |c|=z
a=-x et b=-y et c=-z
donc -abc=xyz (x ;y et z sont positifs)
on a deja prouvé que x+y+z≤3 (1)
en utilisant les moyennes on a:

et puisque a²+b²+c²=x²+y²+z²=3 alors:
d'on xyz≤1 (2)
en sommant (1) et (2) on trouve que :
x+y+z+xyz≤3
et on a |a|=x |b|=y et |c|=z et -abc=xyz
alors d'où |a|+|b|+|c|-abc≤4 (b)
----------------------------------------------------------------
---------------------------------------------------------
3)-si a et b sont négatif et c est positif:
a=-x b=-y et c=z
|a|+|b|+|c|=x+y+z≤3
-abc=-xyz≤0
alors |a|+|b|+|c|-abc<4
------------------------------------------------------
4)-si a et b sont positifs et est négatif c on a :
|a|+|b|+|c|=x+y+z≤3
-abc=xyz≤1
|a|+|b|+|c|-abc≤4
------------------------------------------------------
5)-de meme si:a et c sont négatif et b est positif:
a=-x et c=-z et b=y
|a|+|b|+|c|=x+y+z≤3
-abc=-xyz≤0
donc alors |a|+|b|+|c|-abc<0
----------------------------------------------------
6)-si a et c positifs et b est negatif
a=x c=z et et b=-y
|a|+|b|+|c|=x+y+z≤3
-abc=xyz≤1 donc
|a|+|b|+|c|-abc≤4
---------------------------------------------
7)-si b et c sont négatifs et a est positif:
b=-y c=-z et a=y
|a|+|b|+|c|=x+y+z≤3
-abc=-xyz≤0 donc |a|+|b|+|c|-abc<4
-----------------------------------------
-si b et c sont positifs et c est négatif
b=y c=z et a=-x
b=-y c=-z et a=y
|a|+|b|+|c|=x+y+z≤3
-abc=xyz≤1
alors |a|+|b|+|c|-abc≤4
-------------------------------------------------
donc dans tous les cas on a :
|a|+|b|+|c|-abc≤4
l'egalité a lieu si :
a=b=c=-1
ou a=-1 et b=c=1
ou b=-1 et a=c=1
ou c=-1 et b=a=1
voilà....