***Grand Jeu D'été de T.C->Première***

à Galois94...donc soit tu trouves ton erreur...soit tu trouves la bonne solution avec autre méthode...l'important c'est de poster une solution juste et complète!!!!!
P.S..je posterai ma solution juste après que quelqu'un poste une solution juste(suite à la demande de Galois94)

3n^2 + 6n + 2 / n(n+1)(n+2)=a/10^n (a app a IN et n app a IN)
n(n+1)(n+2)#10^n alors ... n'est pas decimale

nn c pas ça marwane....essayez encore!!!

et bah pourquoi????,,,,,

marouan777 a écrit:

et bah pourquoi????,,,,,

6/200 est décimal

oui oui , mais ça sera juste si D et N sont premier entre eux.

[quote="Galois 94"]bonjour .

on pose : d =pcgd(D;N) = pcgd(n^3+3n^2+2n ; 3n^2+6n+2) .

donc on a : d/D et d/N ==> d/3D-n.N = 3n^2+4n .

d'autre part , d/N et d/3n^2+4n ==> d/N - 3n^2+4n = 2n+2 .

et comme d/3n^2+4n et d/2n+2 alors d/2(3n^2+4n) - 3n(2n+2) = 2n .

il vient alors : d/2n+2 - 2n = 2 .




"galois" a trouvé que pgcd(D,N)=2
alors D et N sont paires ==>n est paire (n=2k)
==>12k²+12k+2/4k(2k+1)(k+1)==>6k²+6k+1/2k(2k+1)(k+1)
le D. et N. sont devenus premiers entre eux.
suite a ce qu'il a dit mensieur halois les facteurs doivent se composer que des 2 et des 5.
2k(2k+1)(k+1) ne reponds pas.
donc...n'est pas decimale .

[quote="marouan777"]

Galois 94 a écrit:

bonjour .

on pose : d =pcgd(D;N) = pcgd(n^3+3n^2+2n ; 3n^2+6n+2) .

donc on a : d/D et d/N ==> d/3D-n.N = 3n^2+4n .

d'autre part , d/N et d/3n^2+4n ==> d/N - 3n^2+4n = 2n+2 .

et comme d/3n^2+4n et d/2n+2 alors d/2(3n^2+4n) - 3n(2n+2) = 2n .

il vient alors : d/2n+2 - 2n = 2 .




"galois" a trouvé que pgcd(D,N)=2
alors D et N sont paires ==>n est paire (n=2k)
==>12k²+12k+2/4k(2k+1)(k+1)==>6k²+6k+1/2k(2k+1)(k+1)
le D. et N. sont devenus premiers entre eux.
suite a ce qu'il a dit mensieur halois les facteurs doivent se composer que des 2 et des 5.
2k(2k+1)(k+1) ne reponds pas.
donc...n'est pas decimale .

bsr...
démontre ce qui est en rouge...ainsi ta solution sera comptée juste

si k=2² ou 2^6 ou 2^10 ou..... le chiffre d'unité est 4
alors le chiffre d'unité de 2k+1 est 9 contradiction .
si k=5^a alors le chiffre d'unité de 2k+1est 1 contradition
si k=2^a*5^b alors le chiffre d'unité de k+1 est 1 contradition .

bonsoir .

il suffit marouan que tu montre que : D' = 4k^3+6k^2=2k = 2k(2k^2+3k+1) , est un multipe de 3 .

@ + .

marouan777 a écrit:

si k=2² ou 2^6 ou 2^10 ou..... le chiffre d'unité est 4
alors le chiffre d'unité de 2k+1 est 9 contradiction .
si k=5^a alors le chiffre d'unité de 2k+1est 1 contradition
si k=2^a*5^b alors le chiffre d'unité de k+1 est 1 contradition .

et tu as oublié le cas où k=2^3 ou 2^5
le chiffre d'unité dans ce cas sera 8 ou 2...
@galois94...svp.....pas d'indications...soit vous postez la solution....soit vous laisser les autres réfléchir......
amicalement!!!!!

bonjour .

quéstion pour marouan .

je ne vois pas pourquoi tu as déduit que n est pair du fait que N et D sont pair ?? .

@ + .

mais je crois que c facile Galois94...
si N et D sont pairs..
N est pair 3n²+6n+2 est pair alors.....3n²+6n est pair.......3(n²+2n) est pair 2n est pair alors n² est pair d'où n est pair.......
voilà.....

bonjour .

oui majdouline , c'est ça Merci .

@ + .

majdouline a écrit:

marouan777 a écrit:

si k=2² ou 2^6 ou 2^10 ou..... le chiffre d'unité est 4
alors le chiffre d'unité de 2k+1 est 9 contradiction .
si k=5^a alors le chiffre d'unité de 2k+1est 1 contradition
si k=2^a*5^b alors le chiffre d'unité de k+1 est 1 contradition .

et tu as oublié le cas où k=2^3 ou 2^5
le chiffre d'unité dans ce cas sera 8 ou 2...
tout est faux dans ce raisonnement...
@galois94...svp.....pas d'indications...soit vous postez la solution....soit vous laisser les autres réfléchir......
amicalement!!!!!

si k=2^3 alors k+1=9 aussi contradiction
si k=2^5 alors k+1=33 ........ c'est claiire

salam ...
à marwane:tu n'as pas discuté tous les cas possibles...tu as ignoré plusieurs cas.....tu as parlé de k=2^ ou 2^45456468???? ou bien encore d'autres????(il existe une infinité d'ailleurs)...et je dirai encore que tas solution n'es pas complète pour plusieurs raison:
1-tu n'as pas expliqué pourquoi n est pair si N et D sont pairs(et c deja remarqué par Galois94)...
2-tu n'as pas discuté tous les cas possibles....
et tu peux appeler n'importe qui comme juge !!!!!!!
amicalement!!!!!!!!!!!!!!!

k=2^n est toujours paire==> k+1 est impaire directement on peux deduire qu'il ne repond pas mais si k=2² ou 2^6 ou 2^10 .... le chiffre d'unité de k+1 est 5 la .on ne peux pas dire qu'il ne repond pas, mais le chifre d'unité de 2k+1 est 9 alors ça repond pas

avant l'écoulement des 48h .... aucune bonne ou "complète"réponse n'est postée..suite aux règles du jeu......aucune réponse n'est comptée...donc je poste une solution accompagnée d'un nouveau problème....
solution du problème:
supposons que ce nombre est un décimal alors ils existent (m;p)£IN²
tel que :


il est facile de démontrer que n(n+1(n+2)=6k'=3k alors:

donc 3 divise 10^p ou 3 divise 3n²+6n+2
pour 3 divise 10^9---->impossible
pour 3 divise 3n²+6n+2------>impossible car 3n²+6n+2 est sous la forme 3h+2
-------->les deux cas sont impossibles---->contradiction
--->supposition fausse---->

---------------------------------------------------------------------------------------
problème proposé:
resoudre dans IR:
{x}[x]=2009x
P.S.[x] la partie entière de x et {x}=x-[x]
ENJOY

bonjour .

on considère l'équation suivante , (*) : (x-[x])[x] = 2009.x .

++ on remarque que 0 est une solution de (*) .

++ si x app à Z alors : [x] = x et par suite , (*) ==> x = 0 .

++ supposons que : x n'app pas à Z .

donc , (*) <==> [x] = 2009.x/(x-[x])

or , [x] app à Z d'où il existe k app à Z tel que : 2009.x/(x-[x]) = k .

autrement dit , 2009.x = k(x-[x]) : (**) .

et comme , o=< x-[x] < 1 alors : 0=< k(x-[x]) < k .

il vient alors de (**) que : 0=< 2009.x < k ==> 0=< x < k/2009 .

réciproquement , tout élément de [0;k/2009[ est solution de (*) .

finalement , S est la réunion de tous les intervales de la forme : [0;k/2009[ privé des entiers relatifs avec k app à Z .

@ + .

Galois 94 a écrit:

bonjour .

on considère l'équation suivante , (*) : (x-[x])[x] = 2009.x .

++ on remarque que 0 est une solution de (*) .

++ si x app à Z alors : [x] = x et par suite , (*) ==> x = 0 .

++ supposons que : x n'app pas à Z .

donc , (*) <==> [x] = 2009.x/(x-[x]) (1)

or , [x] app à Z d'où il existe k app à Z tel que : 2009.x/(x-[x]) = k (2) .

autrement dit , 2009.x = k(x-[x]) : (**) .

et comme , o=< x-[x] < 1 alors : 0=< k(x-[x]) < k .

il vient alors de (**) que : 0=< 2009.x < k ==> 0=< x < k/2009 .

réciproquement , tout élément de [0;k/2009[ est solution de (*) .

finalement , S est la réunion de tous les intervales de la forme : [0;k/2009[ privé des entiers relatifs avec k app à Z .

@ + .

remarque 1:-mais c plutôt de IN et non pas de Z car si c'etait de Z*-...on aura k/2009<0 ainsi on ne put pas écrire l'écriture suivante....[0;k/2009[)
remarque 2: de (1) et (2) en rouge on a :k=[x]
et d'apres l'ensemble de solution k/2012 est une solution---->donnons à k la valeur suivante k=[x]=1
en remplaçant x et [x] par leurs valeur dans(*)
on aura :-2011/2012=2009/2012!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
i'm afaraid that is not correct.....
sauf erreur de ma part

bonsoir .

** je ne vois aucune raison qui oblige k a rester dans IN , sauf l'ecriture de l'intervale et là je suis d"accord .

( mais on peut distinguer deux cas , d'ailleur j'aurais dû le faire quand j'ai multiplié par k ) .

** pourquoi tu as pris k/2012 comme solution ?? ( le dénominateur doit être 2009 ) .

** tu m'as pas encore convincu que c'est faux , jattend !!!!!!!!!!!!!!!!! .

** je crois que ma solution est juste pour k app à IN ( wmana3ref ?? )

@ + .

bSr......
OK bien sur
comme j'ai dit...k=[x]
pour k=[x]=1 x=1/2009
en remplaçant dans (*) les valeurs de x et [x] on aura:
(x-[x])[x] = 2009.x .
-2008/2009=2009/2009
-2008=2009!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Galois 94 a écrit:

bonjour .

on considère l'équation suivante , (*) : (x-[x])[x] = 2009.x .

++ on remarque que 0 est une solution de (*) .

++ si x app à Z alors : [x] = x et par suite , (*) ==> x = 0 .

++ supposons que : x n'app pas à Z .

donc , (*) <==> [x] = 2009.x/(x-[x])

or , [x] app à Z d'où il existe k app à Z tel que : 2009.x/(x-[x]) = k .

autrement dit , 2009.x = k(x-[x]) : (**) .

et comme , o=< x-[x] < 1 alors : 0=< k(x-[x]) < k .

il vient alors de (**) que : 0=< 2009.x < k ==> 0=< x < k/2009 .

réciproquement , tout élément de [0;k/2009[ est solution de (*) .

finalement , S est la réunion de tous les intervales de la forme : [0;k/2009[ privé des entiers relatifs avec k app à Z .

@ + .

si k est negative???

bonsoir ;

** oui marouan , c'est pourquoi j'ai dit qu'il fallait envisager deux cas .

** oui majdouline , c'est ok maintenant .

** voilà une autre tentative .

on a : [x] = 2009.x/(x-[x]) = k app à Z .

autrement dit , k(x-k) = 2009.x ==> x(k-2009) = k^2 .

++ si k et dif de 2009 alors : x = k^2/k-2009 .

++ si k = 2009 alors on aura : 2009^2 = 0 absurde .

or , [x] = k <==> k =< x < k+1 .

<==> k^2/(k-2009) >= k et k^2/(k-2009) < k +1 .

<==> 2009k/(k-2009) >= 0 et (2008k+2009)/(k-2009) < 0 .

<==> k app à Z et ( k =< - 2 ou k > 2009 ) .

<==> [x] =< - 2 ou [x] > 2OO9 >= 2010 .

<==> x=< - 2 ou x >= 2010 .

<==> S = (] -00 ; - 2] U [ 2010 ; +00 [) - {p} où p app à Z .

@ + .

encore c pas la bonne réponse.....