<< GRanD Jeu D'été 2009 >>

1) miss design a supposé card f(E) >= 3
......................

2) f(n) = f(n-1) + 1/(n+1) - 1/(n+2)
f(n-1) = f(n-2) + 1/(n) - 1/(n+1)
f(n-2) = f(n-3) + 1/(n-1) - 1/(n)
........
.........
........etc

f(1) = f(0) + 1/2 - 1/3
la somme membre à membre

=========> f(n) = f(0) +1/2 - 1/(n+2) = (n+1)/(n+2)

........................................

Houssa est tres Rapide !! a vous l'honneur !

Au fait, on a comme donnée que Card(f(E))= 3

on change d'idée

ABC est un triangle

AB= c , BC=a , AC=b , 2p = a+b+c , r = rayon du cercle inscrit dans ABC

1)Montrer que : r = (p-a).tg(A/2)

2)En déduire que : r = p.tg(A/2).tg(B/2).tg(C/2)

.........................................................

slt Mr houssa
1)alors voila ce que j'ai trouvé: soit O le centre du cercle inscrit
I projection ortho de O sur (BC)
J ....................................(AB)
k...... (AC)
après avoir tracé un petit dessin on a tg(A/2)=r/AJ

Or,on a AJ=AK et CK=CI et BI=BJ
donc on peut facilement démontrer que AJ=(b+c-a)/2.
en conséquence r=(p-a)*tg(A/2)

2)pour la deuxième question

on a r=(p-a)tg(A/2)

de même,r=(p-b)tg(B/2)=(p-c)tg(C/2)

donc r^3=(p-a)(p-b)(p-c)tg(A C B /2)

en multipliant par p :r^3p=s^2*tg(A B C/2)(la formule d'héron)
et on sait que s=pr

donc r^3p=p^2*r^2*tg(A B C /2).conclure

alors dois je poster un exercice?

PARFAIT

ALLEZ Y poster un exo!!

.....................

oué bien tu px en poster

oh!d'accord et je m'excuse pour le retard

alors voila:x et y sont deux réels strictement positifs.

soit m le plus petit des nombres x , 1/y , y+1/x

démontrer que m=<\sqrt{2}

slt, c simple comme exo ^^
nous allons raisonner par absurde :
supposons que x et 1/y et y +1/x sont tous strictement supérieurs à V2
puisque x et y sont strictement positifs : 1/x < 1/V2 ; y < 1/V2 ; y + 1/x > V2
donc V2 < y +1/x < V2, ce qui est impossible.
=> au moins l'un des trois nombres est inférieur ou égal à V2, donc forcément m = inf( x; 1/y ; y +1/x ) =< V2

jolie démonstration milor18 j'y avais pas pensé, à toi l'honneur poste un exo

voilà l'exo :
resoudre dans N* le système :
{ a^3 - b^3 - c^3 = 3 abc
{ a^2 = 2 ( b+c )
bonne chance

Bjr !


a³ - b³ - c³ - 3abc
= a³ + (-b)³ + (-c)³ - 3a(-b)(-c)
= (1/2)*( a+(-b)+(-c)).((a-(-b))² + ((-b)-(-c))² + ((-c)-a)²)
= (1/2)*(a - b -c) ((a+b)²+(b-c)²+(c+a)²),

Donc : (a-b-c) = 0 et (a+b)²+(b-c)²+(c+a)² = 0.

<=> a=b+c ,

et On a : b+c=a²/2 , <=> a²=2a <=> a=2 . ---> b+c=2

Nous Sommes dans N* : Donc les solutions : (2,1,1)

Or , On a aussi : a+b=0, b-c=0, c+a=0 <=> a=-b=-c.

Mais : a²=2(b+c)=2(-a-a)=-4a , donc : a²+4a=0 <=> a=-4 .
<=> (-4,4,4)


Donc : S= {(2,1,1),(-4,4,4)}

le systeme equivaut:
(a-b-c=0 ou a²+b²+c²+ab+ac-bc=0) et a²=2(b+c)

alors

(a=b+c ou a=-b=-c) et a²=2(b+c)

alors

(a²=2(b+c) et a=b+c) ou (a²=2(b+c) et a=-b=-c)

alors

(a=0 et b=-c) ou (a=2 et b=2-c) ou (a=b=c=0) ou (a=-4,b=c=4)

alors

(a=0,b=-c) ou (a=2,b=2-c) ou (a=b=c=0) ou (a=-4,b=c=4)

Mouados tu px poster mtn

je pense pas maganiste,je veux slm dire que je n ai pas pu voir la solution de MouaDos lors de la redaction de ma solution (1min de difference entre les 2 postes ).MouaDos a oublié le cas ou (a+b)²+(b-c)²+(c+a)² = 0 qui a aussi des solutions quand a=-b=-c d ou il n as pas trouvé les solutions (0,0,0).autre chose a citer,c est que la solution (2,1,1) est un cas particulier du (a=2,b=2-c) (quand c=1)
A vous de juger mnt

Non , t'a pas vu qu'on est Dans IN*

ahhh oui,t a raison.Je n ai pas fais attention,moi j ai trouve les solutions dans Z,mais c est pas grave

A toi MouaDos mnt

facile !
l inegalite est equivalente a (2m-1)(x+y)²+(x-1)² >=0 alor il suffit qu on a (2m-1)(x+y)² >= 0 alors m >= 1/2.

re

2mx²-2x+1+x²-x² = (x-1)² +x²(2m-1)

2my²-y² = y²(2m-1)

4mxy-2xy= 2xy(2m-1)

en sommant : (2m-1)(x²+2xy+y²) + (x-1)²

donc m doi etre superieur ou egale a 1/2

FIgo t'etais un peu plus rapide ke moi

a toi de poster

Exercice:

Trouvez ttes les applications monotones (ratiiba) f:IR-->IR,pour les quelles il existe un entier naturel n tel que pour chaque réel x : f^n(x)=-x

P.S: f^n=fofof.......of ( n fois )

je reviens à l'exercice que j'ai posté, les solutions proposées sont correctes mais incomplètes :
voilà ma solution :
nous avons d'abord a^3 -b^3-c^3 = 3 abc >= 0 donc a^3>= b^3+c^3 => a^3>=b^3 et a^3>=c^3
d'où a>=b et a>= c, donc 2a >= b+c = a^2/2
4a>= a^2, d'où a = 0 ou a = 2 ou a = 4
pr a = 0, b = c =0 donc ( 0;0;0) est une solution.
pour a = 2, puis pour a = 4 on trouve que
S = { ( 0,0,0) ; ( 2;2;0) ; ( 2;1;1) ; (2;0;2 ) }
les solutions demandées doivent appartenir à IN