<< GRanD Jeu D'été 2009 >>

un peu de géométrie :
les mesures des côtés d'un triangle sont des entiers; le diamètre de son cercle circonscrit est 6,25.
Calculer les mesures des côtés de ce triangle
( c'est un peu difficile, mais assez intéressant )
on pourra mêler un peu de trigo à un peu d'arithmétique
bon courage

on sait que :

a/sin alpha = b/ sin beta = c/ sin gamma = 2R = d = 6.25 =25/4

a= BC
b=AC
c=AB
alpha = angle A
beta =...
gamma =...

a/sin alpha = 25/4

a= (25 sin.alpha) / 4
pour que a £ IN :

sin alpha = 4/x : tel que x divise 25

on a x=5 ou x=25
pour x =5 impossible car sin < 5/4
donc
a = 1

m^me chose pour b et c
ce qui nous mene à dire a=b=c=1 et
x=y=z = pi/3

JE PEnse que le raisonnement de l'infini est faux car

a/sinx = 1/(V3/2) = 2/V3

et ceci est differant a 2R qui est egale a 25/4

oui tu as raison ,

mais je sais pas ou j'ai commis la faute ??

{}{}=l'infini a écrit:

on sait que :

a/sin alpha = b/ sin beta = c/ sin gamma = 2R = d = 6.25 =25/4

a= BC
b=AC
c=AB
alpha = angle A
beta =...
gamma =...

a/sin alpha = 25/4

a= (25 sin.alpha) / 4
pour que a £ IN :

sin alpha = 4/x : tel que x divise 25

on a x=5 ou x=25
pour x =5 impossible car sin < 5/4
donc
a = 1

m^me chose pour b et c
ce qui nous mene à dire a=b=c=1 et
x=y=z = pi/3

je pense que la faute est danc ce passage

oui effectivement !
parce qu'il y a plusieurs valeurs qu'on peut donner à x pour que a appartienne à IN par ex: x=25,x=25/2 ..., x=25/6
même 25 car 4/25<5/4

Je propose une solution , j'espere que c juste !!

On procede par la Transformation de Ravi :

BC=a=v+w
AC=b=u+w
AB=c=u+v

et d'apres le Theo de Heron : S=rac[p(p-a)(p-b)(p-c)] .. p est le demi-perimetre !

<=> S=rac[(u+v+w)uvw]

et On sait aussi que : S=abc/2d=2(v+w)(u+w)(u+v)/25

<=> rac[(u+v+w)uvw]=2(v+w)(u+w)(u+v)/25
<=> 625(u+v+w)uvw=4[(v+w)(u+w)(u+v)]²

qui donne comme Solution : u=v=3 , w=2 ( assurez-vous car ca m'a pris 2 heures )

D'ou : a=BC=b=AC=5 , c=AB=6 !!

salam

notons BC = a , AB= c , AC = b

a = 2R.sinA = 6,25.sinA = 25/4.sinA

===> sinA = 4a/25

o < sinA =< 1 o < 4a =< 25

a € { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } ====> ( de même pour b , c )

a² = b²+c²-2bc.cosA ====> a² = b²+c²-2bc.V(625-16a²)/25

===> 2bc.V(625-16a²) = 25(b²+c²-a²)

====> la seule valeur acceptable pour a= 6

===> 2bc.7 = 25(b²+c²-36) ====> b=5 ou c= 5
si b= 5 ===> c=5

conclusion:

a=6 , b=c=5

....................

MouaDoS a écrit:

<=> 625(u+v+w)uvw=4[(v+w)(u+w)(u+v)]²

qui donne comme Solution : u=v=3 , w=2

comment t'a pu resoudre cette équation ?

Figo a écrit:

MouaDoS a écrit:

<=> 625(u+v+w)uvw=4[(v+w)(u+w)(u+v)]²

qui donne comme Solution : u=v=3 , w=2

comment t'a pu resoudre cette équation ?

Franchement , j'ai pas pu la resoudre .. j'ai juste essayer les valeurs , dieu Merci que les valeurs etaient petites !

pr mouados ta solution est juste mais celle de HOUSSA est plus efficace

tu px poster ton exo mouados

BJR
pr periodique on a quelque soit x de IR x+1/n £ IR

f(x+1/n) = E(x+1/n)+E(x+2/n)+..........E(x+n/n) - E(nx+1)
= E(x+1/n)+.................E(x)+1 -E(nx)-1

= f(x)

donc f periodique de ....

( E(x+1) = E(x) + 1 )

bonsoir a vous tous
bon pour la question 1 c'est hyper-facil
pour 2:
on demontre (pour tt x£IR )(il existe p £ Z) x£[p/n;(p+1)/n[
et on sait que:
f(x)=f(x+k/n) / pour tt k£Z car 1/n est une période alors apres des petits encadrements on deduit le résultat voulu
PS:dsl pour la rapidité de la réponse ^^

a Toi l'honneur Perelman !



Ps : Joli Retour !

lol merci MouaDoS :
voilà:
a,b,c des nombres réels>0 MQ:

j'éspere qu'elle n'est pas dejà posté lol
good luck^^

je pense que tu voulais ecrire racine(a²+ac+c²) et non pas racine(a²-ac+c²).non ?

Figo a écrit:

je pense que tu voulais ecrire racine(a²+ac+c²) et non pas racine(a²-ac+c²).non ?

non j pense qu'il est juste

maganiste a écrit:

Figo a écrit:

je pense que tu voulais ecrire racine(a²+ac+c²) et non pas racine(a²-ac+c²).non ?

non j pense qu'il est juste

non,je suis sur.j'attends la confirmation de Perelman pr poster ma solution

ce qui est vrai

jai essayé de la résoudre géométriquement et voici ce que j'ai trouvé
soit A , B, C et D quatres points tel que AB=a AC =b et AD=c

BAC=DAC=60 degrés et (AB) youkhalif (AD)

selon EL kaschi BC=V(a^2+b^2-ab)

DC=V(b^2+c^2-bc)

BD=V(a^2+^c^2+ac)

et selon l'inégalité triangulaire dans BDC: BC+DC>=BD>V(a^2+c^2-ac)

conclure!

puisce qu'il parait que Perelman n'est plus là,je poste ma solution en attendant sa confirmation après:
l'inegalite est equivalent a (apres elevation au carré):
racine( ( (a-b)² + a² + b²) ( (b-c)² + b² + c² ) ) >= ab+bc-ac-2b²,
l'inegalite de caushy-schwarz nous donne:
racine( ( (a-b)² + b² + a²) ( b² + (c-b)² + c² ) ) >= racine( ( b.(a-b) + b.(c-b) + ac )² )=ab+bc-ac-b²,c'est ce qui est voulu.alors racine(a²+b²-ab) + racine(b²+c²-bc) >= racine(a²+c²+ac) > racine(a²+c²-ac)

salimt a écrit:

jai essayé de la résoudre géométriquement et voici ce que j'ai trouvé
soit A , B, C et D quatres points tel que AB=a AC =b et AD=c

BAC=DAC=60 degrés et (AB) youkhalif (AD)

selon EL kaschi BC=V(a^2+b^2-ab)

DC=V(b^2+c^2-bc)

BD=V(a^2+^c^2+ac)

et selon l'inégalité triangulaire dans BDC: BC+DC>=BD>=V(a^2+c^2-ac)

conclure!

malheureusement l'egalité n'a pas lieu .et c'est ce que j ai dit avant de poster ma solution !!!

Figo a écrit:

salimt a écrit:

jai essayé de la résoudre géométriquement et voici ce que j'ai trouvé
soit A , B, C et D quatres points tel que AB=a AC =b et AD=c

BAC=DAC=60 degrés et (AB) youkhalif (AD)

selon EL kaschi BC=V(a^2+b^2-ab)

DC=V(b^2+c^2-bc)

BD=V(a^2+^c^2+ac)

et selon l'inégalité triangulaire dans BDC: BC+DC>=BD>=V(a^2+c^2-ac)

conclure!

malheureusement l'egalité n'a pas lieu

édité

pr Boomer
je pense que ta reponse est fausse car :
le passage de ligne 1 a la ligne 2 est seulement une implication non pas equivalence