Préparations aux olympiades de tronc commun (2009-2010)

Bonjour,
On a d'après l'exercice de naplhitl:
x appartient à l'intervalle ouvert 1,2
montrez que
-3<2x^2-3x-2<0

et quand je vois les solutions proposées :

==>on a 1<x<2.
donc 2<2x<4.
ensuite -1<2x-3<1.
on multiplie cet encadrement par celui de x (je ne suis pas certain)
alors -2<2x^2-3x<2.
finalement -4<2x^2-3x-2<0

OU encore

une autre méthode
on a 1<x<2
donc -1<x-2<0
donc 0<-(x-2)<1 ==>(1)
et on a 1<x<2
donc 2<2x<4
donc 3<2x+1<5 ==>(2)
et en multipliant 1 et 2 on aura 0<-(x-2)(2x+1)<5
donc -5<(x-2)(2x+1)<0
et -5<2x^2-3x-2<0

Alors qu'il faut démontré que -3<2x^2-3x-2<0 pas de -4 ni -5

J'ai tenté le coup mais j'ai toujours pas trouvé:

On a x appartient à ]1,2[
Donc 1<x<2
D'où 1<x²<4
2>2x²>8

On a aussi 3<3x<6
Donc -6<-3x<-3

D'où -4<2x²-3x<5
Alors -6<2x²-3x-2<3
Mais c'est pas ce qui est demandé :s
De l'aide

on a 2<2x<4
donc -1<2x-3<1
et 1<x<2
alors -1<2x^2-3x<2
alors que -3<2x^2-3x-2<0

fmsi a écrit:

on a 2<2x<4
donc -1<2x-3<1
et 1<x<2
alors -1<2x^2-3x<2
alors que -3<2x^2-3x-2<0

Le juste est -2<2x^2-3x<2.
Ce qui mène à ma première démonstration.

Arrêtons de jouer.
Après un effort voici la solution juste:
On a 1<x<2.
Donc 0<x-1<1.==> (1)
Et on a 1<x<2.
Donc 2<2x<4.
Donc 1<2x-1<3.==> (2)
Multiplions (1) par (2) on trouve 0<(x-1)(2x-1)<3.
Donc 0<2x^2-x-2x+1<3.
Et ensuite 0<2x^2-3x+1<3.
Retranchons 3 de l'inégalité on trouve -3<2x^2-3x-2<0.
CQFD.

Euh nmo je ne vois toujours pas la faute de fmsi peux tu expliquer?

a²+b²+c²+d²>=2ab+2cd
a²+b²+c²+d²>=2ad+2bc

2(a²+b²+c²+d²)>=2(ab+cd+ad+bc)
a²+b²+c²+d²>=(a+b)(c+d)

C'est facile !

D'après l'exercice
On a 1<x<2
Et -1<2x-3<1
On a deux cas
Premièrement -1<2x-3<0.
Donc 0<-(2x-3)<1
Et lorsqu'on le multiplie par l'encadrement de x on trouve 0<-x(2x-3)<2.
Donc -2<x(2x-3)<0.==>(1)
Deuxièmement 0<2x-3<1.
Et lorsqu'on le multiplie par l'encadrement de x on trouve 0<x(2x-3)<2.==>(2)
De 1 et 2 on a -2<2x^2-3x<2.

Une petite information: المرافق en français est la valeur conjuguée.

Voici trois problèmes:
Problème 1:
Mon age est le double du tien.
Et quand ton age sera égal à mon age,
La somme de nos ages sera 90 ans.
Quel est mon age.
Problème 2:
Soit A un nombre de deux chiffres et B son inverse (ex A=12 B=21)
Sachant que la somme des deux chiffres est 14
Et B-A=36 quel est la valeur de A.
Problème 3:
Deux ouvrier le premier accomplit le travail en 3 heures et l'autres en 5 heures .
S'ils vont travailler tout les deux quelle sera la durée du travail.
(je n'ai pas résolu le troisième).
Bonne chance.

Bsr ^^
Pour la premiére on a :
x=2y et 2y+x+y=90
donc : y = 90/5
y = 18 et x = 36
Sauf erreur bien sûr ^^
Pour le deuxiéme :
A=59
Comment j'ai trouvé , il n'y a qu'une combinaison limité de deux chiffre en sachant que B>A donc A=59 ou 68 ou 77 et en utilisant la soustraction on trouve facilement A=59
Sauf erreur ^^
Pour le troisiéme :
celui la demande un peu d'imagination je trouve ^^ donc voila :
on sait que le premié fait le travail en 3 heures donc :
en 1heure il fait 1/3 du travail
et le deuxiéme fait le travail en 5 h donc
en 1heure il fait 1/5 du travail
maintenant si il travail ensemble en aura un nombre x de heures
tel que x/3+x/5 = 1
en d'autre terme prenons le travai comme un carré qu'il doivent colorié on découpera le carré en 3 parti égal et en 5 autres parti égal le carré est egal a 1 ; sachant que le premier colori le tier du carré en 1 heure et l'autre colori le cinquiéme du carré en 1 heure et le carré est de surface 1 on arrive facilement a la déduction :
x/3+x/5 = 1 et x=1.875 ^^
pourvu que se soi just ^^

Pour la deuxième j'ai fait: A=10x+y et B=10y+x
donc 11x+11y=14 et 9y-9x=36
c facile après on trouve x et y et déduire la valeur de A

Pour la troisième j(ai fait presque comme toi:
-On a le premier ouvrier fait 1 travail en 3 heure donc il fait 5 travaille en 15 heure.
-On le le deuxième ouvrier fait 1 travail en 5 heure donc il fait 3 travail en 15 heure.
-Donc les 2 ouvrier peuvent faire 8 travaille en 15 heures c-à-d qu'ils peuvent faire 1 travaille en 1.875 heure

XD oé c'est comme moi mais en plus simple ^^ bien joué

nmo a écrit:

voici trois problèmes
1)mon age est le double du tien.
et quand ton age sera égal à mon age,
la somme de nos ages sera 90 ans.
quel est mon age
2)soit A un nombre de deux chiffres et B son inverse (ex A=12 B=21)
sachant que la somme des deux chiffres est 14
et B-A=36 quel est la valeur de A.
3)deux ouvrier le premier accomplit le travail en 3 heures et l'autres en 5 heures .
s'ils vont travailler tout les deux quelle sera la durée du travail
(je n'ai pas résolu le troisième)

la somme de A et B n'est pa 14 mais c 'est 154

la somme des deux chiffres !! A et B sont des nombres

Toutes ces réponses sont belles et justes.
Voici deux autres
Problème 1:
Déterminez un nombre de trois chiffres sachant que:
-la somme des chiffres est 18.
-il augmente de 18 quand on permute les deux derniers chiffres.
-il diminue de 360 quand on permute les deux premiers chiffres.
Problème 2:
Détreminez tous les entiers n tel que n^2+8n-56 soit un carré parfait.
Bonne chance.

voici un autre exercice:
a,b,c,et a,'b',c' sont des nombres réels tels que a/a'+b/b'=1 et b/b'+c/c'=1
montrez que abc+a'b'c'=0.

Je signale que si quelqu'un a un exercice peut le poster.
Si aucun n'a posté sa réponse je vais poster la mienne.
Bonne chance.

Voici un autre:
L'aire d'un triangle est 20.
Son périmètre est 24.
Calculez le rayon du cercle inscrit dans ce triangle.
Bonne chance.

Pour l'exo 1 :
le nombre est 846 ( j'ai pas le temps de poster la méthode mais c'est comme celui d'avant )
Pour le deuxiéme
n=5 mais je suis pas encore sûr !! en attente de ta confirmation ^^

nmo a écrit:

voici un autre exercice:
a,b,c,et a,'b',c' sont des nombres réels tels que a/a'+b/b'=1 et b/b'+c/c'=1
montrez que abc+a'b'c'=0.

Bjr :
ya un truc qui cloche ... prend a,b,c=1 et a',b',c'=2

on aura abc + a'b'c' = 9 et pas 0

nmo a écrit:

voici un autre:
l'aire d'un triangle est 20. son périmètre est 24.
calculez le rayon du cercle inscrit dans ce triangle.

On prend O le cercle inscrit dans ce triangle abc, et R le rayon.
K projeté orthogonale de O sur ab
H projeté orthogonale de O sur ac
L projeté orthogonale de O sur bc
on a IK=IL=IH=R
on a Sabc=20
et Siab=1/2.R.ab Siac=1/2.R.ac et Sibc=1/2.R.bc
Sabc=Siab+Siac+Sibc
20=1/2.R(ab+bc+ac)
=1/2.R.24
=12R
donc R=20/12=5/3cm

nmo a écrit:

voici un autre exercice:
a,b,c,et a,'b',c' sont des nombres réels tels que a/a'+b/b'=1 et b/b'+c/c'=1
montrez que abc+a'b'c'=0.

Il y'a une faute dans l'énoncé, tu aurai dit: a/a'+b'/b=1 et b/b'+c'/c=1
------------------------------------------------------------------------------------
Dans ce cas voila ma réponse:
On a b/b'+c'/c=1 donc (bc+b'c')/b'c=1 donc bc+b'c'=b'c
on multiplie par a' et on trouve a'bc+a'b'c'=a'b'c(1)

On a a/a'+b'/b=1 donc ab+a'b'=a'b
on multiplie par c et on trouve abc+a'b'c=a'bc(2)

(1)+(2)==>abc+a'b'c'=0

Oui j'ai une faute dans l'énoncé.
Bien joué yassine, les deux solutios sont justes.

Soient x le chiffre des centaine, y le chiffre des dizaines, z le chiffre des unités.
-La somme des chiffres est 18
Cela veut dire x+y+z=18.
-Il augmente de 18 quand on permute les deux derniers chiffres.
Cela veut dire 100x+10z+y=100x+10y+z+18.
-Il diminue de 360 quand on permute les deux premiers chiffres.
Cela veut dire 100y+10x+y=100x+10y+z-360.
On obtient le système:
x+y+z=18.
100x+10z+y=100x+10y+z+18.
100y+10x+y=100x+10y+z-360.
D'ou
x+y+z=18.
9z-9y=18.
90y-90x=-360.
Et ensuite
x+y+z=18.
z-y=2.
y-x=-4.
Donc
z=y+2.
x=y+4.
y+4+y+y+2=18.
Ensuite:
3y=12
z=y+2.
x=y+4.
Finalement:
y=4.
z=6.
x=8.
D'ou le nombre est 846.
Oui c'est juste darkpseudo.