polynomes

mizmaz a écrit:

nmo a écrit:

Il n'y a aucune information sur le type de la fonction.
Ainsi, elle peut être de la deuxième degré.
P.S: c'est l'exercice 37 du livre.

Aucune fonction polynôme de degrés strictement supérieur à 1 ne satisfait l'énoncé. Chose facilement déductible de par l'expression générale de la fonction polynôme.
Au plaisir !

Peux-tu la démontrer?

nmo a écrit:

mizmaz a écrit:

nmo a écrit:

Il n'y a aucune information sur le type de la fonction.
Ainsi, elle peut être de la deuxième degré.
P.S: c'est l'exercice 37 du livre.

Aucune fonction polynôme de degrés strictement supérieur à 1 ne satisfait l'énoncé. Chose facilement déductible de par l'expression générale de la fonction polynôme.
Au plaisir !

Peux-tu la démontrer?

Si f est une fonction de degré 2.
On pose f(x)=ax^2+bx+c tel que a se diffère de 0.
D'une part, on a f(-x)=a(-x)^2+b(-x)+c.
Donc f(-x)=ax^2-bx+c.
Donc 5f(-x)=5ax^2-5bx+5c.==>(2)
D'autre part, on a f(1-x)=a(1-x)^2+b(1-x)+c.
Donc f(1-x)=a(1-2x+x^2)+b(1-x)+c.
Donc f(1-x)=a-2ax+ax^2+b-bx+c.==>(1)
La somme de 1 et 2 donne 5f(-x)+f(1-x)=5ax^2-5bx+5c+a-2ax+ax^2+b-bx+c.
Donc 2x=6ax^2-6bx-2ax+a+b+6c.
Donc 2x=6ax^2-(6b+2a)x+a+b+6c.
Donc, par identification terme à terme, 6a=0 et -2=6b+2a et 0=a+b+6c.
Donc a=0 et -2=6b et b+6c=0.
Donc a=0 et b=-1/3 et 6c=1/3.
Donc a=0 et b=-1/3 et c=1/18.
Donc f(x) n'est pas une fonction de degré 2.
De même si f est de degré supérieur à 2.
Ainsi, on revient à ta réponse mizmaz.
P.S: à toi de proposer le prochain exercice.

Problème proposé:
a et b sont deux réels.
Montrez que .
Bonne chance.

CQFD.

MohE a écrit:

nmo a écrit:

Soit f une fonction définie de IR vers IR, tel que 5f(-x)+f(1-x)=2x.
Exprimez f(x) en fonction de x.
Bonne chance.

Essayez plutot de trouver tous les fonctions f definie sur IR, pour lequels:
5f(x)+f(1-x)=2x.

On a 5f(x)+f(1-x)=2x.==>(1)
Donc 5f(y)+f(1-y)=2y.
Si y=1-x, alors 5f(1-x)+f(1-(1-x))=2(1-x).
Donc 5f(1-x)+f(1-1+x)=2-2x.
Donc 5f(1-x)+f(x)=2-2x.==>(2)
En sommant 1 et 2, on trouve 5f(x)+f(1-x)+5f(1-x)+f(x)=2x+2-2x.
Donc 6f(x)+6f(1-x)=2.
Donc 3f(x)+3f(1-x)=1.
Donc f(x)+f(1-x)=1/3.
Donc -f(x)-f(1-x)=-1/3.==>(3)
La somme de 1 et 3 donne 5f(x)+f(1-x)-f(x)-f(1-x)=2x-(1/3).
Donc 4f(x)=2x-(1/3).
Donc f(x)=(1/2)x-(1/12).
Sauf erreur.

M.Marjani a écrit:

CQFD.

Tu as dit que a²+b²>=2ab>=ab.
Si a=-1 et b=2. alors 2ab>=ab devient fausse.
A toi de terminer ce que tu as débuté.
Au plaisir.

a²+b²>=2ab , c'est appliquer pour les reélles positifs !!! , ce qui ne prouve pas forcement ce que t'a dis M.Marjani

donc voila ma soluc ^^:
on peut supposer avec symetrie de role a>=b
donc c b1 claire que :

et puisque on a : a>=b alors a²>= ab ==> a²-ab>=0
ce qui prouve que a²(a²-ab) est positif
et d'autre cote on a a²(a²-ab)>= b²(b²-ab) car chaque facteur est positif ou nul , et que chaque facteur du membre de gauche est majoré par un autre different dans le membre a droit !!
donc on deduit que a^4+b^4-ab(a²+b²)>=0
d'ou la conclusion !^^

master a écrit:

a²+b²>=2ab , c'est appliquer pour les reélles positifs !!! , ce qui ne prouve pas forcement ce que t'a dis M.Marjani

a²+b²>=2ab C'est appliquer pour tout réel Mr Master .. ^^.

nmo a écrit:

M.Marjani a écrit:

CQFD.

Tu as dit que a²+b²>=2ab>=ab.
Si a=-1 et b=2. alors 2ab>=ab devient fausse.
A toi de terminer ce que tu as débuté.
Au plaisir.

Au moins il faut réflichir avant d'agir Mr nmo..
T'as prenais un réel négative.. mais on sait que: a²+b²>=0 ..
Normalement il faut oublier "négative" dans ce cas.
Amicalement.

M.Marjani a écrit:

nmo a écrit:

M.Marjani a écrit:

CQFD.

Tu as dit que a²+b²>=2ab>=ab.
Si a=-1 et b=2. alors 2ab>=ab devient fausse.
A toi de terminer ce que tu as débuté.
Au plaisir.

Au moins il faut réflichir avant d'agir Mr nmo..
T'as prenais un réel négative.. mais on sait que: a²+b²>=0 ..
Normalement il faut oublier "négative" dans ce cas.
Amicalement.

Il ne faut pas l'oublier, a²+b² est positif.
Le fait de dire que 2ab>=ab est faux si l'un de ces nombres est négatif.
Ta methode est jolie, mais il faut la compléter.

Okey! Comme tu veux, voilà:


a²+b²>=ab forcément Si: ab est négative.
a²+b²>=2ab>=ab Si ab est positive.

CQFD.

M.Marjani a écrit:

Okey! Comme tu veux, voilà:


a²+b²>=ab forcément Si: ab est négative.
a²+b²>=2ab>=ab Si ab est positive.

CQFD.

Pour mettre fin à cette comédie, regarde par là:
https://mathsmaroc.jeun.fr/espace-defi-f18/exercice-t15464.htm
Amicalement.

Voici un exercice:
Soient a et b deux réels vérifiant a>1 et b>1.
1/Montrez que .
2/Montrez que .
Bonne chance.
P.S: chaque question est indépendante de l'autre.

pour le premiére :
posons x=a-1 et y=b-1 ==> x,y>0
ce qui conduit a (x+1)²/y + (y+1)²/x >=

Bon.. ok.

mais marjani c pas juge que 2ab>= ab pour tt les reélles , t'a etudier que le cas du positifs , ce qui rend l'inego trop facile !!
je pense b1 que ta soluc incompléte , mais tu peux prouver ce que t'a dis
tu remplace a²+b²+ab ==> (a-b)²(a^3-b^3)/a-b = (a-b)(a^3-b^3)==> positif puisque ils ont eu la meme signe^^ !

Okey,

Bon voilà pour le 2éme:

On a: ab-aV(b-1)-bV(a-1)=a[b-V(b-1)]-bV(a-1)
On sait que: a>1 et b>1 , Donc: b>=2V(b-1)
Donc il suffit de démontrer que: b-V(b-1)>=b/2
On a: b-V(b-1)>=b/2 <=> 2b-2V(b-1)>=b <=> b>=2V(b-1)
Ce qui est juste !
Revenons donc à: a[b-V(b-1)]-bV(a-1)
a[b-V(b-1)]-bV(a-1)>=a*(b/2)-bV(a-1)=b(a/2 -V(a-1))
De méme façon que b: on a: a-V(a-1)>=a/2
D'ou: (a/2)-V(a-1)>=0
Donc: b(a/2 -V(a-1)>=0
D'ou le résultat ..

CQFD.

Pour le premier voilà une autre methode:

On sait que: a>1 et b>1 , Donc: a>=2V(a-1)
Min(a,b) qui satisfait l'énoncé c'est le cas d'égalité!
On a: a=b => a²/(b-1)+b²/(a-1)>=2[a²/(a-1)]
a>=2V(a-1) <=> a²>=4(a-1)
D'ou: 2[a²/(a-1)]>=2*4=8
D'ou le résultat.
CQFD.

M.Marjani a écrit:

Okey,
Bon voilà pour le 2éme:
On a: ab-aV(b-1)-bV(a-1)=a[b-V(b-1)]-bV(a-1)
On sait que: a>1 et b>1 , Donc: b>=2V(b-1)
Donc il suffit de démontrer que: b-V(b-1)>=b/2
On a: b-V(b-1)>=b/2 <=> 2b-2V(b-1)>=b <=> b>=2V(b-1)
Ce qui est juste !
Revenons donc à: a[b-V(b-1)]-bV(a-1)
a[b-V(b-1)]-bV(a-1)>=a*(b/2)-bV(a-1)=b(a/2 -V(a-1))
De méme façon que b: on a: a-V(a-1)>=a/2
D'ou: (a/2)-V(a-1)>=0
Donc: b(a/2 -V(a-1)>=0
D'ou le résultat ..
CQFD.

Je ne suis pas contre cela.
Mais il existe une solution plus rigoureuse que je vais la poster après.

nmo a écrit:

M.Marjani a écrit:

Okey,
Bon voilà pour le 2éme:
On a: ab-aV(b-1)-bV(a-1)=a[b-V(b-1)]-bV(a-1)
On sait que: a>1 et b>1 , Donc: b>=2V(b-1)
Donc il suffit de démontrer que: b-V(b-1)>=b/2
On a: b-V(b-1)>=b/2 <=> 2b-2V(b-1)>=b <=> b>=2V(b-1)
Ce qui est juste !
Revenons donc à: a[b-V(b-1)]-bV(a-1)
a[b-V(b-1)]-bV(a-1)>=a*(b/2)-bV(a-1)=b(a/2 -V(a-1))
De méme façon que b: on a: a-V(a-1)>=a/2
D'ou: (a/2)-V(a-1)>=0
Donc: b(a/2 -V(a-1)>=0
D'ou le résultat ..
CQFD.

Je ne suis pas contre cela.
Mais il existe une solution plus rigoureuse que je vais la poster après.

D'accord, on vous attend
[Je peux poster? car ça fait longtemps que je n'ai pas posté xD..]

M.Marjani a écrit:

nmo a écrit:

M.Marjani a écrit:

Okey,
Bon voilà pour le 2éme:
On a: ab-aV(b-1)-bV(a-1)=a[b-V(b-1)]-bV(a-1)
On sait que: a>1 et b>1 , Donc: b>=2V(b-1)
Donc il suffit de démontrer que: b-V(b-1)>=b/2
On a: b-V(b-1)>=b/2 <=> 2b-2V(b-1)>=b <=> b>=2V(b-1)
Ce qui est juste !
Revenons donc à: a[b-V(b-1)]-bV(a-1)
a[b-V(b-1)]-bV(a-1)>=a*(b/2)-bV(a-1)=b(a/2 -V(a-1))
De méme façon que b: on a: a-V(a-1)>=a/2
D'ou: (a/2)-V(a-1)>=0
Donc: b(a/2 -V(a-1)>=0
D'ou le résultat ..
CQFD.

Je ne suis pas contre cela.
Mais il existe une solution plus rigoureuse que je vais la poster après.

D'accord, on vous attend
[Je peux poster? car ça fait longtemps que je n'ai pas posté xD..]

Vas-y.
On t'attends.

Merçi, on attend aussi votre methode.
L'exercise proposé:
Soit a,b et c trois entiers impairs.
Montrer que l'equation n'a pas de solution rationnelle.
B.C

L'exercice était de démontrer que: .
On a .
Donc .
Donc .
Donc .==>(1)
De même .==>(2)
En sommant 1 et 2, .
Donc .
Donc .
CQFD.