polynomes

oué ok ....
d'apres El Kashi (2)on a: cosA=(b²+c²-a²)/2bc
et puisque cos²A+sin²A=1 alors :
sin²A=1-(b²+c²-a²/4b²c²<=>4b²c²sin²A=4b²c²-(b²+c²-a²)²
<=>4b²c²sin²A(2bc-b²-c²+a²)(1bc+b²+c²-a²)=(a²-(b-c)²)((b+c)²-a²)
<=>4b²c²sinA=(a-b+c)(a+b-c)(b+c-a)(b+c+a)
on a 2p=a+b+c et a+b-c=2(p-c) et b+c-a=2(p-a) et a-b+c=2(p-b)
alors 4b²c².sinA=16(p-b)(p-c)(p-a).p
<=>b²c².sinA=4p(p-b)(p-c)(p-a).
or on a : sinA/a=2S/abc (2)<=>2S=bcsinA
alors 4S²=4p(p-b)(p-c)(p-a).
<=>S=V(p(p-a)(p-b)(p-c)
-------------------------------------------------------
mais je me demande si vous avez étudié les deux formules (1) et (2) car je crois que c'est à la fin du programme du tronc commun...sinon essayez de démontrer (1) et (2) ...c facile

louis a écrit:

Tu as oublié le carrée de 2x^2 dans le second exercice.

C'est édité.

Dijkschneier a écrit:

louis a écrit:

Tu as oublié le carrée de 2x^2 dans le second exercice.

C'est édité.

Merci pour la réponse, mais où est ton exercice.

louis a écrit:

Merci pour la réponse, mais où est ton exercice.

Regarde par là : https://mathsmaroc.jeun.fr/seconde-tronc-commun-f6/exercices-d-olympiade-t14310-225.htm#129507

Pouvez-vous me dire où trouvez-vous ces exercices? Et merci.

louis a écrit:

Je veux des exercices d'olympiades pour mieux préparer pour la seconde étape. Et merci d'avance.
voici un exercice de ma part:
soient a,a',a",b,b',b" des réels tel que: a/b<a'/b'<a"/b"
montrer que: a/b<(ab+a'b'+a"b")/(b^2+b'^2+b"^2)<a"/b"

je sais que c'est déja posté mais je veux sa solution.

Voici la démonstration du théorème d'Alkashi:
Soit ABC un triangle tel que AB=c et AC=b et BC=a.
On veut démontrer que a^2=b^+c^2-2bc.cos BÄC.
Soit H la projection orthogonale de B sur AC.
On a BHC un triangle rectangle en H.
Donc d'après pytagore on a BC^2=BH^2+HC^2.
Donc BC^2=BH^2+(CA-AH)^2.
Donc BC^2=BH^2+CA^2-2CA*AH+AH^2. ==>(1).
On a aussi BHA un triangle rectangle en H.
Donc d'après pytagore on a AB^2=BH^2+HA^2.
Ensuite 1 change en BC^2=AB^2+CA^2-2CA*AH. ==>(2).
Et on a cos BÄC = AH/AB.
Donc AH=AB*cos BÄC.
Il s'ensuit que 2 équivaut à BC^2=AB^2+CA^2-2CA*AB*cos BÄC.
Enfin a^2=b^+c^2-2bc.cos BÄC.
Pour l'autre relation on n'a pas encore étudier.
J'attends vos confirmations.

louis a écrit:

Je veux des exercices d'olympiades pour mieux préparer pour la seconde étape. Et merci d'avance.
voici un exercice de ma part:
soient a,a',a",b,b',b" des réels tel que: a/b<a'/b'<a"/b"
montrer que: a/b<(ab+a'b'+a"b")/(b^2+b'^2+b"^2)<a"/b"

On a a/b<a'/b' et a/b<a"/b".
Donc ab'<a'b et ab''<a''b.
Donc ab'^2<a'bb' et ab''^2<a''bb''
En sommant ab'^2+ab''^2<a'bb'+a''bb''.
Donc en ajoutant ab^2: ab^2+ab'^2+ab''^2<ab^2+a'bb'+a''bb''.
Donc a(b^2+b'^2+b''^2)<b(ab+a'b'+a''b'').
Enfin a/b<(ab+a'b'+a"b")/(b^2+b'^2+b"^2).
Les même étapes pour l'autre et on conclut ce qui est demandé.

Je pense que ma résolution peut être juste seulement lorsque les nombres sont positifs.
Il faut mensionner celui-ci dans l'exercice ou on va rédiger deux ou trois page pour cet exercice qui ne semble pas être difficile.

voici un autre exercice:
Les bons nombres
On dit qu’un nombre entier supérieur ou égal à 2 est « bon » s’il peut s’écrire comme la
somme de nombres entiers naturels non nuls, distincts ou non, dont la somme des inverses
est égale à 1.
On dit qu’il est « mauvais » s’il n’est pas « bon ».
Ainsi, par exemple :
2 =1+1 et 1/1+1/1=/ 1 , donc 2 est « mauvais » (la seule décomposition possible pour 2 étant 1+1).
3 =1+ 2 et 1/2+1/1=/1 ; 3 =1+1+1 et 1/1+1/1+1/1=/1; donc 3 est également « mauvais » (les deux décompositions possibles pour 3 ayant été examinées).
1. Déterminer pour chacun des nombres entiers de 4 à 10 s’il est « bon » ou « mauvais ».
2. Montrer que le carré de tout nombre entier supérieur ou égal à 2 est « bon ».
3. Montrer que si n est « bon », alors 2 n + 2 et 2 n + 9 sont « bons ».
4. On admet que tous les nombres entiers de 24 à 55 sont « bons ».
Qu’en est-il de tout nombre entier supérieur ou égal à 56 ?
Bonne chance.
le signe =/ indique l'inégalité

nmo a écrit:

louis a écrit:

Je veux des exercices d'olympiades pour mieux préparer pour la seconde étape. Et merci d'avance.
voici un exercice de ma part:
soient a,a',a",b,b',b" des réels tel que: a/b<a'/b'<a"/b"
montrer que: a/b<(ab+a'b'+a"b")/(b^2+b'^2+b"^2)<a"/b"

On a a/b<a'/b' et a/b<a"/b".
Donc ab'<a'b et ab''<a''b.
Donc ab'^2<a'bb' et ab''^2<a''bb''
En sommant ab'^2+ab''^2<a'bb'+a''bb''.
Donc en ajoutant ab^2: ab^2+ab'^2+ab''^2<ab^2+a'bb'+a''bb''.
Donc a(b^2+b'^2+b''^2)<b(ab+a'b'+a''b'').
Enfin a/b<(ab+a'b'+a"b")/(b^2+b'^2+b"^2).
Les même étapes pour l'autre et on conclut ce qui est demandé.

salam....
faites attention...il s'agit de réels et non pas de réels positifs....
....c'était un exo de l'olympiade de notre région qu'on a passé l'année dernière ....

Je sais mais il faut indiquer qu'on travaille dans IR+ ou on rédigera deux pages pour répondre seulement à cet exercice.

oué...justement...aussi l'année dernière j'ai consommé 1 page pour répondre à cet exo....sinon ça deviendra trivial

J'ai suivi les réponse dans le lien.
Vous avez mal répondu à la dernière question.
Reposte-le pour le refaire.

nmo a écrit:

J'ai suivi les réponse dans le lien.
Vous avez mal répondu à la dernière question.
Reposte-le pour le refaire.

qu'est ce que je reposte???de quoi parles tu?

Le voici majdouline:
ABC est un triangle. M un point à l'intérieur de ce triangle et p son périmétre. Montrez que:
p/2 < MA + MB + MC < p
Bonne chance.

nmo a écrit:

J'ai suivi les réponse dans le lien.
Vous avez mal répondu à la dernière question.
Reposte-le pour le refaire.

nmo a écrit:

Le voici majdouline:
ABC est un triangle. M un point à l'intérieur de ce triangle et p son périmétre. Montrez que:
p/2 < MA + MB + MC < p
Bonne chance.

salam
non...j'ai pu faire cet exercice correctement l'année dernière .....il est un très bon exercice quand même

J'attends ta réponse et je vais la réviser.
N'hésite pas à la poster.

la réviser??pourquoi??pour me dire si c'est faux ou c vrai????
bon pour p<MA+MB+MC est bien claire...car d'après l'inégalité triangulaire on a :
AB<AM+MB et BC<BM+MC et AC<AM+MC
en sommant les trois inégalité on obtient le résultat voulu....
pour MA+MB+MC<2P
soit I le point d'intersection de (MB) et (AC)...on a donc:
BI<AB+AI et MC-MI<IC==>BI+MC-MI<AB+AI+IC (a)
et on a AI+IC=AC (car I£[AC])
et on a BM+MI=BI===>BI-MI=MB (car M£[BI])
alors (a) devient: MB+MC<AB+AC (1)
de la même façon on démontre que: MA+MC<AB+BC (2)
et MA+MB<AC+CB (3)
en sommant (1) ,(2) et (3) on trouve ce qu'on veut démonter

majdouline a écrit:

la réviser??pourquoi??pour me dire si c'est faux ou c vrai????
bon pour p<MA+MB+MC est bien claire...car d'après l'inégalité triangulaire on a :
AB<AM+MB et BC<BM+MC et AC<AM+MC
en sommant les trois inégalité on obtient le résultat voulu....
pour MA+MB+MC<2P
soit I le point d'intersection de (MB) et (AC)...on a donc:
BI<AB+BI et MC-MI<IC==>BI+MC-MI<AB+BI+IC (a)
et on a BI+IC=AC (car I£[AC])
et on a BM+MI=BI===>BI-MI=MB (car M£[BI])
alors (a) devient: MB+MC<AB+AC (1)
de la même façon on démontre que: MA+MC<AB+BC (2)
et MA+MB<AC+CB (3)
en sommant (1) ,(2) et (3) on trouve ce qu'on veut démonter

Ce n'est pas mais

Dijkschneier a écrit:

majdouline a écrit:

la réviser??pourquoi??pour me dire si c'est faux ou c vrai????
bon pour p<MA+MB+MC est bien claire...car d'après l'inégalité triangulaire on a :
AB<AM+MB et BC<BM+MC et AC<AM+MC
en sommant les trois inégalité on obtient le résultat voulu....
pour MA+MB+MC<2P
soit I le point d'intersection de (MB) et (AC)...on a donc:
BI<AB+BI et MC-MI<IC==>BI+MC-MI<AB+BI+IC (a)
et on a BI+IC=AC (car I£[AC])
et on a BM+MI=BI===>BI-MI=MB (car M£[BI])
alors (a) devient: MB+MC<AB+AC (1)
de la même façon on démontre que: MA+MC<AB+BC (2)
et MA+MB<AC+CB (3)
en sommant (1) ,(2) et (3) on trouve ce qu'on veut démonter

Ce n'est pas mais

merci de m'indiquer cela...ce n'était qu'une erreur de frappe mais maintenant c'est corrigé

Je n'ai pas vu cela auparavant dans ton sujet mais c'est la même démonstration que la mienne.

louis a écrit:

voici un autre exercice:
Les bons nombres
On dit qu’un nombre entier supérieur ou égal à 2 est « bon » s’il peut s’écrire comme la
somme de nombres entiers naturels non nuls, distincts ou non, dont la somme des inverses
est égale à 1.
On dit qu’il est « mauvais » s’il n’est pas « bon ».
Ainsi, par exemple :
2 =1+1 et 1/1+1/1=/ 1 , donc 2 est « mauvais » (la seule décomposition possible pour 2 étant 1+1).
3 =1+ 2 et 1/2+1/1=/1 ; 3 =1+1+1 et 1/1+1/1+1/1=/1; donc 3 est également « mauvais » (les deux décompositions possibles pour 3 ayant été examinées).
1. Déterminer pour chacun des nombres entiers de 4 à 10 s’il est « bon » ou « mauvais ».
2. Montrer que le carré de tout nombre entier supérieur ou égal à 2 est « bon ».
3. Montrer que si n est « bon », alors 2 n + 2 et 2 n + 9 sont « bons ».
4. On admet que tous les nombres entiers de 24 à 55 sont « bons ».
Qu’en est-il de tout nombre entier supérieur ou égal à 56 ?
Bonne chance.
le signe =/ indique l'inégalité

Il reste celui-là. Je vais vous donner un autre délai et puis je poste la réponse.

Voici la réponse des deux premières questions.
1. Parmi les nombres de 1 à 10, seuls 1, 4, 9 et 10 sont « bons » :
1=1 et 1/1=1
4=2+2 et 1/2+1/2=1
9=3+3+3 et 1/3+1/3+1/3=1
10=4+4+2 et 1/4+1/4+1/2=1
Pour les autres nombres, on examine toutes les décompositions possibles (en évitant celles comportant un 1 ou deux 2, qui n’aboutiront pas) pour se rendre compte qu’ils sont « mauvais ».
2. Si n est le carré d’un entier naturel, on peut écrire n=k^2=k*k=k+k+…..+k .
Alors 1/k+1/k+ … +1/k=k*1/k=1, ce qui montre que n est « bon ».
Allez pour le troisième et le quatrième réflichissez (le quatrième est assez facile que le troisième).

seulement prendre 0 , -1 et -1/2 comme des racines et calculez p(0) , p(-1) et p(-1/2)