Le marathon des inégalités:

stp j'ai pas compris d'ou vient la premiere ligne de votre demonstration!!! monsieur expert_run de l'exercise sum{rac(a²+2bc/b²+c²)}>=3

il a supposé que a >=b >= c , donc : 2bc >= c ² , 2ac >= c² et c²+2ab >= 2ab

Oty a écrit:

killua 001 a écrit:

soient a ,b et c de reels positives . M.Q:
rac (2a/a+b ) +rac(2b/b+c) +rac(2c/a+c) inf = 3

Deja posté sur le forum je pense ...

px-tu m'envoyer le lien svp

non je l ai pas , mais je pense l 'avoir deja vu plusieurs fois sur le forum ...

Oty a écrit:

il a supposé que a >=b >= c , donc : 2bc >= c ² , 2ac >= c² et c²+2ab >= 2ab

merci bien

killua 001 a écrit:

Oty a écrit:

killua 001 a écrit:

soient a ,b et c de reels positives . M.Q:
rac (2a/a+b ) +rac(2b/b+c) +rac(2c/a+c) inf = 3

Deja posté sur le forum je pense ...

px-tu m'envoyer le lien svp

mais tu peux voir ici

Probleme courant :

Oty a écrit:

Montrer que si : a+b+c=0 alors : a²b²+b²c²+c²a²+6abc +3 >= 0 .

.

ma solution pour le probleme courant : par symétrie supposant : v²=ab >=0 et c =<0 et posant a+b=2u>=0 , notant que : c=-2u . l'inégalité est équivalent a : v^4 + 4u²(4u²-2v²)+12uv²+3 >=0 soit : v^4+16u^4-8u²v²+12uv²+3 >=0 , qui est une quadratique équation en v² dont le descriminant D= (12u-8u²)² - 4 (16u^4+3) = -12 (4u+1)(2u-1)² < 0 d'ou le resultat .

a,b,c >=0 tel que deux d'entre eux ne sont jamais nul Montrer que :

Oty a écrit:

a,b,c >=0 tel que deux d'entre eux ne sont jamais nul Montrer que :

Sigma cyc (a²/(a²+ab+b²)) = Sigma cyc 1 - ( b(a+b) / (a²+ab+b²) ) >= Sigma cyc 1 - (b(a+b) / 3ab) = Sigma cyc 1- (a+1)/3a .. Pourrais-tu continuer? je bloques :p

Oty a écrit:

a,b,c >=0 tel que deux d'entre eux ne sont jamais nul Montrer que :

Si l'une des variables est nulle (par exemple c), l'inégalité se réduit à:
, ce qui est juste.

Supposons que toutes les variables sont strictement positives, ainsi, l'inégalité est équivalente à:

tel que: , donc: xyz=1.
Il suffit montrer que:
.
On a: .
Donc:
.
Et on trouve après développement que:

(en tenant compte que xyz=1).
D'où: ... le résultat en découle.

Problème: (*)

Trouver la valeur maximale du réel k tel qu'on a pour tous nombres strictement positifs a,b et c l'inégalité suivante:

ali-mes , On voit pas ton problème -_-

wa bou7dek akhay ali 7na rah tanchoofoh

K=0 ???

ali-mes a écrit:

Problème: (*)

Trouver la valeur maximale du réel k tel qu'on a pour tous nombres strictement positifs a,b et c l'inégalité suivante:

ma solution : je trouve finalement kmax=4 , pour a=b=1 , l'inégalité est equivalent a : on a : f(0)=2 >=0 d'ou pour que cette inégalité soit tjrs vrai il suffit que f'(c) > 0 (car c>0 ) on a : f'(c)=(12-3k)c²+(4k-12)c-k , le décriminant est D=4(k-6)² on remaque que pour cette equation admet deux solution c2 =< c1=-1 d'ou pour que f'(c) > 0 il suffite que 12-3k >=0 ainsi k=< 4 d"ou kmax=4 . Pour kmax=4 on pose : \sum a= 3u , \sum ab=3v² , abc=w^3 , l'inégalité est equivalent a g(w^3)=Aw^3 + B >=0 qui est linéaire en w^3 d'ou il suffit de prouver l'inégalité seulement pour a=b=1 et c >=0 , equivalent a : 2c²-4c+2=2(c-1)² >=0 ce qui est vrai . Tres jolie probleme Ali

Oty a écrit:

a,b,c >=0 tel que deux d'entre eux ne sont jamais nul Montrer que :

je croix qu'il vrai pour a,b,c des reels . je posterai ma solution ou j'ai utiliser \sum a/b+c sup a 1.5 pour a,b,c des reels positifs

a,b,c >=0 tel que : ab+bc+ca=3 Prouver que :

Oty a écrit:

a,b,c >=0 tel que deux d'entre eux ne sont jamais nul Montrer que :

d'apres holder on a (1+1+1)(sumcyclic{a(a²+ab+b²)})(sumcyclic{a²/(a²+ab+b²)}) >=(a+b+c)^3


donc T=sumcyclic{a²/(a²+ab+b²)}>=(a+b+c)^3/{3(sumcyclic{a(a²+ab+b²)})} non ça donne rien je me suit trompé je vais demarer autrement

Oty a écrit:

Prouver que pour tout a,b,c appartenant a [-1,1] on a : 1+2abc >= a²+b²+c² .

je crois que c'est faux prend par exemple le triplet (1,0,1) tu aura 1>=2 qui est fausse

younesmath2012 a écrit:

Oty a écrit:

Prouver que pour tout a,b,c appartenant a [-1,1] on a : 1+2abc >= a²+b²+c² .

je crois que c'est faux prend par exemple le triplet (1,0,1) tu aura 1>=2 qui est fausse

oui désolé le probleme est erroné je vais le changé

Oty a écrit:

a,b,c >=0 tel que : ab+bc+ca=3 Prouver que :

Bon je propose Ma solution


f est concave , d'après Jensen :


Donc il suffit de montrer que :






et comme f est décroissante, il faut montrer que :




( ce qui est vrai )

Problème ** :

soit (a,b,c) > 0
tels que abc=1
Montrez que :

alidos a écrit:

Oty a écrit:

a,b,c >=0 tel que : ab+bc+ca=3 Prouver que :

Bon je propose Ma solution


f est concave , d'après Jensen :


Donc il suffit de montrer que :






et comme f est décroissante, il faut montrer que :




( ce qui est vrai )

f''(x)=4\(x+2)^3 > 0 elle n'est pas concave !