Le marathon des inégalités:

younesmath2012 a écrit:

Oty a écrit:

Bon pour continuer le Marathon voici la solution du Problème 108 : on transforme l'inégalité sous la forme : , on pose a=< b,c , puisque (b+c-a) >=0 il suffit de prouver que : t+p >=0 equivalent a : (b-c)²(b-a)(c-a)+2a²bc+ab²c+abc² >=0 ce qui est vrai ..

verifi si c'est juste ce qui est ecrit !!!!!!!!!! car j'ai pas compris!!!!!! merci d'avance

il me semble que : .

younesmath2012 a écrit:

Oty a écrit:

expert_run a écrit:

Problème 107:
Soient x;y et z des réels positfs. Montrer que:

Veuillez respecter la numérotation. Et merci

J'avais proposé ce problème ICI , Problème 618 . Problème 108: Montrer que pour tout a,b,c >0 :

vraiment tu pose des exos plus difficille pour les marocains
est ce tu peut donner la reponse puis poser des exos (ma39olines) pour qu'on puissent les resoudres et merci ma3a koli htiramati..............

Désolé mais je ne partage pas votre point de vu , ce topic est dans la partie olympiade , dont les probleme ne sont généralement pas facile , et Tbarkellah plein de forumiste arrive a résoudre ce genre d'inégalité vous n'avez qu'a jeté un oeil sur quelque précédentes pages !

Oty a écrit:

Problème 109: soit a,b,c >=0 vérifiant : a+b+c+ab+ac+bc=6 . Montrer que : 4(a+b+c)+abc >= 13 .

Solution problème 109:
Soit f(a;b;c)=4(a+b+c)+abc et g(a;b;c)=0 tel que g(a;b;c)=6-a-b-c-ab-ac-bc
l(a;b;c;y)=f(a+b+c)+yg(a;b;c)
Cherchons les 4-tuple (a,b;c;y) satisfaisant les conditions:
dl/da=dl/db=dl/dc=dl/dy=0
On obtient ainsi le système suivant:
4+bc-y(1+b+c)=0
4+ac-y(1+a+c)=0
4+ab-y(1+a+b)=0
a+b+c+ab+ac+bc=6
===> a=b=c ou bien deux éléments de {a;b;c} sont égaux à y
Pour a=b=c on trouve que a=b=c=1 donc f(a;b;c)=13
Pour a=b=y on trouve que 4+y²=y(1+2y)<==>y²+y-4=0==> y=(sqrt(17)-1)/2 et ainsi c=(5sqrt(17)-17)/34
Et ainsi f(a;b;c)=(11sqrt(17)-19)/2>13
En conclusion f(a;b;c) admet 13 comme minimum quand a=b=c=1

Problème 120:
Soient a_1;a_2;...;a_n des réels positifs appartenant à l'intervalle [0;2] tel que
a_1+a_2+....+a_n=1
Trouver la valeur maximale de S= (a_1)²+(a_2)²+....+(a_n)²

Je ne suis pas sûr de ce que je vais écrire.

Vu que a_k >= 0 pour tout k£ (0;1;2;...;n) et que sigma(a_k)=1 il s'en suit que 0=<a_k<= 1 pour tout k£ (0;1;2;...;n).

Alors

Et c'est clair que l'inégalité a lieu si tout les a_i sauf un seul sont égaux à 0 alors que l'autre est égale à 1.

J'attends des confirmations.

konica a écrit:

Je ne suis pas sûr de ce que je vais écrire.

Vu que a_k >= 0 pour tout k£ (0;1;2;...;n) et que sigma(a_k)=1 il s'en suit que 0=<a_k<= 1 pour tout k£ (0;1;2;...;n).

Alors

Et c'est clair que l'inégalité a lieu si tout les a_i sauf un seul sont égaux à 0 alors que l'autre est égale à 1.

J'attends des confirmations.

Bon c'est juste même si j'ai fait une faute dans l'énoncé de l'exercice car sigma(a_k)=n et non 1
mais bon c'est pas grave vous pouvez l'essayer dans ce cas.
A toi de poster le problème suivant.

Je n'ai pas un problème en ce moment. Si quelqu'un veut poster quelque chose, il le fera.

Problème 121 : soit a,b,c > 0 tel que : a+b+c=1 , Prouver que :

Oty a écrit:

Problème 121 : soit a,b,c > 0 tel que : a+b+c=1 , Prouver que :

L'énoncé est faux !!!!!

Le problème est édité.

c édité ! faute de frappe

Solution au problème 121 :

On doit montrer que

Considérons la fonction :

Et la contrainte :

On forme une autre fonction L tel que :


On calcule les dérivées partiales de L :




Ces dérivations sont égales à zéro, alors il suffit de résoudre le système :


La première et deuxième équation sont égales, alors :


Ce qui veut dire que soit a=b soit a+b+ab²=0, cette dernière équation est impossible puisque a et b sont strictement positifs.

De la même façon on obtient à la fin a=b=c=1/3
En substituant ces valeurs dans la fonctions P on aura 25 comme valeur maximale.

Et je n'ai pas de problèmes à proposer.

Problème 122 : soit a,b,c>=0 , Montrer que :

Solution du problème 122:

(Je ne suis encore pas sûr)

L'inégalité est homogène, supposons que a+b+c=1

On a : LHS >= 0 par IAG

Il suffit de prouver que : b+c-2a <= 0 équivalente à a+b+c-3a <= 0 équivalente à a>=1/3>0

EDIT:

Et si a=0, l'inégalité est équivalente à 4(b^3+c^3)>= (b+c)^3 ce qui est vrai par Holder.
(a^3+b^3)(1+1)(1+1)>= (a+b)^3

non c'est faux on peux avoir a < b+c\2

konica a écrit:

Solution du problème 122:

(Je ne suis encore pas sûr)

L'inégalité est homogène, supposons que a+b+c=1

On a : LHS >= 0 par IAG

Il suffit de prouver que : b+c-2a <= 0 équivalente à a+b+c-3a <= 0 équivalente à a >= 1/3 ce qui est vrai puisque a>=0

J'attends une confirmation.

Pourquoi ?
"Si a=0 alors l'inégalité est équivalente à 4(b^3+c^3) >= (b+c)^3 ce qui est juste d'après Hölder."
Ma solution au problème 122:
L'inégalité est équivalente à :
D'après IAG:
et d'après l'inégalité du réordonnement : .
Sauf erreurs .
Problème 123:
a,b et c des réels >0 tel que a+b+c=3. Prouver que :

Bonne chance.

Geo a écrit:

konica a écrit:

Solution du problème 122:

(Je ne suis encore pas sûr)

L'inégalité est homogène, supposons que a+b+c=1

On a : LHS >= 0 par IAG

Il suffit de prouver que : b+c-2a <= 0 équivalente à a+b+c-3a <= 0 équivalente à a >= 1/3 ce qui est vrai puisque a>=0

J'attends une confirmation.

Pourquoi ?

Parce que j'ai supposé que a+b+c=1.

@konica

Oty a écrit:

non c'est faux on peux avoir a < b+c\2

, Bravo Geo

Oty a écrit:

Problème 121 : soit a,b,c > 0 tel que : a+b+c=1 , Prouver que :

on a : ( sigma(1/a))*(a+b+c) sup= 9
et d'apres chebycheve 48(ab+ac+bc) sup= 48*1/3(a+b+c)² =16
alors : LHS sup= 25

killua 001 a écrit:

48(ab+ac+bc) sup= 48*1/3(a+b+c)² =16

C'est faux !!

Geo a écrit:

Problème 123:
a,b et c des réels >0 tel que a+b+c=3. Prouver que :

Bonne chance.

(p=a+b+c=3, q=ab+ac+bc et r=abc)
L'inégalité à démontrer est équivalente à:







Et on a: .
Si: , donc: .
Si: :
On a: .
Et par Schur: (p=3) , donc: .
CQFD...

Je n'ai pas de problèmes à proposer, que chacun se sente libre pour proposer un...

Problème 124 :

a,b,c,d sont des nombres réels strictement positifs tels que : abcd=1

M.Q :

konica a écrit:

Problème 124 :

a,b,c,d sont des nombres réels strictement positifs tels que : abcd=1

M.Q :

C'est le problème 12, bon je propose un problème pour avancer le marathon:

a,b,c>0 tel que: ab+ac+bc+abc>=4. Montrer que:

ali-mes a écrit:

a,b,c>0 tel que: ab+ac+bc+abc>=4. Montrer que:

Ma solution : soit un t appartenant a ]0,1] vérifiant : ab+bc+ca+tabc=4\t ce ''t'' existe car ab+bc+ca+abc >= ab+bc+ca+tabc=4\t >= 4 , d'ou on posant x=ta , y=tb , z=tc on a : xy+yz+xz+xyz=4 , l"inégalité est équivalente a : d'apres la nouvelle condition on peut effectuer le changement de variable suivant : , en utilisant (x+1)² >= 4x on a : ainsi il suffit de prouver que : ce qui est vrai .

¨ Problème 125 soit a,b,c > 0 , Prouver que :

ok