Préparations aux olympiades de première (2010-2011)

a=1/tan(x)... and you're done.

Dijkschneier a écrit:

a=1/tan(x)... and you're done.

Oh Yeah Bien. La trigonométrie est belle vraiment.
De ma part, je présente une deuxième methode qui consiste à remarquer que 1/a + 1/b + 1/c = 1/abc
<==> ab+bc+ac=1 ==> 1/sqrt(27) =< abc (1) Ou encore (a+b+c)(1/a + 1/b + 1/c) >= 9 <==> a+b+c >= 9abc (2)

L'inégalité est équivalente à
Qui est
Maintenant remarquez que
Notre première inégalité devient
D'une autre part LHS=
Donc Et (1), (2) achèvent la démonstration.

CQFD. Déclarez moi s'il figure une faute.
Merci.

ton premier résultat m'intrigue quelque peu ,par ce que moi j'ai trouvé abc =< 1/sqrt(27) de plus abc ne peut jamais être égal à 1 avec la condition qu'on a . Donc pour le reste j'ai pas lu .
Sinon ma solution :
LHS=

En utilisant le fait que \sum ab = 1
On obtient :
LHS=
LHS=
(Presque magique non XD ??)

maintenant reste plus qu'a prouver que a+b+c-abc >= 8/3V3 qui découle du fait que abc =<(a+b+c)/9 ( Shur ou IAG ou CS )
et que a+b+c >= V3 ( (sum a)^2 >= 3 sum ab )

darkpseudo a écrit:

ton premier résultat m'intrigue quelque peu ,par ce que moi j'ai trouvé abc =< 1/sqrt(27) de plus abc ne peut jamais être égal à 1 avec la condition qu'on a . Donc pour le reste j'ai pas lu .

Merci. Il y a d'autres fautes de frappe qui ont guidé la démonstration à paraître médiocre que je vais rectifier .

Citation :

Sinon ma solution :
LHS=

En utilisant le fait que \sum ab = 1
On obtient :
LHS=
LHS=
(Presque magique non XD ??)

maintenant reste plus qu'a prouver que a+b+c-abc >= 8/3V3 qui découle du fait que abc =<(a+b+c)/9 ( Shur ou IAG ou CS )
et que a+b+c >= V3 ( (sum a)^2 >= 3 sum ab )

C'est la même méthode que j'ai suivi, tu trouveras tout ce qui parait magique dans ma dernière solution

Pouvez vous m'expliquez ce que vous voulez dire avec , "LHS" , et puis " ( Shur ou IAG ou CS ) ) "
et puis pk utilisez vous le ( SIGMA )


Merci pour votre aide !!

ça fait beacoup de question à la fois :p :
LHS=Left Hand Side c'est juste pour ne pas réécrire l'expression de gauche ( pour la droite on écrit RHS )
Shur , IAG , et CS sont des théorèmes qui aboutissent à ce résultat . Et Sigma c'est le Sigma cyclique utilisé pour ne pas écrire tout les termes .

Maintenant, je propose un nouvel exercice afin de ne pas bloquer le jeu:
Problème 83:
Démontrez les valeurs possibles de l'entier premier p, pour que soit premier.
Bonne chance.
P.S: C'est un exercice d'un ancien olympiade du Maroc.

Le problème précédent n'est qu'un problème calculatoire (définir un repère, avoir les coordonnées de l'orthocentre, and you're done !), et j'attends par conséquent le problème 84.

Dijkschneier a écrit:

Le problème précédent n'est qu'un problème calculatoire (définir un repère, avoir les coordonnées de l'orthocentre, and you're done !), et j'attends par conséquent le problème 84.

Je ne propose pas le problème 84, je vais changer le problème 83.
Attends un peu.
Voici le problème qui était proposé:

Citation :

Soit (C) la courbe représentative de la fonction inverse.
Soit A, B, et C trois points de cette courbe, de telle sorte qu'ils ne soient pas tous les trois dans le même quart du plan.
Démontrez que l'orthocentre du triangle ABC, appartient lui aussi à (C)

Exo 83 :
Pour p=2 on a 9 n'est pas premier , donc p est impair ,
on a 3^p impair et (p-2)^2 impair et donc 3^p-(p-2)^2 est pair ?!

Spoiler:

Citation :

Spoiler:

C'est pas sérieux ce truc.

J'ai mal copié l'exercice, mais c'est bon.

darkpseudo a écrit:

Exo 83 :
Pour p=2 on a 9 n'est pas premier , donc p est impair ,
on a 3^p impair et (p-2)^2 impair et donc 3^p-(p-2)^2 est pair ?!

Spoiler:

2 est pair, et il est premier.
Il faut continuer la preuve.

J'ai déjà dis pour p=2 on 3^2 = 9 qui n'est pas premier . Bon cet exo mérite vraiment pas un autre post , oublions le vite te passons à autre chose

darkpseudo a écrit:

Tu devrait lire j'ai déjà dis pour p=2 on 3^2 = 9 qui n'est pas premier . Bon cet exo mérite vraiment pas un autre post , oublions le vite te passons à autre chose

Ce que je veux dire est pourquoi: ?
Et cela necessite d'être prouvé.

En attendant une réponse, je propose un autre exercice:
Exercice 84:
Soit ABC un triangle tel que AC=1.
Soit M un point qui appartient à [BC] tel que et et MB=1.
Calculez CM et AB.
Bonne chance.

Dans ABC, on a l'angle A et AC, donc on peut avoir le rapport sin(B)/BC, et puisqu'on a MB, alors on peut faire dépendre linéairement sin(B) et MC.
Dans ABM, on a AM et l'angle BAM, donc on peut faire dépendre linéairement sin(B) et AM.
Or MC²=AC²+AM²=1+AM², donc on peut obtenir sin(B) en utilisant les dépendances linéaires et cette dernière équation.
On en déduit tout ce qu'on veut.

nmo a écrit:

darkpseudo a écrit:

Tu devrait lire j'ai déjà dis pour p=2 on 3^2 = 9 qui n'est pas premier . Bon cet exo mérite vraiment pas un autre post , oublions le vite te passons à autre chose

Ce que je veux dire est pourquoi: ?
Et cela necessite d'être prouvé.

3^p (croissance exponentielle) croît beaucoup plus rapidement que (p-2)² (croissance polynomiale), donc il suffit de tester pour les petits cas.

Déjà pour celui d'avant on a f(x)=e^(xln3)-(x-2)^2 est strictement croissante et donc f(x)>f(3)>2 .
Pour celui que tu viens de proposer c'est un classique . ( je m'excuse pour l'exo d'avant )

Dijkschneier a écrit:

Le problème précédent n'est qu'un problème calculatoire (définir un repère, avoir les coordonnées de l'orthocentre, and you're done !), et j'attends par conséquent le problème 84.

Peux tu donner une petite explication ?
ou un lien ou je peux trouver l'explication exacte

Amicalement

Merci d'avance

Dijkschneier a écrit:

Dans ABC, on a l'angle A et AC, donc on peut avoir le rapport sin(B)/BC, et puisqu'on a MB, alors on peut faire dépendre linéairement sin(B) et MC.
Dans ABM, on a AM et l'angle BAM, donc on peut faire dépendre linéairement sin(B) et AM.
Or MC²=AC²+AM²=1+AM², donc on peut obtenir sin(B) en utilisant les dépendances linéaires et cette dernière équation.
On en déduit tout ce qu'on veut.

nmo a écrit:

darkpseudo a écrit:

Tu devrait lire j'ai déjà dis pour p=2 on 3^2 = 9 qui n'est pas premier . Bon cet exo mérite vraiment pas un autre post , oublions le vite te passons à autre chose

Ce que je veux dire est pourquoi: ?
Et cela necessite d'être prouvé.

3^p (croissance exponentielle) croît beaucoup plus rapidement que (p-2)² (croissance polynomiale), donc il suffit de tester pour les petits cas.

Pour le dernier exo , on peut aussi faire dépendre CD et AB après quelques calcul on obtien CD*AB = 2 ( si je ne m'abuse ) ; et ensuite après d'autre calcul
CD=2^(1/3)

darkpseudo a écrit:

Pour le dernier exo , on peut aussi faire dépendre CD et AB après quelques calcul on obtien CD*AB = 2 ( si je ne m'abuse ) ; et ensuite après d'autre calcul
CD=2^(1/3)

C'est la bonne réponse.
Tu peux proposer un exercice si tu veux.

Ok merci :
Problème 84:
Assez facile , soit x et y deux entiers tel que xy|(x^2+y^2-x)
Prouvez que x est un carré parfait .

darkpseudo a écrit:

Ok merci :
Problème 84:
Assez facile , soit x et y deux entiers tel que xy|(x^2+y^2-x)
Prouvez que x est un carré parfait .

C'est le problème 85.
Merci de rectifier.

d=pgcd(x,y), x=dx', y=dy'
d² | d²x'y' = xy | x²+y²-x = d²x'² + d²y'² - dx' ===> d² | dx' ===> d|x' ===> x'=dx'' ===> x=d²x''²
x | xy | x²+y²-x ===> x | y² ===> d²x'' | d²y'² ===> x'' | y'²
x'' et y'² premiers entre eux ===> x''=1
Done !

nmo a écrit:

En attendant une réponse, je propose un autre exercice:
Exercice 84:
Soit ABC un triangle tel que AC=1.
Soit M un point qui appartient à [BC] tel que et et MB=1.
Calculez CM et AB.
Bonne chance.

est ce que vous avez trouve CM= et AB=?

merci d'avance