Préparations aux olympiades de première (2010-2011)

nmo a écrit:

Dijkschneier a écrit:

Pour prouver que AMQ et NQC sont isométriques, on utilise la deuxième caractérisation des triangles isométriques : deux triangles sont isométriques lorsqu'ils ont un côté de même longueur compris entre deux angles de même mesure.
Ici, on a AM=NC, et l'angle AMQ étant égal à l'angle NQC, alors les angles entre lesquels les deux côtés AM et NC sont compris dans les deux triangles sont respectivement égaux.

Je ne pense pas, il se peut qu'on a 45° et 5° dans un triangle et 40° et 10°.
Ainsi, ta solution est fausse.
Bon, une solution dans mon prochain message.

J'ai dit n'importe quoi, désolé.
Merci d'avoir rectifié.

nmo a écrit:

Problème 9:
Démontrez que est un nombre rationnel.
Bonne chance.

C'est bon je l'ai raisolu, pour continuer ce bon marathon.

Tout est à remarquer que (Va)^3+(Vb)^3=(Va+Vb)(a+b-ab) Et (Va)^3-(Vb)^3=(Va-Vb)(a+b+V(ab))
Et aprés: (Va+Vb)/(Vx-Vy)=(Vx+Vy)(Va+Vb)/(x-y)
Ce qui reste que des calculs...

A la fin j'ai trouvé que ce nombre est égale à: 7/13 Alors c'est un rationel !

Le résultat trouvé par M.Marjani est juste.
Je propose un nouveau problème:
Problème 10:
Soit f la fonction numérique de la variable x définie par:
.
Tel que a, b, et c sont des rééls positifs.
Trouvez la valeur inférieure de la fonction f.
Bonne chance.

Solution au problème 10 :
L'inégalité de Minkowski affirme que f(x) >= sqrt((a+c)²+b²).
Avec égalité ssi x=ab/(a+c).
sqrt((a+c)²+b²) est donc le minimum de la fonction.

Dijkschneier a écrit:

Solution au problème 10 :
L'inégalité de Minkowski affirme que f(x) >= sqrt((a+c)²+b²).
Avec égalité ssi x=ab/(a+c).
sqrt((a+c)²+b²) est donc le minimum de la fonction.

Tu peux me montrer les étapes que t'as suivi en utilisant Minkowski?

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Voiçi une autre methode:

On sait que: (ab-ax-xc)² >= 0 d'ou (a²+x²)((b-x)²+c²)-(ac+bc-x²)²>=0
<=> x²-bx+V((a²+x²)((b-x)²+c²)>=ac
<=> 2x²-2bx+2V((a²+x²)((b-x)²+c²)>=2ac
<=> a²+c²+x²+(b²+x²-2bx)+2V((a²+x²)((b-x)²+c²)>=a²+c²+2ac+b²
<=> (a²+x²)+2V((a²+x²)((b-x)²+c²)+((b-x)²+c²) >= ((a+c)²+b²)
<=> (V(a²+x²)+V((b-x)²+c²))² >= V((a+c)²+b²)
<=> V(a²+x²)+V((b-x)²+c²)>=V((a+c)²+b²)

Donc V((a+c)²+b²) est la valeur infernal de f(x).

Problème 11 :
Soit (D) une droite du plan, et soient E et F deux points distincts de la droite.
Trouver le ou les emplacements du point M de (D) qui minimisent la somme ME+MF.
Problème 12 :

Soient (D) et (Delta) deux droites parallèles du plan, et soient E et F deux points distincts des deux droites, et tels que E soit du côté de (D), et F de celui de (Delta).
Trouver le ou les emplacements des deux points K et H de (D) et (Delta) respectivement qui minimisent la somme EK+KH+HF et tels que (KH) soit perpendiculaire aux deux droites (D) et (Delta).

N'oublions pas ces questions.
Le problème 11 est un classique à connaître par cœur.

M.Marjani a écrit:

Dijkschneier a écrit:

Solution au problème 10 :
L'inégalité de Minkowski affirme que f(x) >= sqrt((a+c)²+b²).
Avec égalité ssi x=ab/(a+c).
sqrt((a+c)²+b²) est donc le minimum de la fonction.

Tu peux me montrer les étapes que t'as suivi en utilisant Minkowski?
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Voiçi une autre methode:
On sait que: (ab-ax-xc)² >= 0 d'ou (a²+x²)((b-x)²+c²)-(ac+bc-x²)²>=0
<=> x²-bx+V((a²+x²)((b-x)²+c²)>=ac
<=> 2x²-2bx+2V((a²+x²)((b-x)²+c²)>=2ac
<=> a²+c²+x²+(b²+x²-2bx)+2V((a²+x²)((b-x)²+c²)>=a²+c²+2ac+b²
<=> (a²+x²)+2V((a²+x²)((b-x)²+c²)+((b-x)²+c²) >= ((a+c)²+b²)
<=> (V(a²+x²)+V((b-x)²+c²))² >= V((a+c)²+b²)
<=> V(a²+x²)+V((b-x)²+c²)>=V((a+c)²+b²)
Donc V((a+c)²+b²) est la valeur infernal de f(x).

Ta methode est bonne si on te demande la démonstration de ce qui est en rouge.
Sinon, comment tu sait sue c'est la valeur inférieure de f(x).

Dijkschneier a écrit:

N'oublions pas ces questions.
Le problème 11 est un classique à connaître par cœur.

Ce n'est qu'une question de manque de temps.
Demain, si j'ai le temps, je posterai les solutions complètes.
J'aime aussi savoir le principe de l'inégalité de Minkowski, et comment tu l'as utilisé.
En plus je vais rédiger une autre solution du problème 10, proposé par DIMA DIMA, pour votre plaisir.

nmo a écrit:

J'aime aussi savoir le principe de l'inégalité de Minkowski, et comment tu l'as utilisé.

L'utilisation de l'inégalité est immédiate. Il suffit de connaître son énoncé. Google-le et tu auras l'énoncé.

nmo a écrit:

Problème 10:
Soit f la fonction numérique de la variable x définie par:
.
Tel que a, b, et c sont des rééls positifs.
Trouvez la valeur inférieure de la fonction f.
Bonne chance.

Je commece par vous présenter la solution que je vous ai prévu, et bonne découverte:
Dans le plan euclédien, on considère un repère orthonormé .
On considère ensuite les points , , et tel que x est un réel variant.
On a et .
Et par suite .
Soit l'image de A par rapport à l'axe des abcisses.
Puisque , il s'ensuit que .
Ainsi .
Et on sait que , tel que est l'intersection de la droite (A'B) et l'axe des abcisses.
Donc .
Donc .
Et puisque .
Alors .
(L'équation a une solution).
Ainsi la valeur inférieure de f(x) est sans conteste .

Dijkschneier a écrit:

Problème 11 :
Soit (D) une droite du plan, et soient E et F deux points distincts de la droite.
Trouver le ou les emplacements du point M de (D) qui minimisent la somme ME+MF.

Voici la solution mon cher,
Soit E' l'image de E par la reflexion d'axe (D) et soit M un point de la droite (D).
On a car D est la médiatrice du segment [EE'].
Selon l'inégalité triangulaire, appliqué dans le triangle E'MF, on a .
Donc .
L'égalité aura lieu si et seulement si M appartient à la droite (E'F).
Synthèse:
L'emplacement du point M de (D) qui minimise la somme ME+MF est celui de l'intersection de (E'F) avec la droite (D) et que E' soit la symétrique de E par rapport à (D).

Dijkschneier a écrit:

Problème 12 :

Soient (D) et (Delta) deux droites parallèles du plan, et soient E et F deux points distincts des deux droites, et tels que E soit du côté de (D), et F de celui de (Delta).
Trouver le ou les emplacements des deux points K et H de (D) et (Delta) respectivement qui minimisent la somme EK+KH+HF et tels que (KH) soit perpendiculaire aux deux droites (D) et (Delta).

Je réponds:
Soit E' l'unique point du plan, pour que le quadrilatère EE'HK soit un parallélogramme.
Ainsi et .
Or, on a, comme l'exercice précédant, .
Avec égalité si H est l'intersection de la droite () et (E'F).
Donc .
Donc .
Synthèse:
l'emplacement des deux points K et H de (D) et () respectivement qui minimise la somme EK+KH+HF et tels que (KH) soit perpendiculaire aux deux droites (D) et () est l'intersection de (E'F) avec la droite () notée H, la construction de K est ensuite facile, tel que E' est l'image de E par la translation de vecteur .
Sauf erreur.

Je ne dispose pas d'un grand nombre d'exercices d'olympiade.
Je vous propose un exercice qui me tourmente la tête depuis des mois:
Problème 13:
Soit , , et des réels strictement positifs tel que .
Démontrez que .
Bonne chance.

Très bien nmo. Tes solutions aux deux problèmes précédents sont justes.

Solution au problème 13 :
L'inégalité est équivalente à :
On a d'après l'inégalité de Cauchy-Schwarz : .
Tout en ayant d'après l'inégalité du réordonnement : .
On en conclut facilement l'inégalité désirée.

Un problème plutôt facile pour les olympiades mais quand même intéressant, car donnant une propriété équivalente à la bijection :
Problème 14 :
Soient E et F deux ensembles et f une application définie sur E et à valeurs dans F.
Montrer que : f bijective <=>

Dijkschneier a écrit:

Solution au problème 13 :
L'inégalité est équivalente à :
On a d'après l'inégalité de Cauchy-Schwarz : .
Tout en ayant d'après l'inégalité du réordonnement : .
On en conclut facilement l'inégalité désirée.

Google ne donne aucun résultat à propos de l'inégalité de réordonnement.
Peux-tu me donner son principe?

Dijkschneier a écrit:

Un problème plutôt facile pour les olympiades mais quand même intéressant, car donnant une propriété équivalente à la bijection :
Problème 14 :
Soient E et F deux ensembles et f une application définie sur E et à valeurs dans F.
Montrer que : f bijective <=>

On n'a pas encore entammé cette leçon, puis-je le changer? et on reviendra à lui plus tard.
(Aussi le problème 13 que j'ai présenté était simple, et je veux réctifié la faute de poster un exercie de telle difficulté)
Merci pour ta compréhension.

Puisque je n'ai pas assez de temps, excuse-moi de ne pas pouvoir t'attendre:
(J'admet que tu n'es pas contre ce que j'ai proposé)
Problème 15:
Résolvez en ce système:
.
Bonne chance.

Solution au problème 15 :
En sommant toutes les inégalités à la fois, on obtient : .
Or, on a d'après l'inégalité de Cauchy-Schwarz, donc , ce qui veut dire .
Mais cela n'est pas possible, car Delta < 0, et ainsi
Synthèse :
Le système n'a pas de solution dans .

Bonsoir,
Alors je traine depuis des semaines à résoudre UN SEUL problème au complet (ou c'est la moitié du problème ou c'est rien) mais en vain!!! Sérieux je veux juste comprendre comment vous connaissez toutes ces inégalités ( Cauchy Schwarz etc etc) . Et est-ce que les exercices des olympiades sont comme ça?? :O Et puis comment ça vous tombent sur la tête de faire telle ou telle méthode ? (à force de travailler?)
Je voudrais vraiment participé avec vous mais votre niveau dépasse de LOOOOOOOIN le mien :p

Problème 16 :
Soient x,y et z des réels strictement positifs, tels que 1/x + 1/y + 1/z = 1.
Montrez que (x-1)(y-1)(z-1) >= 8.
EDIT : problème remplacé.

nmo a écrit:

Puisque je n'ai pas assez de temps, excuse-moi de ne pas pouvoir t'attendre:
(J'admet que tu n'es pas contre ce que j'ai proposé)
Problème 15:
Résolvez en ce système:
.
Bonne chance.

C'est assez façile je pense, quand méme voiçi ma réponse:

En sommant les inégalité des donées on obtient: Cygma{i=1 --> n}(x_i ²) +n = (Cygma{i=1 --> n}(x_i) Or:
x_1 ² + 1 >= 2*x_1 ==> (1)
x_2 ² + 1 >= 2*x_2 ==> (2)
.
.

.
x_n ² + 1 >= 2*x_n ==> (n)

En sommant: (1) , (2) et ... et (n): Cygma{i=1 --> n}(x_i ²) +n >= 2*(Cygma{i=1 --> n}(x_i)
Mais 2*(Cygma{i=1 --> n}(x_i) > (Cygma{i=1 --> n}(x_i) , donc S=l'ensemble vide.

PS: J'ai également résolu le probléme de Dijkchneier, c'est aussi façile à résoudre mais une bonne propriéte !

Et donc ?
Problème courant :

Citation :

Problème 16 :
Soient x,y et z des réels strictement positifs, tels que 1/x + 1/y + 1/z = 1.
Montrez que (x-1)(y-1)(z-1) >= 8.

Problème 17 :
Soit ABC un triangle et D le pied de la bissectrice intérieure de l'angle A.
Montrez que : AD² = AB.AC - BD.CD.

Dijkschneier a écrit:

Problème 16 :
Soient x,y et z des réels strictement positifs, tels que 1/x + 1/y + 1/z = 1.
Montrez que (x-1)(y-1)(z-1) >= 8.
EDIT : problème remplacé.

On a (x-1)(y-1)(z-1)>=8.
Equivaut à dire que (xy-x-y+1)(z-1)>=8.
Et puis à xyz-xy-xz-zy+x+y+z-1>=8.
Ensuite à xyz-(xy+yz+zx)+(x+y+z)>=9.
Or, on a 1/x +1/y +1/z =1.
Donc, en multipliant par xyz, xy+yz+zx=xyz.
Ainsi xyz-xyz+x+y+z>=9.
Donc x+y+z>=9.
Démontrons ce résultat.
On sait par ailleurs que selon IAG, on a (x+y+z)(1/x +1/y +1/z)>=9.
En vertu de 1/x +1/y +1/z=1,
Il s'ensuit que x+y+z>=9.
CQFD.

Bien.