Préparations aux olympiades de première (2010-2011)

Merci, j'ai corrigé.

Je proposerais une solution au problème 67 ultérieurement puisque il n'y a pas eu de solution de votre part.
Pour le moment :
Problème 68 : (* : une étoile)
Soit X l'ensemble des entiers naturels supérieurs ou égaux à 4. Soit f une fonction définie sur X et à valeurs dans X, telle que pour tous x et y dans X, f(x+y)=f(xy), et f( 8 )=9.
Trouver f(9).

Dijkschneier a écrit:

Problème 68 : (* : une étoile)
Soit X l'ensemble des entiers naturels supérieurs ou égaux à 4. Soit f une fonction définie sur X et à valeurs dans X, telle que pour tous x et y dans X, f(x+y)=f(xy), et f( 8 )=9.
Trouver f(9).

Voici ma réponse:
On a tel que .
On prends: x=4 et y=4, il vient soit .
Ou encore .
On prends: x=8 et y=8, il vient soit .
Ou encore .
On prends: x=4 et y=16, il vient soit .
Ou encore .
On prends: x=5 et y=4, il vient soit .
Ou encore .
Sauf erreur.

Oui, bien. On pouvait se suffire à une seule ligne : f(9)=f(5+4)=f(5*4)=f(20)=f(4+16)=f(4*16)=f(64)=f(8*8 )=f(8+8 )=f(16)=f(4*4)=f(4+4)=f(8 )=9
A toi.

Je propose alors:
Problème 69:
Soient x, y, et z des rééls positifs.
Démontrez que .
Bonne chance.

Classique.
J'attend le problème 70.

Problème (70) (* étoile)
Eske : est un entier ?

Sporovitch...
J'attend le problème 71.

Dijkschneier a écrit:

Classique.
J'attend le problème 70.

Je ne savais pas que c'est classique.
Si tu as un lien de solution, je te serait reconnaissant.

Sporovitch a écrit:

Problème (70) (* étoile)
Eske : est un entier ?

Je me souviens bien de cet exercice, c'est déjà traité:
https://mathsmaroc.jeun.fr/t14310p345-preparations-aux-olympiades-de-tronc-commun-2009-2010.

nmo a écrit:

Dijkschneier a écrit:

Classique.
J'attend le problème 70.

Je ne savais pas que c'est classique.
Si tu as un lien de solution, je te serait reconnaissant.

C'est équivalent à (x-y)² + 2z(x-1)(y-1) + (z-1)² >= 0 et on peut supposer que x,y>=1 ou x,y<=1 via le principe des tiroirs...

Je propose encore:
Problème 71:
Résolvez en l'équation suivante:.
Bonne chance.

Classique ET simple...

Dijkschneier a écrit:

Classique ET simple...

Comment tu as procédé?
Par ailleurs, je vais chercher un exercice à la hauteur.

Solution probleme 70:
on a

alors
sauf erreur
amicalement

Problème 72 :

a,b et c sont trois nombres réels positives tel que :
(a+b)(a+c)(b+c)=1
Montrez que ab+ac+bc<=3/4

Dijkschneier a écrit:

Classique ET simple...

pouvez vous expliquer comment vous avez procede?
amicalement

Je propose un autre exercice, qui sera 73 vu l'exercice 72 de Mehdi.O:
Problème 73:
Soit un cercle de centre O, inscrit dans un carré ABCD dont la surface est S.
Soient E, F, G, et H les points de contact de ce cercle avec le carré ABCD, qui appartiennent aux droites (AB), (BC), (CD), et (DA) successivement.
M est le point d'intersection des deux droites (DF) et (AG).
N est le point d'intersection de (DF) avec le cercle précédant.
On pose K la surface du triangle GMN.
Trouvez l'entier n qui vérifie S=n.K .
Bonne chance.

Qu'est-ce-qu'il a mon exercice ?

nmo a écrit:

Dijkschneier a écrit:

Classique ET simple...

Comment tu as procédé?
Par ailleurs, je vais chercher un exercice à la hauteur.

Si on définit la fonction f(x)=sqrt(20+sqrt(20-x)), alors notre équation n'est rien d'autre que f(f(x))=x, à résoudre dans [0,20]
Et on peut remarquer qu'il suffit de résoudre f(x)=x dans [0,20] puisque les points fixes de f sont aussi les points fixes de f(f(x)), et que le graphe de f(f(x)) coupe une seule fois la droite d'équation y=x.

J'ai une solution que j'estime douteuse, mais je l'ai relu plusieurs fois, je n'ai trouvé aucune erreur. La voici :
Tout d'abord puisque Le cercle est inscrit dans le carré ABCD, donc E,F,G et H sont respectivement les milieux de [AB],[BC],[CD] et [AD].
Le quadrilatère NGFE est inscriptible, ainsi <MNG=<FNG=<GEF=45°.
D'autre part : <AMF=180°-<MAF-<MFA=180°-(90°-<GAD-<FAB)-(90°-<DFC-<AFB)=180°-(90°-22.5°-22.5°)-(180°-67.5°-67.5)=90°
Ainsi Le triangle MNG est rectangle, il s'ensuit qu'il est isocèle rectangle.
Donc K=MN²/2. Maintenant, nous avons : <NDG=<FDC=arctan(1V5),ainsi sin(<NDG)=sin(<MDG)=MG/DG=MN/DG=2MN/DC, donc MN²=DC²/4.sin²(<NDG)
il s'ensuit que S=8/(sin²(<NDG).K=8/(sin²(arctan(1/2)).K
ainsi n=40
CQFD

Mehdi.O a écrit:

Qu'est-ce-qu'il a mon exercice ?

Solution au problème 72 :
Soient p,q et r les quantités : p=a+b+c, q=ab+ac+bc et r=abc.
La condition de l'énoncé se traduit en : pq-r=1.
On doit montrer que q<=3/4.
On va utiliser les deux inégalités bien connues : p² >= 3q, et pq >= 9r.
On a : pq >= 9r
==> pq-r >= 8r
==> 1/8 >= r
==> 1/8 >= pq-1
==> pq <= 9/8
==> q <= 9/8 1/p
==> q² <= (9/8 )² 1/p² <= (9/8 )² 1/(3q)
==> 3q^3 <= (9/8 )²
==> q^3 <=9*9 / (8*8*3)
==> q^3 <= 3^3 /4^3
==> q <= 3/4

Dijkschneier a écrit:

Mehdi.O a écrit:

Qu'est-ce-qu'il a mon exercice ?

Solution au problème 72 :
Soient p,q et r les quantités : p=a+b+c, q=ab+ac+bc et r=abc.
La condition de l'énoncé se traduit en : pq-r=1.
On doit montrer que q<=3/4.
On va utiliser les deux inégalités bien connues : p² >= 3q, et pq >= 9r.
On a : pq >= 9r
==> pq-r >= 8r
==> 1/8 >= r
==> 1/8 >= pq-1
==> pq <= 9/8
==> q <= 9/8 1/p
==> q² <= (9/8 )² 1/p² <= (9/8 )² 1/(3q)
==> 3q^3 <= (9/8 )²
==> q^3 <=9*9 / (8*8*3)
==> q^3 <= 3^3 /4^3
==> q <= 3/4

Perfect !

Dijkschneier a écrit:

Oui, bien. On pouvait se suffire à une seule ligne : f(9)=f(5+4)=f(5*4)=f(20)=f(4+16)=f(4*16)=f(64)=f(8*8 )=f(8+8 )=f(16)=f(4*4)=f(4+4)=f(8 )=9
A toi.

Ou bien:

Dijkschneier a écrit:

Mehdi.O a écrit:

Qu'est-ce-qu'il a mon exercice ?

Solution au problème 72 :
Soient p,q et r les quantités : p=a+b+c, q=ab+ac+bc et r=abc.
La condition de l'énoncé se traduit en : pq-r=1.
On doit montrer que q<=3/4.
On va utiliser les deux inégalités bien connues : p² >= 3q, et pq >= 9r.
On a : pq >= 9r
==> pq-r >= 8r
==> 1/8 >= r
==> 1/8 >= pq-1
==> pq <= 9/8
==> q <= 9/8 1/p
==> q² <= (9/8 )² 1/p² <= (9/8 )² 1/(3q)
==> 3q^3 <= (9/8 )²
==> q^3 <=9*9 / (8*8*3)
==> q^3 <= 3^3 /4^3
==> q <= 3/4

Ou bien:

(a+b)+(b+c)+(a+c)>=3[3]sqrt[(a+b)(b+c)(a+c)]=3 donc a+b+c>=3/2 .
D'autre part 1=(a+b)(b+c)(a+c)>=8abc alors: abc=<1/8.
En remarquant que (a+b+c)(ab+bc+ac)-abc=(a+b)(b+c)(a+c)=1
Alors que ab+bc+ac=(1+abc)÷(a+b+c) <= (1+ 1/8 )(3/2) = 3/4

Classique aussi.

Le problème 67 semble intéressant. Je vais tenter de le résoudre plu-tard.

M.Marjani a écrit:

Ou bien:

Non. On travaille dans X, pas dans IN.

M.Marjani a écrit:

Ou bien:

(a+b)+(b+c)+(a+c)>=3[3]sqrt[(a+b)(b+c)(a+c)]=3 donc a+b+c>=3/2 .
D'autre part 1=(a+b)(b+c)(a+c)>=8abc alors: abc=<1/8.
En remarquant que (a+b+c)(ab+bc+ac)-abc=(a+b)(b+c)(a+c)=1
Alors que ab+bc+ac=(1+abc)÷(a+b+c) >= (1+ 1/8 )(3/2) = 3/4

Élégant !
A la fin, tu dois corriger : c'est pas ">=", mais "<="

Dijkschneier a écrit:

M.Marjani a écrit:

Ou bien:

Non. On travaille dans X, pas dans IN.

M.Marjani a écrit:

Ou bien:

(a+b)+(b+c)+(a+c)>=3[3]sqrt[(a+b)(b+c)(a+c)]=3 donc a+b+c>=3/2 .
D'autre part 1=(a+b)(b+c)(a+c)>=8abc alors: abc=<1/8.
En remarquant que (a+b+c)(ab+bc+ac)-abc=(a+b)(b+c)(a+c)=1
Alors que ab+bc+ac=(1+abc)÷(a+b+c) >= (1+ 1/8 )÷(3/2) = 3/4

Élégant !
A la fin, tu dois corriger : c'est pas ">=", mais "<="

Merci de corriger
Je ne vois pas où l'erreur si f(2x)=f(x^2) , 2x ou x^2 n'appartiennent pas à X?