Préparations aux olympiades de première (2010-2011)

Comme une lune d'une nuit obscure qui donne l'espoir aux gens si misérables, je vais jouer le rôle d'un héros qui doit sauver sa patrie:

amigo-6 a écrit:

Bon jrepere lex 91 ou 81 ) -trouver tous les couples (a,b) d'entiers a supérieure ou égal à 1 et b supérieure ou égal à 1 vérifiant l'equation suivante:a^b^2=b^a
a^b^2 veu dire que a^b.b car b^2 = b.b

Certes, l'exercice est très dur, cependant voici ma tentative:
Je commence par le commencement: je dois démontrer quelques lemmes qui vont m'être utile à aboutir à la solution:
Lemme 1:
Soit a et b deux entiers.
On a .
Voici la démonstration:
Soit n un entier.
On fait la décomposition de a et b en facteurs premiers:
On a et .
Tels que sont des entiers premiers.
Donc et .
Et tenon compte de la définition du plus grand commun diviseur, on écrit .
Donc .
Soit .
Et en vertu de .
Il s'ensuit que .
Il en résulte que .
Lemme 2:
Soit a et b deux entiers.
On a .
Voici la démonstration:
Démontrer l'implication en question revient à démontrer que .
Ou bien que .
Supposons que et démontrons que .
On utilise le résultat déjà prouvé: .
Soit en posant n=b, car .
Et ainsi .
On vient de démontrer que .
D'où .
CQFD.
Lemme 3:
Soit p et n deux entiers naturels.
Si p>1 et n>2, alors l'équation n'admet pas de solutions.
Voici la démonstration:
On a selon l'inégalité de Bernoulli, .
Si on prend y=p-1 et x=n-1, il vient que:
.
La dernière préposition est fausse car:
.
Donc l'équation n'admet pas de solutions dans ce cas.
Et ainsi: .



Maintenant, je passe à la solution de l'exercice courant:
On doit résoudre en l'équation .
On étudie pour cela deux cas, ou bien ou bien .
Cas premier: .
On a donc , ainsi est un entier naturel.
On a .
Donc en divisant les deux côté de l'égalité par , on tombe sur .
Soit .==>(*)
Par définition est un entier, ainsi l'est également.
En utilisant le lemme 1, on trouve que est un entier.
C'est à dire qu'il existe un entier k, tel que et ainsi .
En remplaçant dans *, il s'ensuit que .
Donc ou bien .
Selon le lemme 3, on trouve d'un côté .==>(1)
Et d'un autre, on a:
.
Ce qui apporte contradiction à 1.
Je viens donc de démontrer que si a>2, alors l'équation proposée n'admet pas de solution.
Maintenant, si a=1; on a .
Donc .
C'est à dire .
Finalement, la seule solution possible dans ce cas est (1,1).

Cas second: .
Je n'ai pas la solution dans ce cas et continuer à rechercher n'est qu'une grosse perte de temps.
Je vais tricher en disant que l'exercice a omis la condition: .
J'attends vos remarques, ainsi que vos solutions si vous aboutissez à quelques choses.
P.S: on peut aussi utiliser le résultat suivant: Soit a et b deux entiers, on a .
Au lieu des deux premiers lemmes que j'ai utilisé.

Il est aussi grand temps que quelqu'un se charge de donner une solution à l'inégalité que Mehdi.O a préalablement proposé.

W.Elluizi a écrit:

Il est aussi grand temps que quelqu'un se charge de donner une solution à l'inégalité que Mehdi.O a préalablement proposé.

J'avais résolu cette inégalité il y a longtemps, mais vu que personne ne semble vouloir poster une solution. Je m'en chargerais, et je posterais un nouvel exercice :
Solution du problème 91:
Nous nous devons de montrer que :
Vu la symétrie, on peut supposer que .
.
D'autre part par l'inégalité du réordonnement :
et cycliquement ...
Aussi :
En sommant ces résultats préliminaires, il en résulte que :


CQFD.
P.S: Notons que cette inégalité trop faible vu que la marge laissée est trop grande ( )...

Problème 92:
Trouvez toutes les fonctions
Tel que pour tous nombres réels strictement positifs a,b,c,d dont leur produit est égal à 1, nous avons :

W.Elluizi a écrit:

Mehdi.O a écrit:

Problème 92:
Trouvez toutes les fonctions
Tel que pour tous nombres réels strictement positifs a,b,c,d dont leur produit est égal à 1, nous avons :

Spoiler:

Je ne comprends pas pourquoi ab=1=> f(a)*f(b)=1 ?

C'est bon j'ai compris, ,en fait ta solution est un peu bourbeuse, mais en résolvant le système tu as oublié une solution, voilà nous avons soit f(a)=a ou f(a)=b d'autre part la condition donne b=1/a donc f(a)=a ou f(a)=1/a.
Mais stop, à ce stade nous avons montré que f(x)=x ou f(x)=1/x, en d'autre mots il se peut que les deux soient solutions en même temps. Donc supposons que il existe un p#1 tel f(p)=p et un q#1 tel que f(q)=1/q et pq=1... Ensuite en posant P(p;1;q,1): (p+1)(1/q+1)=(p+1)(q+1)=>(p+1)(1-q)(1+q)=0=> q=1 contradiction. Ce qui achève la preuve.
Synthèse: les deux solutions sont f(x)=1/x et f(x)=x
Vu que tu t'es approché de la solution, à toi l'honneur de poster un nouvel exercice.

On a d'une part :
et d'autre part:
...

Problème 93:
Soit des réelles tels que:
Trouvez la valeur maximale de :

Mehdi.O a écrit:

Solution au problème 93:

Spoiler:

Peux tu éclairer ma lanterne pour ce qui est du passage en rouge?!prendre:x=1/4 ;y=1/2;z=-5/2

W.Elluizi a écrit:

Mehdi.O a écrit:

Solution au problème 93:

Spoiler:

Peux tu éclairer ma lanterne pour ce qui est du passage en rouge?!prendre:x=1/4 ;y=1/2;z=-5/2

x,y et z ne sont pas supposés être des réels positifs?

Bon j'ai édité ma solution, elle est valable maintenant pour des réels tout court. On peut omettre le passage par I.A.G.

Mehdi.O a écrit:

Solution au problème 93:

Spoiler:

ُEn es tu sure?!
De toutes les façons,c'est un problème sans trop d'intérêt,à toi maintenant d'en proposer un nouveau.

W.Elluizi a écrit:

Mehdi.O a écrit:

Solution au problème 93:

Spoiler:

ُEn es tu sure?!
De toutes les façons,c'est un problème sans trop d'intérêt,à toi maintenant d'en proposer un nouveau.

Traces la fonction et tu verras.
Pour l'instant je n'ai pas de problèmes intéressants à proposer!

Problème 94:
Calculer la somme des nombres, qui peuvent petre composés par 6 nombres appartenant à l'ensemble {1,2,3,4,5,6}

Mehdi.O a écrit:

Problème 94:
Calculer la somme des nombres, qui peuvent petre composés par 6 nombres appartenant à l'ensemble {1,2,3,4,5,6}

Bonjour !
le 1 reste comme chiffre d'unité 5! fois de meme pour le 2 , le 3 le , ... le 6
on somme donc les chiffres d'unité des nombres composés par {1;2;3;4;5;6) on trouve 5!+2.5!+3.5!+4.5!+5.5!+6.5!=A
et puisqu'un nombre se formulant de 6 chiffre peut s'écrire ainsi (par exemple 123456 =1+2.10+3.100+4.1000+5.10000+6.100000) donc
la somme des nombres qui peuvent etre compoosés par 6 nombres appartenant à l'ensemble {1;2;3;4;5;6} est :
A+10A+100A+1000A+10000A+100000A=A(1+10+100+1000+10000+100000)=1111111A

Sporovitch a écrit:

Mehdi.O a écrit:

Problème 94:
Calculer la somme des nombres, qui peuvent petre composés par 6 nombres appartenant à l'ensemble {1,2,3,4,5,6}

Bonjour !
le 1 reste comme chiffre d'unité 5! fois de meme pour le 2 , le 3 le , ... le 6
on somme donc les chiffres d'unité des nombres composés par {1;2;3;4;5;6) on trouve 5!+2.5!+3.5!+4.5!+5.5!+6.5!=A
et puisqu'un nombre se formulant de 6 chiffre peut s'écrire ainsi (par exemple 123456 =1+2.10+3.100+4.1000+5.10000+6.100000) donc
la somme des nombres qui peuvent etre compoosés par 6 nombres appartenant à l'ensemble {1;2;3;4;5;6} est :
A+10A+100A+1000A+10000A+100000A=A(1+10+100+1000+10000+100000)=1111111A

Oui c'est la même procédure que j'ai établit.
Juste une erreur de frappe dans le dernier résultat, c 111111 le 1 juste 6 fois .

Mehdi.O a écrit:

Problème 94:
Calculer la somme des nombres, qui peuvent petre composés par 6 nombres appartenant à l'ensemble {1,2,3,4,5,6}

La réponse est 6*2211111.
Si cela est vrai, je vais proposer ma démarche.
Désolé, je n'ai pas vu le message qui contient la réponse de Sporovitch.

nmo a écrit:

Mehdi.O a écrit:

Problème 94:
Calculer la somme des nombres, qui peuvent petre composés par 6 nombres appartenant à l'ensemble {1,2,3,4,5,6}

La réponse est 6*2211111.
Si cela est vrai, je vais proposer ma démarche.

Non, ta réponse est erronée :
Voilà ma solution:
Cette somme peut s'écrire de la sorte: .
Si on fixe un chiffre d'unités il se répètre fois, puisque en arrageant les autres chiffres on obtient le résultat. De même pour les autres chiffres(dizaines,centaines ..) , donc il ne reste plus qu'à trier les cas, que chaque nombre de l'ensemble {1,2,3,4,5,6} est en quelle position dans le nombre :
Ainsi la somme est égale à :

Problème 95 : (*)
Résoudre dans IN :

où p est un nombre premier

Sporovitch a écrit:

Problème 95 : (*)
Résoudre dans IN :

où p est un nombre premier

On va utiliser l'identité de Sophie Germain et puis résoudre.

Problème 96:
a, b et c sont des réels positifs tels que abc=1. Prouver que:
.

louis a écrit:

Sporovitch a écrit:

Problème 95 : (*)
Résoudre dans IN :

où p est un nombre premier

On va utiliser l'identité de Sophie Germain et puis résoudre.

Il faut détailler, sinon quel est l'intérêt de ce jeu?

louis a écrit:

Problème 96:
a, b et c sont des réels positifs tels que abc=1. Prouver que:
.

Par AM-GM :


De même . .: