Préparations aux olympiades de première (2010-2011)

kaj mima a écrit:

Bonjour                                                                                                                                                                                                                                             Voici ma réponse pour le problème 87                                                                                                                                                                                        On a : 1111≡ 1 [10] ; 1222≡ 2 [10] ; 1333≡ 3 [10] ; 1444≡ 4 [10]
Donc : 1111^n≡ 1 [10] ; 1222^n≡ 2^n [10] ; 1333^n≡ 3^n [10] ; 1444^n≡ 4^n [10]
 1111^n+1222^n+1333^n+1444^n ≡ 1+2^n+3^n+4^n [10]
Démonstration par disjonction des cas :
• n= 4k
2^4≡ 6 [10] ; 3^4≡ 1 [10] ; 4^4≡ 6 [10]
2^n≡ 6^k [10] ; 3^n≡ 1 [10] ; 4^n≡ 6^k [10]
1+2^n+3^n+4^n≡ 2(1+6^k) [10]                                                                                                                                                                                           On remarque que : 6² ≡ 6 [10] ; 6^3 ≡ 6 [10] ; 
Supposons que 6^k≡ 6 [10] Et démontrons que : 6^k+1 ≡ 6 [10] ∀k∊ℕ
6^(k+1) – 6 = 6(6^k-1) = 6(10k+6-1)= 6Ok+30 = 10(6k+3) = 10 K / K=6k+3
⇒ 6^(k+1) – 6 ≡ 0 [10] ⇒ 6^(k+1)≡ 6 [10]
6^k ≡ 6 [10] ⇒ 2(6^k + 1) ≡ 4 [10] ⇒ 1+2^n+3^n+4^n≡ 4 [10]⇒ 1111^n+1222^n+1333^n+1444^n ≡ 4 [10]

• n= 4k+1
2n= 2.6^k [10] ; 3^n≡ 3 [10] ; 4n≡ 4.6^k [10] 
1+2^n+3^n+4^n≡ 4+6.6^k [10] et on a 6^k ≡ 6 [10] ⇒ 6.6^k + 4 ≡ 0 [10]
Donc 1+2^n+3^n+4^n≡ 0 [10] ce qui implique 1111^n+1222^n+1333^n+1444^n ≡ 0 [10]
• n= 4k+2
2^n= 4.6^k [10] ; 3^n≡ -1 [10] ; 4^n≡ 6.6k [10] 
1+2^n+3^n+4^n≡ 10.6^k [10]≡ 0 [10] ⇒ 1111^n+1222^n+1333^n+1444^n ≡ 0 [10]
• n= 4k+3
2^n= 8.6^k [10] ; 3^n≡ -3 [10] ; 4^n≡ 4.6^k [10] 
1+2^n+3^n+4^n≡ -2+12.6^k [10] ≡ 2(-1+ 6^(k+1)) et on a 6^k ≡ 6 [10] ⇒ 6^(k+1) ≡ 6 [10]⇒ -1 + 6^(k+1)≡ 5 [10] ⇒2(-1+ 6^(k+1))≡ 0 [10]⇒1+2^n+3^n+4^n ≡ 0 [10]⇒ 1111^n+1222^n+1333^n+1444^n ≡ 0 [10]                                                                                                                                                                                            10|1111^n+1222^n+1333^n+1444^n ⇔ n= 4k+1 ; n= 4k+2 ; n= 4k+3 / k∊ℕ
Cherchons le plus petit nombre n / 1000 ≤ n ≤ 1111
Le plus petit n : n = 4k+1
1000= 4.250 donc n(min)= 4.250+1 
n(min)= 1001                                                                                                                                                                                                                          Amicalement

Oui c'est ça ce que j'avais en tête.
Bravo, c'est une belle solution.

darkpseudo a écrit:

Problème 89 :
Bon voila un lemme très intéressant :
Prouvez que PGCD ( a^n-1,a^m-1)=a^(PGCD(m,n))-1

Puisque le PGCD est strictement positif, il faut ajouter à l'exercice la condition a>1, ainsi que m et n sont des entiers.
A moi de le démontrer:
Par symétrique des rôles, mon étude comporte deux cas, ou bien n divise m, ou bien m et n sont premiers entre eux.
Cas premier: .
On a .
Démontrons tout d'abord qu'on a , en effet:
.
Donc .
On a d'un côté , alors .
Et d'un autre côté , alors .
On peut affirmer que .
Cas second: m et n sont premiers entre eux.
Puisque m et n sont premiers entre eux, on a et on suppose que n>m.
On doit alors démontrer que .
Par ailleurs: .
Et pour simplifier, on écrit: .
Par équivalence, on démontre que .
Donc .
Soit .
On utilise pour démontrer ce fait, l'algorithme d'Euclide:
Puisque n>m, on pose n=m+r tel que r est strictement positif et r est inférieur à m.
Il s'agit là de la division euclédienne de n par m. On a:
.
Soit .
Ainsi: .
On itère ce processus plusieurs fois, jusqu'à un reste qui vaut 1, car PGCD(m,n)=1
Appelon ce reste t (t=1), et le reste qui le précède s.
On aura: .
Avec .
Et par conséquent, .
Soit .
CQFD.
Sauf erreur.
J'attends une confirmation.

J'atten une réponse a mon olimpiade svp

nmo a écrit:

kaj mima a écrit:

Bonjour                                                                                                                                                                                                                                             Voici ma réponse pour le problème 87                                                                                                                                                                                        On a : 1111≡ 1 [10] ; 1222≡ 2 [10] ; 1333≡ 3 [10] ; 1444≡ 4 [10]
Donc : 1111^n≡ 1 [10] ; 1222^n≡ 2^n [10] ; 1333^n≡ 3^n [10] ; 1444^n≡ 4^n [10]
 1111^n+1222^n+1333^n+1444^n ≡ 1+2^n+3^n+4^n [10]
Démonstration par disjonction des cas :
• n= 4k
2^4≡ 6 [10] ; 3^4≡ 1 [10] ; 4^4≡ 6 [10]
2^n≡ 6^k [10] ; 3^n≡ 1 [10] ; 4^n≡ 6^k [10]
1+2^n+3^n+4^n≡ 2(1+6^k) [10]                                                                                                                                                                                           On remarque que : 6² ≡ 6 [10] ; 6^3 ≡ 6 [10] ; 
Supposons que 6^k≡ 6 [10] Et démontrons que : 6^k+1 ≡ 6 [10] ∀k∊ℕ
6^(k+1) – 6 = 6(6^k-1) = 6(10k+6-1)= 6Ok+30 = 10(6k+3) = 10 K / K=6k+3
⇒ 6^(k+1) – 6 ≡ 0 [10] ⇒ 6^(k+1)≡ 6 [10]
6^k ≡ 6 [10] ⇒ 2(6^k + 1) ≡ 4 [10] ⇒ 1+2^n+3^n+4^n≡ 4 [10]⇒ 1111^n+1222^n+1333^n+1444^n ≡ 4 [10]

• n= 4k+1
2n= 2.6^k [10] ; 3^n≡ 3 [10] ; 4n≡ 4.6^k [10] 
1+2^n+3^n+4^n≡ 4+6.6^k [10] et on a 6^k ≡ 6 [10] ⇒ 6.6^k + 4 ≡ 0 [10]
Donc 1+2^n+3^n+4^n≡ 0 [10] ce qui implique 1111^n+1222^n+1333^n+1444^n ≡ 0 [10]
• n= 4k+2
2^n= 4.6^k [10] ; 3^n≡ -1 [10] ; 4^n≡ 6.6k [10] 
1+2^n+3^n+4^n≡ 10.6^k [10]≡ 0 [10] ⇒ 1111^n+1222^n+1333^n+1444^n ≡ 0 [10]
• n= 4k+3
2^n= 8.6^k [10] ; 3^n≡ -3 [10] ; 4^n≡ 4.6^k [10] 
1+2^n+3^n+4^n≡ -2+12.6^k [10] ≡ 2(-1+ 6^(k+1)) et on a 6^k ≡ 6 [10] ⇒ 6^(k+1) ≡ 6 [10]⇒ -1 + 6^(k+1)≡ 5 [10] ⇒2(-1+ 6^(k+1))≡ 0 [10]⇒1+2^n+3^n+4^n ≡ 0 [10]⇒ 1111^n+1222^n+1333^n+1444^n ≡ 0 [10]                                                                                                                                                                                            10|1111^n+1222^n+1333^n+1444^n ⇔ n= 4k+1 ; n= 4k+2 ; n= 4k+3 / k∊ℕ
Cherchons le plus petit nombre n / 1000 ≤ n ≤ 1111
Le plus petit n : n = 4k+1
1000= 4.250 donc n(min)= 4.250+1 
n(min)= 1001                                                                                                                                                                                                                          Amicalement

Oui c'est ça ce que j'avais en tête.
Bravo, c'est une belle solution.

Merci, c'est gentil

En attendant, je postes cette petite inégalité :
Problème 91 :
Soit x,y,z des réels strictement positives.
Prouvez que :

svp dabor mmon olimpiade !!!
ell es de science math

@amigo-6: Ici nous avons des règles à respecter, poster des exercices arbitrairement sans numérotation n'est pas acceptée. C'est pourquoi personne ne t'a répondu, je vais m'y forcer vu que tes exos sont très classiques et triviaux.
Pour le premier exo : Remarquer que x^3+x^2=2<=>(x-1)(x²+2x+2)=0<=>x=1. En remplacçant ce résultat dans la deuxième équation on tombe sur une contradiction du fait que y²+1=0. Donc S={ensemble vide}.
Deuxième exo :Utiliser cette lemme : x²+y²>=1/2(x+y)² Ainsi :
(x+1/y)²+(y+1/x)²>=1/2(8+8/xy)²=32(1+1/xy))² Et par AM-GM nous avons 1/xy>=1/16.
Le résultat en découle.
Troisième exo : Notons AB=c et AC=b et BC=a. Par Kashi nous avons c²=a²+b²-ab.
L'inégalité équivaut à V(a²+b²-ab)>= 2ab/(a+b) <=>(a+b)(a^3+b^3)>=4a²b²
Ce qui est vrai Par CS.
Quatrième exo :
Remarquez que les dex triangles AOB et ODC sont semblables, ainsi OB/OD=AB/DC=OA/OC, nous avons : a=1/2.OA.OB.sin(AOB) et b =1/2OD.OC.sin(AOB) ainsi a/b=OA/OD.OB/OC, d'autre part S(AOD)=S(OBC), et S(AOD).S(OBC)=1/4.OA.OB.OD.OC.sin²(AOB)=ab ainsi S(AOD)=S(OBC)=Vab.
Ainsi la surface du trapèze est : a+b+2Vab=(Va+Vb)²

Voilà j'espère que tu es satisfait
Mais s'il te plaît la prochaine fois ne postes pas des exos comme ça, on a des règles dans ce topic

Merci bcp

81 ) J'ai un exercise qui n'est pas trivial mon ami ! car comme tu as di toute a l'heure je pense que trivial est mauvais mot en mathématique
-trouver tous les couples (a,b) d'entiers a supérieure ou égal à 1 et b supérieure ou égal à 1 vérifiant l'equation suivante:a^b^2=b^a

@ nmo : ta solution est un peu trop longue à mon gout ( mais je respect ton effort ) ; On peut juste utiliser Bezout
posons m^n=d on a cm+bn=d Par Bezout et on a :
d|a^m-1 et d|a^n-1 donc
a^(cm)=1[d] et a^(bn)=1[d] donc a^(cm+bn)=1[d] d'ou le résultat . Amicalement .

Pour le problème 81 le ^ n'est pas très clair .

amigo-6 a écrit:

81 ) J'ai un exercise qui n'est pas trivial mon ami ! car comme tu as di toute a l'heure je pense que trivial est mauvais mot en mathématique
-trouver tous les couples (a,b) d'entiers a supérieure ou égal à 1 et b supérieure ou égal à 1 vérifiant l'equation suivante:a^b^2=b^a

Je vois que tu n'as pas aimé le mot "trivial" .
Mais ce genre d'exercices manque de compétitivité, et de ce fait n'est que l'application de certains théorèmes abhérents.

Essayez de numéroter correctement les problèmes.
Car si on passe de 89 à 90, et de 90 à 80, je ne sais pas où on va finir...

pour le blem 81 l EQUATION EST a^b le tou au carré = b^a

Mehdi : c'etait mon frere qui vs a ecrit l olimpiade il est en tronc commun et il travaille des exercise de science math je ne crois pas que le mot trivial va l encourager!! et si vs voulez des bon exersises moi je travaille des ex d'international j'essayerai de vs les passer .
P.s il n'ya jamais quelquechose trivial en mathématique amicalement

Dijkschneier a écrit:

Essayez de numéroter correctement les problèmes.
Car si on passe de 89 à 90, et de 90 à 80, je ne sais pas où on va finir...

Oui, et je ne sais pas comment Mehdi.O a numéroté son problème 80?

Mehdi.O a écrit:

En attendant, je postes cette petite inégalité :
Problème 80 :
Soit x,y,z des réels strictement positives.
Prouvez que :

Merci de renuméroter ton problème, il s'agit du problème 91.

amigo-6 a écrit:

81 ) J'ai un exercise qui n'est pas trivial mon ami ! car comme tu as di toute a l'heure je pense que trivial est mauvais mot en mathématique
-trouver tous les couples (a,b) d'entiers a supérieure ou égal à 1 et b supérieure ou égal à 1 vérifiant l'equation suivante:a^b^2=b^a

Tu dois toi aussi renuméroter ton problème, il s'agit du problème 92.
Est-ce que tu veux dire a^b^2=(a^b)^2 ou bien a^b^2=a^(b^2)?

nmo a écrit:

Dijkschneier a écrit:

Essayez de numéroter correctement les problèmes.
Car si on passe de 89 à 90, et de 90 à 80, je ne sais pas où on va finir...

Oui, et je ne sais pas comment Mehdi.O a numéroté son problème 80?

Mehdi.O a écrit:

En attendant, je postes cette petite inégalité :
Problème 80 :
Soit x,y,z des réels strictement positives.
Prouvez que :

Merci de renuméroter ton problème, il s'agit du problème 91.

amigo-6 a écrit:

81 ) J'ai un exercise qui n'est pas trivial mon ami ! car comme tu as di toute a l'heure je pense que trivial est mauvais mot en mathématique
-trouver tous les couples (a,b) d'entiers a supérieure ou égal à 1 et b supérieure ou égal à 1 vérifiant l'equation suivante:a^b^2=b^a

Tu dois toi aussi renuméroter ton problème, il s'agit du problème 92.
Est-ce que tu veux dire a^b^2=(a^b)^2 ou bien a^b^2=a^(b^2)?

C'est bon, quand j'ai vu que tu as répondu au problème de Darkpseudo qui était numéro 79. J'ai cru que c'était le précédant. C'est rectifié

amigo-6 a écrit:

Mehdi : c'etait mon frere qui vs a ecrit l olimpiade il est en tronc commun et il travaille des exercise de science math je ne crois pas que le mot trivial va l encourager!! et si vs voulez des bon exersises moi je travaille des ex d'international j'essayerai de vs les passer .
P.s il n'ya jamais quelquechose trivial en mathématique amicalement

A croire tes paroles, si tu fait des exercices internationales, tu n'aurais certainement pas du mal à répondre à de futiles olympiades marocaines. Du coup tu aurais pu aider ton frère sans qu'il ait recours au forum

En fait laisse-moi te poser une question, tu as 15 ans et tu as un frère en tronc commun ?
Curieux !

amigo-6 a écrit:

Mehdi : c'etait mon frere qui vs a ecrit l olimpiade il est en tronc commun et il travaille des exercise de science math je ne crois pas que le mot trivial va l encourager!! et si vs voulez des bon exersises moi je travaille des ex d'international j'essayerai de vs les passer .
P.s il n'ya jamais quelquechose trivial en mathématique amicalement

Tu n'es pas le seul dans ce forum!!!!

nn c mon frere qui a 15 ans

Bon
92 ) a^b^2 ou a^(b.b)

en fait jai 17.5 et jai un frere en tronc commun

amigo-6 a écrit:

Bon
92 ) a^b^2 ou a^(b.b)

C'est bizarre et flou.
Personnellement, je n'ai rien compri.
Il nous reste un autre problème:

nmo a écrit:

Voici un exercice que j'ai inventé:
Problème 90:
Soit E un ensemble à entiers non-nuls et inférieurs ou égaux à .
(n est un entiers non nul, m est inférieur à ).
Démontrez qu'il existe au moins deux entiers de l'ensmble E tel que leurs différence vaut .
(((Par exemple, E est l'ensemble composé de 57 (50*1+7) entiers non-nuls et inférieurs ou égaux à 100 (100*1).
Le but de l'exercice est de démontrer qu'il existe deux entiers de l'ensemble E tesl que leurs différences vaut 13 (2*7-1).)))
Bonne chance.
P.S:Je ne dispose pas de la solution du problème, ce ne sont que des remarques qui m'ont guidé à ce résultat.
Amusez vous bien à faire cet exercice.

Je propose demain, si j'ai le temps, une solution que j'ai trouvé après une recherche pénible.
(Elle n'est pas la mienne, je l'ai inspirée de patrick -pco- en lisant une très ancienne réponse proposée par lui).

Bon jrepere lex 91 ou 81 ) -trouver tous les couples (a,b) d'entiers a supérieure ou égal à 1 et b supérieure ou égal à 1 vérifiant l'equation suivante:a^b^2=b^a
a^b^2 veu dire que a^b.b car b^2 = b.b

nmo a écrit:

Voici un exercice que j'ai inventé:
Problème 90:
Soit E un ensemble à entiers non-nuls et inférieurs ou égaux à .
(n est un entiers non nul, m est inférieur à ).
Démontrez qu'il existe au moins deux entiers de l'ensmble E tel que leurs différence vaut .
(((Par exemple, E est l'ensemble composé de 57 (50*1+7) entiers non-nuls et inférieurs ou égaux à 100 (100*1).
Le but de l'exercice est de démontrer qu'il existe deux entiers de l'ensemble E tesl que leurs différences vaut 13 (2*7-1).)))
Bonne chance.
P.S:Je ne dispose pas de la solution du problème, ce ne sont que des remarques qui m'ont guidé à ce résultat.
Amusez vous bien à faire cet exercice.

Voici la réponse que je vous ai promis:
Soit F l'ensemble défini par: .
On a CardE=CardF=50n+m.
Et on a encore E est inclus dans et F est inclus dans .
Ce qui aboutit à ou à .
D'autre part, on sait que .
Alors .
Et puisque , il s'ensuit que:
.
Donc l'ensemble de l'intersection entre E et F n'est pas vide.
Ainsi, on déduit qu'il existe un y de F tel que y est dans E.
Donc il existe un y de E et un x de E tel que y=x+(2m-1).
Enfin, il existe deux entiers x et y tel que y-x=2m-1. (C'est à dire dont la différence est 2m-1.)
CQFD.
Sauf erreur.
(((L'exemple se traite d'une façon analogue))).