Préparations aux olympiades de tronc commun (2009-2010)

Et voici la solution du deuxième problème:
Posons AC=AB=a.
Donc BF=EC=a et CD=DE=a/2.
On a ABC un triangle rectangle en A.
Donc BC^2=AB^2+AC^2.
Donc BC^2=a^2+a^2.
Donc BC^2=2a^2.
Et on a BCD un triangle rectangle en C.
Donc BD^2=BC^2+DC^2.
Donc BD^2=2a^2+(a/2)^2.
Donc BD^2=2a^2+(a^2)/4.
Donc BD^2=(9a^2)/4.==>(1)
Et on a IED un triangle rectangle en E.
Donc ID^2=IE^2+ED^2.
Donc ID^2=(FE/2)^2+ED^2.
Donc ID^2=(BC/2)^2+ED^2.
Donc ID^2=BC^2/4+(a/2)^2.
Donc ID^2=(2a^2)/4+(a^2)/4.
Donc ID^2=(3a^2)/4.==>(2)
Et on a BFI un triangle rectangle en F.
Donc BI^2=BF^2+FI^2.
Donc BI^2=a^2+IE^2.
Donc BI^2=a^2+(2a^2)/4.
Donc BI^2=(3a^2)/2.==>(3)
Et de 2 et 3 on conclut que BI^2+ID^2=(3a^2)/2+(3a^2)/4.
Donc BI^2+ID^2=(9a^2)/4.
Et on a d'après 1 que BD^2=(9a^2)/4.
Soit en résumé BD^2=BI^2+ID^2.
Et d'après le réciproque du théorème de pytagore, le triangle IBD est rectangle en I.
Donc l'angle BID est droit.
CQFD. sauf faute de frappe.

Je vous propose ainsi ces deux problèmes d'algèbre:
Problème1:
Trouvez x,y, et z des réels vérifiant:
z^2-4x=1 et y^2+6z=-17 et x^2+2y=2.
Problème2:
Le nombre suivant est-il naturel?
.
Bonne chance.
P.S: ce sont des exercices assez facile.

Un problème de plus :
Problème :
Résoudre dans l'équation suivante :

Slt Dijkschneier

Dijkschneier a écrit:

Un problème de plus :
Problème :
Résoudre dans l'équation suivante :

[/

On simplifier l'equation :

V(((x-2030)/22)+1)+V(((x-2030)/21)+1)+V(((x-2030)/20)+1)=V(((x-2030)/2008)+1)+V(((x-2030)/2009)+1)+V(((x-2030))/2010+1)

[V(((x-2030)/22)+1)]²=[V(((x-2030))/2010+1)]²
Donc : (x-2008)/22=(x-20)/2010
ca veut dire : x=2030

Je vais vérifier si 2030 est la seule solution de l'équation :

Si x-2030>0 On a :

V(((x-2030)/22)+1)>=V(((x-2030)/2008)+1)
V(((x-2030)/21)+1)>=V(((x-2030)/2009)+1)
V(((x-2030)/20)+1)>=V(((x-2030))/2010)+1)

Donc :

V(((x-2030)/22)+1)+V(((x-2030)/21)+1)+V(((x-2030)/20)+1)>=V(((x-2030)/2008)+1)+V(((x-2030)/2009)+1)+V(((x-2030))/2010+1)

Posons : x-2030=Y pour plus de simplification ,l'inigalité demeure :

V((Y/22)+1)+V((Y/21)+1)+V((Y/20)+1)>=V((Y/2008)+1)+V((Y/2009)+1)+V((Y/2010)+1)

Alors: S={2030}

Si Y<0
C'est impossible donc :
S={}

on conclut enfin que la solution de l'equation :

S={2030}

CQFG

Dijkschneier a écrit:

Un problème de plus :
Problème :
Résoudre dans l'équation suivante :

Je vous attends )) j'espére que c'est juste.

M.Marjani a écrit:

Dijkschneier a écrit:

Un problème de plus :
Problème :
Résoudre dans l'équation suivante :

Je vous attends )) j'espére que c'est juste.

Ta solution ne semble pas être parfaite.
Il te faut discuter pour cette équation plus de 6 cas.
Il existe une équation plus célèbre, la voici:
.
A laquelle on donne une solution un peu biarre.
Je présente dans mon prochain message une belle solution pour celle de Dijkschneier.
C'est une methode qu'un ami m'a appri il y deux semaines.

Dijkschneier a écrit:

Problème :
Résoudre dans l'équation suivante :

.
On a .
Donc .
Donc .
D'autre part, on a .
Donc .
Donc .
Donc .
De même on a .
Et ausi on a .
Revenons à notre équation:
On a .
Donc .
Donc .
Donc .
Car est toujours positifs.
Donc .
CQFD.

Pour le premier:
On a z^2-4x=1 et y^2+6z=-17 et x^2+2y=2.
Soit en sommant: z^2-4x+y^2+6z+x^2+2y=1-17+2.
Donc z^2+6z+x^2-4x+y^2+2y=-14.
Donc z^2+6z+x^2-4x+y^2+2y+14=0.
Donc z^2+6z+9+x^2-4x+4+y^2+2y+1=0.
Donc (z+3)^2+(x-2)^2+(y+1)^2=0.
Donc (z+3)^2=0 et (x-2)^2=0 et (y+1)^2=0.
Donc z+3=0 et x-2=0 et y+1=0.
Donc z=-3 et x=2 et y=-1.
Est-ce difficile?

Pour le deuxième:
Posons .
On a .
Donc .
Donc .
Donc .
On a 3>1.
Donc V3>1.
Donc V3 -1>0.
Donc .
Donc .
Et on a 49>48.
Donc V49>V48.
Donc 7>4V3.
Donc 0>4V3 -7.
Donc .
Revenons à A:
On a .
Donc .
Et finalement .
Donc le nombre proposé est naturel.
Est-ce difficile?

Je vous propose ainsi ce problème, éspérant qu'il soit à la hauteur:
Soit x un réel non nul vérifiant x^2=4x-1.
Calculez x^3+x^2+x+1/x+1/x^2+1/x^3.
Bonne chance.
Celui ou celle qui répond poste un autre exercice.
P.S: c'est un exercice très facile.

nmo a écrit:

Dijkschneier a écrit:

Problème :
Résoudre dans l'équation suivante :

.
On a .
Donc .
Donc .
D'autre part, on a .
Donc .
Donc .
Donc .
De même on a .
Et ausi on a .
Revenons à notre équation:
On a .
Donc .
Donc .
Donc .
Car est toujours positifs.
Donc .
CQFD.

A part quelques modiques fautes sans teneur, l'idée est bien présente. Bien !
Ton autre problème dérivé se résout avec le même esprit. D'ailleurs, il semble que ce genre de problèmes peut facilement être généralisé.

nmo a écrit:

M.Marjani a écrit:

Dijkschneier a écrit:

Un problème de plus :
Problème :
Résoudre dans l'équation suivante :

Je vous attends )) j'espére que c'est juste.

Ta solution ne semble pas être parfaite.
Il te faut discuter pour cette équation plus de 6 cas.
Il existe une équation plus célèbre, la voici:

Slt nmo , oui ;il ya plusieurs methodes , mais il suffit de discuter sur Y>0 et Y<0 dans mon cas pour voir s'il y avait d'autres solutions sue |R.
T'as une belle methode ,le probléme qu'on a trouver les S différents!
dans ce cas x=2030 non ? et dans le probléme que tu m'as donné x=10.

Il ya une autre methode mais avec les outils mathématics de premiére.

Encore une fois personne ne répond, voici la solution:
On a x^2=4x-1.
Donc x^2+1=4x.
Donc (x^2+1)/x=4x/x.
Donc x^2/x + 1/x=4.
Donc x+1/x=4.==>(1)
Donc (x+1/x)^2=4^2.
Donc x^2+2x*1/x+1/x^2=16.
Donc x^2+2+1/x^2=16.
Donc x^2+1/x^2=14.==>(2)
En multipliant 1 et 2, on trouve (x^2+1/x^2)(x+1/x)=14*4.
Donc x^3+x+1/x+1/x^3=56.
Donc, par addition de 1, on trouve x^3+x+1/x+1/x^3+x+1/x=56+14.
Donc x^3+x^2+x+1/x+1/x^2+1/x^3=70.
C'était facile.

Même s'il est facile, voici mon exercice:
ABC triangle avec des angles aigus, h est son hauteur passant par A, posons a=BC et AC=b et c=AB.
Prouver que:
Bonne chance.

nmo a écrit:

nmo.[/b]

Dsl , j'avais 4 devoirs cette semaine donc j'avais trop peu de temps, c'est pourquoi j'arrive pas à vous partager ici.

nmo a écrit:

ABC triangle avec des angles aigus, h est son hauteur passant par A, posons a=BC et AC=b et c=AB.
Prouver que:
[b]b]

soit H le projeté orthogonal de A sur [BC]
(BH-CH)²>=0
BH²+CH²-2BH*CH>=0
2BH²+2CH²-(BH+CH)²>=0
2BH²+2CH²-a²>=0
Donc : BH²=c²-h² CH²=b²-h²
Don't le résultat.

problème proposé:
soient a b et c des réels distincts.
montrer que:

M.Marjani a écrit:

problème proposé:
soient a b et c des réels distincts.
montrer que:

Tout d'abord, posons m=b/a et n=c/b et p=a/c.
On a mnp=b/a*c/b*a/c.
Donc mnp=1.
Donc b=am et c=bn et a=cp.
On veut démontrer que .
C'est à dire .
C'est à dire .
C'est à dire .
On pose 1-m=x et 1-n=y et 1-p=z.
Donc m=1-x et n=1-y et p=1-z.
Et on a mnp=1.
Donc (1-x)(1-y)(1-z)=1.
Donc (1-y-x+xy)(1-z)=1.
Donc 1-z-y+yz-x+xz+xy-xyz=1.
Donc xy+zx+zy=x+y+z+xyz.
Donc (xy+zx+zy)^2=(x+y+z+xyz)^2.
Donc (xy)^2+(zx)^2+(zy)^2+2xy*zx+2xy*zy+2zx*zy=(x+y+z)^2+(xyz)^2+2xyz(x+y+z).
Donc (xy)^2+(zx)^2+(zy)^2+2x*yzx+2xyz*y+2zxy*z=(x+y+z)^2+(xyz)^2+2xyz(x+y+z).
Donc (xy)^2+(zx)^2+(zy)^2+2xyz(x+y+z)=(x+y+z)^2+(xyz)^2+2xyz(x+y+z).
Donc (xy)^2+(zx)^2+(zy)^2=(x+y+z)^2+(xyz)^2.
Donc (xy)^2+(zx)^2+(zy)^2-(xyz)^2=(x+y+z)^2.
D'autre part, on a 0=<(x+y+z)^2.
Donc 0=<(xy)^2+(zx)^2+(zy)^2-(xyz)^2.
Donc (xyz)^2=<(xy)^2+(zx)^2+(zy)^2.
En divisant par (xyz)^2 on obtient 1=<(1/x)^2+(1/y)^2+(1/z)^2.
Donc .
Donc .
CQFD.
Sauf faute de frappe.

Problèmes propposés:
Résolvez en IR les deux équation suivantes:
.
.
Bonne chance.
P.S: les deux équations sont indépendantes.

Pour le 2éme on a 0<x<144
Et :
Le 1er possibilité don x=9 la 2éme n'admet pas de solution positif .
Ps: Pour la 2éme on pose X=V(12-Vx)

bien.

Pour la première :

Sauf erreur !

Deux autres, tant qu'on y est :
Problème 1 :
Résoudre dans [0;] l'inéquation : .
Problème 2 :
Soit ABC un triangle. a,b et c sont ses longueurs de côté, et alpha, bêta et gamma ses angles respectifs.
Montrez que : .

La factorisation est un peu magik ^^ sinon voici une autre solution pour l'équation :
On fixe y=1/x on se ramène à :

Pour équilibrer ( avoir une équation de 2éme degré) on pose z=y-1/2
Ca donne :

encore un changement de variable : a=z²>=0
ca donne :

La solution positif est a=5/4
Puis on trouve aisément les valeurs de x

mizmaz a écrit:

Pour la première :

Sauf erreur !

Bonne réponse mizmaz , une petite remarque S={(-1+V5)/2;1;(-1-V5)/2}

Car : Dans le premier on va trouver que : S={} et l'autre : S={(1+V5)/2;(-1-V5)/2} et l'autre : (x-1)²=0 <=> x=1 <=> S={1}

Donc : S={(1+V5)/2;(-1-V5)/2;1}
Bonne chance.