Préparations aux olympiades de première (2010-2011)

M.Marjani a écrit:

Je ne vois pas où l'erreur si f(2x)=f(x^2) , 2x ou x^2 n'appartiennent pas à X?

L'erreur est de prendre x=3, car x est censé être supérieur à 4.

Dijkschneier a écrit:

Problème 67 : (** : deux étoiles)
Soient E,F,G et H quatre ensembles, f une application de E vers F et g une application de G vers H.
On considère l'application k de vers définie par : où la notation désigne l'ensemble des fonctions définies sur X et à valeurs dans Y.
i) Montrer que si f est surjective et g est injective, alors k est injective
ii) Montrer que si f est injective et g est surjective, alors k est surjective.

Vous ne devez proposer une solution que si vous avez la réponse à i) et à ii)

Solution au problème 67 :
i) Soient u et v de G^F (c'est-à-dire deux fonctions définies sur F et à valeurs dans G) telles que k(u)=k(v)

Soit et tel que f(beta)=alpha (ce beta existe car f est surjective)
Pour x=beta dans (1), il vient u(f(beta))=v(f(beta)), et donc u(alpha)=v(alpha).
Donc pour tout alpha de F : u(alpha)=v(alpha)
Ce qui veut dire que u=v.
ii) Soit y de H^E. On recherche x de G^F tel que k(x)=y.
k(x)=y <===> pour tout a de E : g(x(f(a)))=y(a)
On construit la fonction x de cette manière :
- x est définie sur F et à valeurs dans G
- si alpha appartient à f(E), alors on définit x(alpha)=b, tel que b appartienne à G et est tel que g(b)=y(b') (ce b existe car g est surjective), et tel que b' appartienne à E et est tel f(b')=alpha (ce b' existe car alpha appartient à f(E))
- si alpha n'appartient pas à f(E), alors on choisit pour x(alpha) n'importe quelle valeur (par exemple, une constante)
Vérifions que cette fonction x est bonne :
Soit a de E.
On a : g(x(f(a)))=g(b)=y(b'), car f(a) appartient à f(E)
Or, d'après la définition de b', on a aussi : f(b')=f(a)
Par injectivité de f, on a alors : b'=a
Par conséquent, on a bien : g(x(f(a)))=y(a).
Ainsi, pour tout a de E, g(x(f(a)))=y(a), et donc : , et donc , ce qui montre bien la surjectivité de k.

Mehdi.O a écrit:

J'ai une solution que j'estime douteuse, mais je l'ai relu plusieurs fois, je n'ai trouvé aucune erreur. La voici :
Tout d'abord puisque Le cercle est inscrit dans le carré ABCD, donc E,F,G et H sont respectivement les milieux de [AB],[BC],[CD] et [AD].
Le quadrilatère NGFE est inscriptible, ainsi <MNG=<FNG=<GEF=45°.
D'autre part : <AMF=180°-<MAF-<MFA=180°-(90°-<GAD-<FAB)-(90°-<DFC-<AFB)=180°-(90°-22.5°-22.5°)-(180°-67.5°-67.5)=90°
Ainsi Le triangle MNG est rectangle, il s'ensuit qu'il est isocèle rectangle.
Donc K=MN²/2. Maintenant, nous avons : <NDG=<FDC=arctan(1V5),ainsi sin(<NDG)=sin(<MDG)=MG/DG=MN/DG=2MN/DC, donc MN²=DC²/4.sin²(<NDG)
il s'ensuit que S=8/(sin²(<NDG).K=8/(sin²(arctan(1/2)).K
ainsi n=40
CQFD

Très bien, sauf quelques fautes vers la fin.
Je te reproche aussi le fait de sauter quelques étapes importantes.
Franchement, ce n'était pas la question telle qu'elle est présentée.
(La question était: démontrez que S=40K).
Il y a un indice qui le montre: mon utilisation du terme "entier" au lieu de "réél".
Mon prochain message, dans la rubrique "géométrie", sera consacré à un site d'où cet exercice est extrait.

Dijkschneier a écrit:

nmo a écrit:

Dijkschneier a écrit:

Classique ET simple...

Comment tu as procédé?
Par ailleurs, je vais chercher un exercice à la hauteur.

Si on définit la fonction f(x)=sqrt(20+sqrt(20-x)), alors notre équation n'est rien d'autre que f(f(x))=x, à résoudre dans [0,20]
Et on peut remarquer qu'il suffit de résoudre f(x)=x dans [0,20] puisque les points fixes de f sont aussi les points fixes de f(f(x)), et que le graphe de f(f(x)) coupe une seule fois la droite d'équation y=x.

j'ai pas compris pk, pouvez vous un peu expliquer!je'en srai tres reconnaisant.merci d'avance
amicalement

@yasserito : il faut préciser ce que tu n'as pas compris.
@Mehdi.O : il me semble que c'est à toi de proposer le nouveau problème...

Problème 74 :

Trouvez toutes les fonctions définies sur IR et vérifiant :
f(x-f(y))=1-x-y
Je sais que c'est facile, mais je n'ai aucun bon problème à proposer

Solution au problème 74 :
Soit f une fonction vérifiant l'EF.
Soit P(x,y) l'assertion : f(x-f(y))=1-x-y.
P(x+f(0),0) ==> f(x)=1-(x+f(0)-0=1-x-f(0)
Ainsi, f est de la forme : f(x)=1-x+c
Inversement, si f(x)=1-x+c, alors l'EF devient : 1-(x-f(y))+c = 1-x-y
<=> 1-x+f(y)+c=1-x-y
<=> f(y)+c = -y
<=> f(y) = -y - c
<=> 1-y+c = -y-c
<=> 2c=-1
<=> c=-1/2
Par suite : f(x)=1/2 - x
Synthèse :
La seule solution à l'EF est la fonction : x -> 1/2 -x

Dijkschneier a écrit:

Solution au problème 74 :
Soit f une fonction vérifiant l'EF.
Soit P(x,y) l'assertion : f(x-f(y))=1-x-y.
P(x+f(0),0) ==> f(x)=1-(x+f(0)-0=1-x-f(0)
Ainsi, f est de la forme : f(x)=1-x+c
Inversement, si f(x)=1-x+c, alors l'EF devient : 1-(x-f(y))+c = 1-x-y
<=> 1-x+f(y)+c=1-x-y
<=> f(y)+c = 1-y
<=> f(y) = 1-y-c
<=> 1-y+c = 1-y-c
<=> c=0
Synthèse :
La seule solution à l'EF est la fonction : x -> 1-x

Problème 75 :

Ton résultat est faux, à cause d'uen faute d'inattention :
1-x+f(y)+c=1-x-y<=>f(y)+c=-y<=>1-y+c+c=-y<=>c=-1/2
ainsi f(x)=1/2-x
ce qui est une solution bien sûr

A toi l'honneur, de poster un exercice

Merci, j'ai corrigé.
Problème 75 : (* : une étoile)
Soient a et b des entiers naturels tels que a>b, et x,y et z des entiers naturels.
Montrer que si xyz=2a(a²+3b²), alors x et y et z ne peuvent pas être tous les trois égaux.

voici un exercice :

donner la valeur de x + y

Cher az360,
tu dois lire d'abord les règles, on ne doit aps poster des exerices arbitrairement car cela nuit le bon cours de ce topic.
En ce qui concerne ton probleme, il est classique :
En multipliant respectivement par (V(x²+1)-x) et (V(y²+1)-y) on trouve y+V(y²+1)=V(x²+1)-x et x+V(x²+1)=V(y²+1)-y en sommant on trouve 2(x+y)=0, donc x+y=0
CQFD

^^ je suis désolé Mehdi.O .

Dijkschneier a écrit:

Merci, j'ai corrigé.
Problème 75 : (* : une étoile)
Soient a et b des entiers naturels tels que a>b, et x,y et z des entiers naturels.
Montrer que si xyz=2a(a²+3b²), alors x et y et z ne peuvent pas être tous les trois égaux.

Solution 75 :

Soit a,b les naturels qui vérifient l'énoncé. On suppose que x =y =z et démontrant que le cube d'un naturel non nul ne peut en aucun cas égale à 2a(a²+3b²). Si x^3 = 2a(a²+3b²) Alors x est congru à 0 modulo 2 cela implique :
D'autre coté, donc a,b ont la même parité. Et si équiv qui est bien une contradiction, donc a,b sont tous les deux pairs. Cela conduit à donc k pair et k'>l, on remarquera qu'on peut répéter cette phase n fois, et que x^3 =8k^3 =8*(8(k'')^3) =... jusqu'à k''_{n}£{0,1,8} donc a^2 = 4k'^2 = ... = (2^{2n})*k'{n} et si veut-on qu'il sera juste pour x^3 on doit appliquer une disjonction de cas sur k''_{n}£{0,1,8} pour trouver dans chaque fois une contradiction. Ainsi l'hypothèse est fausse.

En attendant d'une confirmation, voici un nouveau problème.

Problème 76 : *

Montrer que 798 devise y*x^{19}-x*y^{19} quelque soit x,y des entiers naturels .

M.Marjani a écrit:

Cela conduit à donc k pair et k'>l, on remarquera qu'on peut répéter cette phase n fois, et que x^3 =8k^3 =8*(8(k'')^3) =... jusqu'à k''_{n}£{0,1,8} donc a^2 = 4k'^2 = ... = (2^{2n})*k'{n} et si veut-on qu'il sera juste pour x^3 on doit appliquer une disjonction de cas sur k''_{n}£{0,1,8} pour trouver dans chaque fois une contradiction. Ainsi l'hypothèse est fausse.

Cela me rappelle bien ce type de raisonnement:
http://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9thode_de_descente_infinie.
Je pense que ton raisonnement est bon.

nmo a écrit:

M.Marjani a écrit:

Cela conduit à donc k pair et k'>l, on remarquera qu'on peut répéter cette phase n fois, et que x^3 =8k^3 =8*(8(k'')^3) =... jusqu'à k''_{n}£{0,1,8} donc a^2 = 4k'^2 = ... = (2^{2n})*k'{n} et si veut-on qu'il sera juste pour x^3 on doit appliquer une disjonction de cas sur k''_{n}£{0,1,8} pour trouver dans chaque fois une contradiction. Ainsi l'hypothèse est fausse.

Cela me rappelle bien ce type de raisonnement:
http://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9thode_de_descente_infinie.
Je pense que ton raisonnement est bon.

Merci.
Pensez à résoudre le dernier problème que j'ai proposé.

M.Marjani a écrit:

D'autre coté, donc a,b ont la même parité.

??!

M.Marjani a écrit:

Problème 76 : *
Montrer que 798 devise y*x^{19}-x*y^{19} quelque soit x,y des entiers naturels .

Je réponds:
Tout ma solution repose sur le lemme suivant, appelé le petit théorème de Fermat:
Soit a un entier relatif et p un nombre premier.
Si p ne divise pas a, alors .
Maintenant, je passe à notre exercice:
On a d'un premier côté: 1,2,3,19 sont les diviseurs premiers de 798.
Et encore: .
Donc il faut démontrer que , , , et .
Premièrement, démontrons qu'on a .==>(1)
On distingue quatres cas, mai vu la symétriques des rôles entre x et y on se ramène à étudier les deux cas suivants seulement:
*Cas premier: l'un des entier x et y est multiple de 19 ou bien tous les deux.
Si 19 divise x, alors 19 divise .
Si 19 divise y, alors 19 divise .
*Cas second: aucun des entiers x et y n'est divisible par 19.
Selon le lemme, on prends p=19, qui est bien premier.
On a soit .
De même .
Ainsi soit .
Donc 19 divise .
Et par conséquent 19 divise .
*Synthèse:
On a .
Deuxièmement, démontrons qu'on a .==>(2)
On distingue quatres cas, mai vu la symétriques des rôles entre x et y on se ramène à étudier les deux cas suivants seulement:
*Cas premier: l'un des entier x et y est multiple de 7 ou bien tous les deux.
Si 7 divise x, alors 7 divise .
Si 7 divise y, alors 7 divise .
*Cas second: aucun des entiers x et y n'est divisible par 7.
Selon le lemme, on prends p=7, qui est bien premier.
On a soit .
Donc soit .
De même .
Ainsi soit .
Donc 7 divise .
Et par conséquent 7 divise .
*Synthèse:
On a .
Troisièmement, démontrons qu'on a .==>(3)
On distingue quatres cas, mai vu la symétriques des rôles entre x et y on se ramène à étudier les deux cas suivants seulement:
*Cas premier: l'un des entier x et y est multiple de 3 ou bien tous les deux.
Si 3 divise x, alors 3 divise .
Si 3 divise y, alors 3 divise .
*Cas second: aucun des entiers x et y n'est divisible par 3.
Selon le lemme, on prends p=3, qui est bien premier.
On a soit .
Donc soit .
De même .
Ainsi soit .
Donc 3 divise .
Et par conséquent 3 divise .
*Synthèse:
On a .
Quatrièmement, démontrons qu'on a .==>(4)
On distingue quatres cas, mai vu la symétriques des rôles entre x et y on se ramène à étudier les deux cas suivants seulement:
*Cas premier: l'un des entier x et y est multiple de 3 ou bien tous les deux.
Si 2 divise x, alors 2 divise .
Si 2 divise y, alors 2 divise .
*Cas second: aucun des entiers x et y n'est divisible par 2.
Selon le lemme, on prends p=2, qui est bien premier.
On a soit .
Donc soit .
De même .
Ainsi soit .
Donc 2 divise .
Et par conséquent 2 divise .
*Synthèse:
On a .
Finalement, et selon 1, 2, 3, et 4, on a car ces entiers sont premiers entre eux.
Donc .
Ce qui met fin à la démonstration.
P.S: J'ai préféré utilisé le lemme sur le quatrième cas même s'il est trivial.
Vous remarquez aussi la ressemblance entre chaque étape, car je n'aipas voulu dire tout simplement "les autres cas se traitent de la même manière.
J'attends une confirmation.

nmo a écrit:

M.Marjani a écrit:

Problème 76 : *
Montrer que 798 devise y*x^{19}-x*y^{19} quelque soit x,y des entiers naturels .

Je réponds:
Tout ma solution repose sur le lemme suivant, appelé le petit théorème de Fermat:
Soit a un entier relatif et p un nombre premier.
Si p ne divise pas a, alors .
Maintenant, je passe à notre exercice:
On a d'un premier côté: 1,2,3,19 sont les diviseurs premiers de 798.
Et encore: .
Donc il faut démontrer que , , , et .
Premièrement, démontrons qu'on a .==>(1)
On distingue quatres cas, mai vu la symétriques des rôles entre x et y on se ramène à étudier les deux cas suivants seulement:
*Cas premier: l'un des entier x et y est multiple de 19 ou bien tous les deux.
Si 19 divise x, alors 19 divise .
Si 19 divise y, alors 19 divise .
*Cas second: aucun des entiers x et y n'est divisible par 19.
Selon le lemme, on prends p=19, qui est bien premier.
On a soit .
De même .
Ainsi soit .
Donc 19 divise .
Et par conséquent 19 divise .
*Synthèse:
On a .
Deuxièmement, démontrons qu'on a .==>(2)
On distingue quatres cas, mai vu la symétriques des rôles entre x et y on se ramène à étudier les deux cas suivants seulement:
*Cas premier: l'un des entier x et y est multiple de 7 ou bien tous les deux.
Si 7 divise x, alors 7 divise .
Si 7 divise y, alors 7 divise .
*Cas second: aucun des entiers x et y n'est divisible par 7.
Selon le lemme, on prends p=7, qui est bien premier.
On a soit .
Donc soit .
De même .
Ainsi soit .
Donc 7 divise .
Et par conséquent 7 divise .
*Synthèse:
On a .
Troisièmement, démontrons qu'on a .==>(3)
On distingue quatres cas, mai vu la symétriques des rôles entre x et y on se ramène à étudier les deux cas suivants seulement:
*Cas premier: l'un des entier x et y est multiple de 3 ou bien tous les deux.
Si 3 divise x, alors 3 divise .
Si 3 divise y, alors 3 divise .
*Cas second: aucun des entiers x et y n'est divisible par 3.
Selon le lemme, on prends p=3, qui est bien premier.
On a soit .
Donc soit .
De même .
Ainsi soit .
Donc 3 divise .
Et par conséquent 3 divise .
*Synthèse:
On a .
Quatrièmement, démontrons qu'on a .==>(4)
On distingue quatres cas, mai vu la symétriques des rôles entre x et y on se ramène à étudier les deux cas suivants seulement:
*Cas premier: l'un des entier x et y est multiple de 3 ou bien tous les deux.
Si 2 divise x, alors 2 divise .
Si 2 divise y, alors 2 divise .
*Cas second: aucun des entiers x et y n'est divisible par 2.
Selon le lemme, on prends p=2, qui est bien premier.
On a soit .
Donc soit .
De même .
Ainsi soit .
Donc 2 divise .
Et par conséquent 2 divise .
*Synthèse:
On a .
Finalement, et selon 1, 2, 3, et 4, on a car ces entiers sont premiers entre eux.
Donc .
Ce qui met fin à la démonstration.
P.S: J'ai préféré utilisé le lemme sur le quatrième cas même s'il est trivial.
Vous remarquez aussi la ressemblance entre chaque étape, car je n'aipas voulu dire tout simplement "les autres cas se traitent de la même manière.
J'attends une confirmation.

Très bien.
A toi de poster un nouvel exercice !

M.Marjani a écrit:

Tout qui se cache derrière cet exercice, c'est le fait de remarquer que x^3 = 2a(a² + 3b²) = (a - b)^3 + (a + b)^3
Et puis appliquer ce qu'à trouver Fermat. " L'équation x^n = y^n + z^n / n>2 n'a pas de solutions dans IN ".

Bien.
Je te propose d'éditer ta première solution et de corriger.

Bon puisque personné n'a posté d'exercice, je me charge d'en poster un nouveau :
Problème 77 :

a et b et c sont des mesures des côtés d'un triangle, tel que a+b+c=2.
Montrez que : a²+b²+c²+2abc<2

Solution au problème 77 :
Comme a,b et c sont les côtés d'un triangle, alors on peut écrire a=x+y et cycliquement où x,y et z sont des réels positifs.
Puis on définit les quantités habituelles p = a+b+c, q=ab+ac+bc et r=abc
La condition de l'énoncé signifie p=1.
On doit prouver que ((p²-2q)+q)+(pq-r) < 1, ce qui est équivalent à r>0 étant donné la condition p=1, ce qui est trivial.

Et que chacun se sente libre de proposer de nouveaux problèmes.

Salut
JE poste une autre solution d'exo 77
a>b+c d'ou 2a>2 a>1 de meme b>1 et c>1 d'ou (a-1)(1-b)(1-c)<0
a+b+c-ab-ac-bc+abc-1<0
1-ab-ac-bc+abc<0
d'une autre part (a+b+c)²=a²+b²+c²+2(ab+ac+bc)=4
ab+ac+bc=(4-a²-b²-c²)/2
l'inégalité devient 1-(4-a²-b²-c²)/2 + abc<0
2+a²+b²+c²-4+2abc<0
a²+b²+c²+2abc<2
AMICALEMENT .