Préparations aux olympiades de première (2010-2011)

M.Marjani a écrit:

@Mehdi.O: Quand tu fixe b sur 0 tu transgresses le fait que a,b sont premiers entre eux. Cela implique b|a premiérement.

Spoiler:

Oui Oui bien sur !! Mais il y a une très grande différence entre " tes lemme" et .....


Montrer que si c'étaient a, b des entiers positives et relativement premiers entre eux,
Alors qu'il existe deux entiers m et n tel qu'il soit a^m + b^n 1 (mod ab).

C'est faux même en le prononçant ..

M.Marjani a écrit:

@Mehdi.O: Quand tu fixes b sur 0 tu transgresses le fait que a,b sont premiers entre eux. Cela implique b|a premiérement.

De la présence du b=0 et declarer qu'il existe une faute dans le probléme j'ai pensé vitement à b=0 ou a=0.
Le probléme serait donc toujours juste en fixant m, n.

Spoiler:

M.Marjani a écrit:

Probléme 105:
Montrer que si c'étaient a, b des entiers positives et relativement premiers entre eux,
Alors qu'il existe deux entiers m et n tel qu'il soit a^m + b^n 1 (mod ab).

Est ce que cela veut dire que a appartient à l'ensemble des nombres premiers, ainsi que b?
Ou bien que le plus grand diviseurs commun à a et b est bel et bien 1?
J'attends une réponse.

nmo a écrit:

M.Marjani a écrit:

Probléme 105:
Montrer que si c'étaient a, b des entiers positives et relativement premiers entre eux,
Alors qu'il existe deux entiers m et n tel qu'il soit a^m + b^n 1 (mod ab).

Est ce que cela veut dire que a appartient à l'ensemble des nombres premiers, ainsi que b?
Ou bien que le plus grand diviseurs commun à a et b est bel et bien 1?
J'attends une réponse.

Non pas necessairement des nombres premiers, mais plutôt a^b=1.

M.Marjani a écrit:

Probléme 105:
Montrer que si c'étaient a, b des entiers positives et relativement premiers entre eux,
Alors qu'il existe deux entiers m et n tel qu'il soit a^m + b^n 1 (mod ab).

Le problème est dur, je ne vais pas proposer une solution mais je vais étudier un cas.
Après, je vais donner l'idée du travail, que je n'ai pas pu démontrer.
Soit a et b deux nombres premiers, démontrons que .
On a selon le petit théorème de fermat , puisque b est premier.
Et de même , puisque a est premier.
On a donc et .
Ce qui implique que .
Ou bien .
Et comme , car et .
(Cela est valable car et puisque et ).
Il s'ensuit que , soit .
On peut donc écrire .
CQFD.
En analysant cette démonstration, je peux affirmer que pour arriver à résoudre le problème 105 on doit démontrer que et que . Là bas, je me bloque parfaitement.
Je demande à M.Marjani de proposer une solution pour qu'on puisse avancer dans le jeu.

nmo a écrit:

M.Marjani a écrit:

Probléme 105:
Montrer que si c'étaient a, b des entiers positives et relativement premiers entre eux,
Alors qu'il existe deux entiers m et n tel qu'il soit a^m + b^n 1 (mod ab).

Le problème est dur, je ne vais pas proposer une solution mais je vais étudier un cas.
Après, je vais donner l'idée du travail, que je n'ai pas pu démontrer.
Soit a et b deux nombres premiers, démontrons que .
On a selon le petit théorème de fermat , puisque b est premier.
Et de même , puisque a est premier.
On a donc et .
Ce qui implique que .
Ou bien .
Et comme , car et .
(Cela est valable car et puisque et ).
Il s'ensuit que , soit .
On peut donc écrire .
CQFD.
En analysant cette démonstration, je peux affirmer que pour arriver à résoudre le problème 105 on doit démontrer que et que . Là bas, je me bloque parfaitement.
Je demande à M.Marjani de proposer une solution pour qu'on puisse avancer dans le jeu.

Tu as fait le cas ou a,b sont premiers.

Je ne dispose d'aucun bon exercice pour le moment, je laisse la main.

Je me permets de poser cet exercice:

P.S: c'est édité.

@n.naoufal: Le triplet a=2, b=0, x=1 répond bien à l'énoncé, la question non plus. Peut-être a,b sont non nuls ?

Je dirai oui, car sinon on aura à l'aide de a=2,b=0 les solutions 2 et 1 dont le 1 est un carré parfait.

Solution au probléme 106:

On a x^2-(a^2-a+1)(x-b^2-1)-(b^2+1)^2 = 0
<==> (x-b²-1)(x²+b²+1-a²+a-1) = 0
<==> x=b²-1 ou x²+b²-a²+a=0
Si x=b²-1: Et x se différe de 0 alors PGCD(b²-1, b²)=1 , x ne sera plus un carré parfait.
Si x=0, on aura à l'aide de l'équation du départ a²=a donc a=1 et a>b => b=0. contradiction.

Si x²+b²-a²+a=0:
L'équation x²-(a²-a+1)(x-b²-1)-(b²+1)^2=0 <==> x²=(a²-a)(x-b²-1)+x
D'ou (a²-a)(x-b²-1)+x=a²-a-b² <==> (a²-a)(b²+2-x)=b²+x

Maintenant, on a x²+b²-a²+a=0 et comme résultat (a²-a)(b²+2-x)=b²+x. Alors a²-a=(a²-a)(b²+2-x) ==> b²+2-x=1 d'ou x=b²+1 qui est bel est bien une contradiction avec x carré parfait.

CQFD.

Il y a des erreurs de calcul, mais sinon ça marche, pour montrer que
a^2-a-b^2 n'est pas carré Il suffit que:
a^2-a-b^2=p^2 alors (2a-1+2b)(2a+1-2b)=(2p)^2+1. Et (2a-1+2b) et (2a-1-2b) sont de la forme 4k+3 ainsi il existe c premier de la forme 4k+3 tq c|(2m)^2+1 alors Contradition!

Oui n.naoufal, en effet je l'ai pas remarqué, j'ai passé trés vite qu'avec des calculs mentales.
J'aime ta solution, mais il y a une trés simple pour s'en sortir:
a²-a-b²=0 <==> a(a-1)=b² qui n'est juste que si a=1 , et de a>b on tire b=0 qui est une contradiction.
L'implication se démontre facilement.. je l'ai déjà prouvé quelque part dans le forum.

Puisque c'est mon tour de proposer, je vous propose ces deux exercices:
Problème 107:
Soit , , ... et 11 nombres rééls.
Parmi ces rééls, montrez qu'il existe deux distincts et tel que .
Problème 108:
Démontrez qu'il existe une infinité de nombres premiers de la forme 4n+3.
Bonne chance.

nmo a écrit:

Puisque c'est mon tour de proposer, je vous propose ces deux exercices:
Problème 107:
Soit , , ... et 11 nombres rééls.
Parmi ces rééls, montrez qu'il existe deux et tel que .
Problème 108:
Démontrez qu'il existe une infinité de nombres premiers de la forme 4n+3.
Bonne chance.

Pour le problème 107 c t_i ou bien x_i ?
et i et j sont-ils distincts ?

Solution au problème 108 :

Spoiler:

P.S: j'attends toujours une réponse de la part de nmo pour le problème 108.

Il est mieux que tu postes un exercice en attendant le réponse de NMO.

@Mehdi.O : Il y'a quand même de petites subtilités pour affirmer que N est premier. tu peux le rédiger stp ?

Othmaann a écrit:

@Mehdi.O : Il y'a quand même de petites subtilités pour affirmer que N est premier. tu peux le rédiger stp ?

C'est évident non ?

Les pi sont uniquement les premiers qui sont congru à 3 mod 4. je pense qu'il est trivial d'assurer que N n'est pas divisible par les pi , qu'en est il des autres premiers ?

Mehdi.O a écrit:

Pour le problème 107 c t_i ou bien x_i ?
et i et j sont-ils distincts ?

Ce sont des x.
Pour i et j, ils sont distincts.
Le problème est maintenant édité.
Ta solution pour le problème 108 est bonne.

Je vais faire une solution pour le problème 107 plus tard, et je vous propose maintenant ces deux problèmes:
Problème 109:
Calculez .
Problème 110:
Soit ABCD un quadrilatère cyclonique, et soit (C) son cercle circonscrit.
Soient I, J, K et L les milieux respectifs des arcs [AB], [BC], [CD] et [DA] du cercle (C).
Démontrez que les droites (IK) et (JL) sont perpendiculaires.
P.S: 107 et 109 font partie de la liste des nombres premiers jumeaux.

nmo a écrit:

Je vais faire une solution pour le problème 107 plus tard, et je vous propose maintenant ces deux problèmes:
Problème 109:
Calculez .
Problème 110:
Soit ABCD un quadrilatère cyclonique, et soit (C) son cercle circonscrit.
Soient I, J, K et L les milieux respectifs des arcs [AB], [BC], [CD] et [DA] du cercle (C).
Démontrez que les droites (IK) et (JL) sont perpendiculaires.
P.S: 107 et 109 font partie de la liste des nombres premiers jumeaux.

C'est quoi un quadrilatère cyclonique ?

Solution au problème 110:
Soit E l'intersection de (IK) et (JL):
Nous avons , angle{IEJ}=1/2(arc(IJ)+arc(LK))=1/2(arc(IB)+arc(BJ)+arc(DK)+arc(DL))=1/4(arc(AB)+arc(BC)+arc(DC)+arc(AD))=1/4.360=90.
CQFD.

Le problème 109 est classique, ce serait mieux de le changer.

probleme109:
on a cos(5x)=os(4x+x)=....... et apres quelque operations on va trouver que cos(5x)=cos(x)*(16cos²*²(x)-20cos²(x)+5). quand x=pi/10 on trouve que
0=cos(pi/2)=cos(pi/10)*(16cos²*²(pi/10)-20cos²(pi/10)+5) et on sait bien que cos(pi/10) n'est pas egale à0donc (16cos²*²(pi/10)-20cos²(pi/10)+5)=0
X=cos²(x) donc 16X²-20X+5=0 delta=400-320=80. racine de delta=4racine de5
donc X=(5-racine de5)/8 ou X=(5+racine de 5)/8
et puisque cos dalla tan9oussiya donc cos²(pi/6)<cos²(pi/10)
donc X=(5+racine de 5)/8 donc cos(pi/10)=racine de((5+racine de5)/ parce que 0<pi/10<pi/2