Préparations aux olympiades de première (2010-2011)

darkpseudo a écrit:

Je parlais de continuité sur R pas en 0 .

J'ai donné le cas du zéro pour indice mais il faut constater qu'elle est continue sur IR.

louis a écrit:

Problème 103:
Soit la fonction qui vérifie:


Trouvez l'expression de

Je réponds:
On distingue entre deux cas: y=0 et y est fifférent de 0.
On prends x=0, y=0, et n=0, l'équation fonctionnelle s'écrit .
Soit et par conséquent .
Maintenant, soit y un réél différent de 0.
On prends n=1, et on remplace y par , l'équation fonctionnelle s'écrit .
Soit .
Donc .
Donc .
Ou bien .
Soit .==>(*)
On sait que la fonction f est dérivable en 0 d'après la seconde condition.
Lorsqu'on fait tendre y vers 0, tendera vers .
Et en utilisant *, on déduit que la fonction f est dérivable sur tout entier et, en plus, la fonction f' est constante.
Donc f est de la forme , tel que k est un réel à préciser.
Réciproquement, sit f une fonction définie par , tel que k est un réel.
Soient x et y deux rééls et n un entier.
On a l'équation fonctionnelle .
Donc .
Donc .
Donc .
Et puisque y est différent de 0, il s'ensuit que .
Résolvons cette équation dans , on a:
.
Ainsi f(x)=x ou f(x)=0 ou f(x)=-x.
Ces trois fonctions sont dérivables et de dérivées 1, 0, et -1 successivement.
Mais puisque f'(0) est positif, le cas de f(x)=-x est exclus.
-Synthèse:
Les deux fonctions solutions au problème sont l'identité et la fonction nulle.
Sauf erreur.

nmo a écrit:

louis a écrit:

Problème 103:
Soit la fonction qui vérifie:


Trouvez l'expression de

Je réponds:
On distingue entre deux cas: y=0 et y est fifférent de 0.
On prends x=0, y=0, et n=0, l'équation fonctionnelle s'écrit .
Soit et par conséquent .
Maintenant, soit y un réél différent de 0.
On prends n=1, et on remplace y par , l'équation fonctionnelle s'écrit .
Soit .
Donc .
Donc .
Ou bien .
Soit .==>(*)
On sait que la fonction f est dérivable en 0 d'après la seconde condition.
Lorsqu'on fait tendre y vers 0, tendera vers .
Et en utilisant *, on déduit que la fonction f est dérivable sur tout entier et, en plus, la fonction f' est constante.
Donc f est de la forme , tel que k est un réel à préciser.
Réciproquement, sit f une fonction définie par , tel que k est un réel.
Soient x et y deux rééls et n un entier.
On a l'équation fonctionnelle .
Donc .
Donc .
Donc .
Et puisque y est différent de 0, il s'ensuit que .
Résolvons cette équation dans , on a:
.
Ainsi f(x)=x ou f(x)=0 ou f(x)=-x.
Ces trois fonctions sont dérivables et de dérivées 1, 0, et -1 successivement.
Mais puisque f'(0) est positif, le cas de f(x)=-x est exclus.
-Synthèse:
Les deux fonctions solutions au problème sont l'identité et la fonction nulle.
Sauf erreur.

Trés jolie..
_{Mais le passage du f'(x) constante vers f(x) = kx ne me plait pas, même si ca parait évident de remplacer f(x) par une constante dans l'ef, il fallait être discuté.}

ça fait longtemps qu'on attend un autre problème.

expert_run a écrit:

ça fait longtemps qu'on attend un autre problème.

Il reste encore cet exercice sans solution:

nmo a écrit:

Je propose une inégalité faisant intervenir des entiers naturels:
Problème 102:
Soit n un entier naturel non nul.
Démontrez que: .
Bonne chance.

Amuse toi à le faire.

nmo a écrit:

Je propose une inégalité faisant intervenir des entiers naturels:
Problème 102:
Soit n un entier naturel non nul.
Démontrez que: .
Bonne chance.

Solution du problème 102:
On a :

D'après l'inégalité arithmético-géomitrique :
On a :
Donc
puisque:
On conclut donc que :

Et voilà.

Problème 104:

Soient a,b,c trois réels strictement positifs
Démontrez que:
Bonne chance.

expert_run a écrit:

Problème 104:

Soient a,b,c trois réels strictement positifs
Démontrez que:
Bonne chance.

Bonjour, la condition a+b+c=3 ne figure-t-elle pas dans l'énoncé?

nn il ne figure pas dans l'énoncé.

2(LHS-RHS)= 2a(b-1)(c-1)+2(a-1)²+(b-c)² + (b-1)²+(c-1)², or on peut supposer b,c <=1 ou b,c>=1.
Cas d'égalité : a=b=c=1

Dijkschneier a écrit:

2(LHS-RHS)= 2a(b-1)(c-1)+2(a-1)²+(b-c)² + (b-1)²+(c-1)², or on peut supposer b,c <=1 ou b,c>=1.
Cas d'égalité : a=b=c=1

Et si a>=1 et b<=1 ?

Je ne sais pas pourquoi tu proposes un problème lorsque tu n'es pas capable de comprendre sa solution ?

Avant tu dois parler poliment. Pour ta solution c'est exacte . Il y avait seulement un manque de concentration lors de la lecture de ta solution.

J'ai pas très bien compris pourquoi on peut supposer que b,c<=1 ou b,c>=1.
Une petite explication si possible...

Tout l'exercise 104 repose sur une serie de factorisations, donc l'inégalité est par suite équivalente à :
(a-1)^2+(b-1)^2+(c-1)^2 + (a-1)(b-1)(c-1) >= 0

Si b <=1 et c >=1, prenez a <=1 et de la symétrie des rôles dans l'inégalité qu'à trouvé Dijkschneier vous trouverez que c'est juste même pour a >=1 et ainsi de suite : )

C'est le principe de la symétrie des rôles que joue b et c qui nous permet de conclure.

Dijkschneier a écrit:

2(LHS-RHS)= 2a(b-1)(c-1)+2(a-1)²+(b-c)² + (b-1)²+(c-1)², or on peut supposer b,c <=1 ou b,c>=1.
Cas d'égalité : a=b=c=1

C'est à vous.

Il semble que Dijkschneier ne se dispose d'aucun exercice interessant pour le moment.

Probléme 105:

Montrer que si c'étaient a, b des entiers positives et relativement premiers entre eux,
Alors qu'il existe deux entiers m et n tel qu'il soit a^m + b^n 1 (mod ab).

M.Marjani a écrit:

Il semble que Dijkschneier ne se dispose d'aucun exercice interessant pour le moment.

Probléme 105:

Montrer que si c'étaient a et b des entiers positives relativement premiers entre eux,
Alors qu'il existe deux entiers m et n tel qu'il soit a^m + b^n 1 (mod ab).

Marjani je te conseille de continuer ainsi tu progresse très bien en math avec ta participation en forum ,ncha2lah l'année prochaine ca serait une participation dans les OIM et tu va nous honorer avec des solution rédigé avec une aisance linguistique qui va toujours nous surprendre , Et ne t'inquiète pas pour le régional .. ton 20 en français est assuré !!

Mehdi.A a écrit:

M.Marjani a écrit:

Il semble que Dijkschneier ne se dispose d'aucun exercice interessant pour le moment.

Probléme 105:

Montrer que si c'étaient a et b des entiers positives relativement premiers entre eux,
Alors qu'il existe deux entiers m et n tel qu'il soit a^m + b^n 1 (mod ab).

Marjani je te conseille de continuer ainsi tu progresse très bien en math avec ta participation en forum ,ncha2lah l'année prochaine ca serait une participation dans les OIM et tu va nous honorer avec des solution rédigé avec une aisance linguistique qui va toujours nous surprendre , Et ne t'inquiète pas pour le régional .. ton 20 en français est assuré !!

Je suppose que tu n'as pas joué dans ton enfance? A quoi est due ce retard?
Ce cours te seras utile mon cher http://www.langue-fr.net/spip.php?article47 .
Malheureusement, je ne peux pas te donner un cours de quantificateurs car je sais que tu l'as bien saisie puisque t'es en MP***********************... (Respect...)

Le probléme courant:

Citation :

Probléme 105:

Montrer que si c'étaient a, b deux entiers positives et relativement premiers entre eux,
Alors qu'il existe deux entiers m et n tel qu'il soit a^m + b^n 1 (mod ab).

Bon Marjani tu pouvais le dire de manière simple, sérieux le "si c'étaient" me met un peu mal à l'aise et de toutes façons j'ai jamais vu jusqu'à présent une telle formulation dans l'énoncé d'un problème de mathématiques.

King a écrit:

Bon Marjani tu pouvais le dire de manière simple, sérieux le "si c'étaient" me met un peu mal à l'aise et de toutes façons j'ai jamais vu jusqu'à présent une telle formulation dans l'énoncé d'un problème de mathématiques.

ok !
L'utile c'est de comprendre ce qu'on a écrit, voilà je ne sais pas pourquoi il insiste sur ce mot-là..

Moi aussi je ne sais pas pourquoi tu insiste sur ce mot la puisque tu l'a favorisé à d'autre plus simple ! en tous cas je crois que je dois m'excuser .. je ne savais pas que " si c'était" est ton nouvelle lemme .. enfin tu favorise toujours tes lemme non ? :p

M.Marjani a écrit:

Il semble que Dijkschneier ne se dispose d'aucun exercice interessant pour le moment.

Probléme 105:

Montrer que si c'étaient a, b des entiers positives et relativement premiers entre eux,
Alors qu'il existe deux entiers m et n tel qu'il soit a^m + b^n 1 (mod ab).

On prend m=0 et n=1 donc b=0(mod ab) et c'est vrai, cela est valable pour tout couple d'entier (a,b).
Je crois que m et n sont supposés être non nuls. Je me trompe ?
Car sinon l'exercice serait trivial.

Mehdi tu aura mal compris l'exo .. pourtant il est bien formulé ..
b = 0 mod (ab) ???? ab divise b ???

@Mehdi.O: Quand tu fixe b sur 0 tu transgresses le fait que a,b sont premiers entre eux. Cela implique b|a premiérement.

Spoiler:

Mehdi.A a écrit:

Mehdi tu aura mal compris l'exo .. pourtant il est bien formulé ..
b = 0 mod (ab) ???? ab divise b ???

Excusez-moi pour cette vulgaire erreur.
@M.Marjani: Je n'ai pas fixé b mais le couple (m,n) et j'ai le droit vu l'existence. En outre, j'ai mal compris l'exercice.
P.S: Je ne crois pas que tu auras une réponse, vu que le régional approche et il ne reste plus que 2 semaines.