Préparations aux olympiades de tronc commun (2010-2011)

jensen!

ou bien on a selon C.S: (a+1/a)²+(b+1/b)²+(c+1/c)²>=1/3(1+1/a+1/b+1/c)²
et on a selon C.S: 1/a+1/b+1/c>=9 alors (a+1/a)²+(b+1/b)²+(c+1/c)²>=100/3
amicalement

EXO79:
soit ABC un triangle dont les angles sont aigus . trouver le point P a l'interieur de ABC pour lequel BL²+CM²+AN² est minimale,ou L,M,N sont les pieds des perpendiculaires issues de P aux coté BC,CA,AB respectivement

Classique.

poste la reponse alors

svp jai besoin dune solution pour exercise sinx< sqrt 1-2cosx mais pas geometriquement

Trop longue, en gros voici les grandes idées :
Utiliser Pytagore dans les triangles droits ainsi on trouve BL²+CM²+AM² minimale <=> AN.BN+BL.CL+AM.CM maximale
Utiliser l'inégalité ab<=(a+b)²/4 avec égalité si et seulement si a=b.
ainsi on trouve ke L et M et N sont les milieux respectifs de BC et AC et AB, ainsi ¨P est le centre du cercle circonscrit de ABC

amigo-6 a écrit:

svp jai besoin dune solution pour exercise sinx< sqrt 1-2cosx mais pas geometriquement

j'ai deja repondu je crois!!

je poste la reponse detaillé :
BL²-LC²=PB²-PC² (ac pytagore) symetriquement on obient BL²+CM²+AN²=LC²+MA²+NB²=k
2k=(BL²+LC²)+(CM²+MA²)+(AN²+NB²)>=(BL+LC)²/4+(CM+MA)²/4+(AN+NB)²/4
d'ou k>=BC²/4 +CA²/4 +AB²/4
on a egalité si BL=LC et CM=MA et AN=NB d'ou P est le centre ciconscrit du triangle

Je rappelle le problèmes non résolu.

EXO 77 ( Résolu par Mr Mehdi mais avec des notions de Première [Barycentre]
Soit A ET B de point differante du plan
Trouvez tous les point M tels que MA/MB=k

si k=1 alors M est la mediatrice de (AB)
si k=0 M=A
si k<0 (impossible) [l'ensemble vide]
si M=B (impossible)[le domaine de definition de M]
je complete apres ...

k#0 et k#1 alors on note un repere (O,i,J) on note x(a)=a et x(b)=b et y(a)=a' et y(b)=b²
on a ainsi (x-a)²+(y-a')²=k²[(x-b)²+(y-b')²]
tu dois apres simplifier et faire des (moutatabi9at hama sous sorte de:
(x-m)²+(y-n)²=p
et tu fais disjonction de cas si p<0 (impossible)[l'ensemble vide]
si p=0 c'est un point M(m,n)
si p>0 alors c'est le cercle de centre G(m,n) et de rayon Vp.
sauf erreur.
amicalement

Je voudrais bien une confirmation a ma solution proposee

yasserito :

Spoiler:

prq ?

EXO 80 :
x+y+z=5 et xy+yz+xz=3 x,y,z de IR
trouver toutes les valeur possible de z

boubou math a écrit:

yasserito :

Spoiler:

prq ?

ahhh! dsl j'ai oublie c'est l'equation du cercle que vous n'allez etudier qu'a la premiere,sinon je crois pas comment resoudre ce probleme sans avoir recours ni au barycentre ni a l'equation du cercle, je crois que c'est impossible puis que la solution est un cercle a la fin...
amicalement

yasserito a écrit:

ahhh! dsl j'ai oublie c'est l'equation du cercle que vous n'allez etudier qu'a la premiere,sinon je crois pas comment resoudre ce probleme sans avoir recours ni au barycentre ni a l'equation du cercle, je crois que c'est impossible puis que la solution est un cercle a la fin...
amicalement

Non, c'est faisable.
Je propose ma solution le mercredi prochain, si j'aurai de temps.

SOLUTION D'EXO 80 :
x+y+z=5 et xy+yz+xz=3 implique les systeme suivant
x+y=5-z
et
xy=3-z(x+y)

x+y=5-z
xy=3-z(5-z)
l'equation t²-St+p=0 est la solution du systeme donc l'equation doit avoir au moin une solution d'ou delta>=0
S²-4p =-3z²2+10 z+13>=0 apres il suffit de resoudre -1=<z=<13/3

Exercice 81
Soit a un réel non nul. Sachant que
calculer

supposant que a+1/a=x
x^3=18+3x
a^4+1/a^4=x^4-4x^2+2.
on a l'équation suivane p(x)=x^3-3x-18=0
3est racine de p(x) donc p(x)=(x-3)(x^2+3x+6)
x=3
alors a^4+1/a^4=81-36+2=47.
amicalement

EXO 82:
https://i.servimg.com/u/f66/16/16/39/98/sans_t12.jpg

PR LE 1 J'AI DEJA POSté UNE REPONSE VOILA :

on sait que x +1/x>=2 d'ou x+y+z+t + 1/x +1/y+ 1/z + x/t >=8 alors 5-1/xyzt>=4 -----> xyzt>=1
d'autre part on apliquant AM-GM x+y+z+t>=4( 4rac(xyzt)) d'ou xyzt =<1
conclusion xyzt=1
le systeme devien x+y+z+t+ 1/x +1/y +1/z +1/t=8 ----> (x+ 1/x -2) + (y+1/y -2) +(z+1/z-2)+(t+1/t-2) =0
(x-1/x)²+(y-1/y)²+(z-1/z)²+(t-1/t)²=0
S=(1,1,1,1)

joli coup boubou math c'est la meme chose que j'ai fait ^_^

si vous voulez voir la dexième question c'est l'exo 124 p65 du livre