Préparations aux olympiades de tronc commun (2010-2011)

Problème 94:
Préparations aux olympiades de tronc commun (2010-2011) - Page 23 Sans_t11

on a l'inégalité est équivalente a : ab+ac+bc-2abc >1\4 , maintenant on pose : a=x+y , b=y+z , c=x+z ; on a x+y+z=1\2 , l'inégalité se transforme en : x²+y²+z²+2(xy+yz+xz)+2xyz > 1\4 , équivalant a : (x+y+z)²+2xyz >1\4 équivalent : xyz >0 ce qui est vrai .

Problème 95 : a,b,c >=0 . Prouver que : $Préparations aux olympiades de tronc commun (2010-2011) - Page 23 Gif$

Maître Nombre de messages : 279 Age : 27 Date d'inscription : 01/07/2011

Oty a écrit:: Problème 95 : a,b,c >=0 . Prouver que : $Préparations aux olympiades de tronc commun (2010-2011) - Page 23 Gif$

Solution au problème 95:
d'après Holder
[img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?[\frac{1}{b(a+b)}+\frac{1}{c(b+c)}+\frac{1}{a(c+a)}](a+b+c)[(a+b)+(b+c)+(c+a)]&space;\ge&space;(1+1+1)^3 [/img]
d'où le résultat Smile

Problème 96 :

Préparations aux olympiades de tronc commun (2010-2011) - Page 23 Sans_t13

Bonsoir , je ne vois pas ou est l'inégalité de Holder dans ton expression tu peux préciser ?

Pour le problème 96: on prend x=0 on a : |c| =< 1 , pour la 2) on prend x=1 puis x=-1 en sommant on obtient le résultat , 3) toujours avec x=1 et x=-1 en faisant la différence des deux inégalité on trouve |b|=<1 , et on a a²+b²+c²=(|a+b+c|)²-2b(a+c)-2bc =<1+2(|b|.|a+c|+|bc|) =<1+2(1+1)=5 ( car |x| >= x quelque soit x dans R)

Problème 97 : x,y>=0 tel que : $Préparations aux olympiades de tronc commun (2010-2011) - Page 23 Gif$ . Montrer que : $Préparations aux olympiades de tronc commun (2010-2011) - Page 23 Gif$ .

Oty a écrit:: Problème 97 : x,y>=0 tel que : $Préparations aux olympiades de tronc commun (2010-2011) - Page 23 Gif$ . Montrer que : $Préparations aux olympiades de tronc commun (2010-2011) - Page 23 Gif$ .

Je pense que quelque chose ne marche pas bien dans cet exercice.
En effet, si on considère x un paramètre, l'équation $Préparations aux olympiades de tronc commun (2010-2011) - Page 23 Gif$ , dont l'inconnue est y, admet une solution réelle $Préparations aux olympiades de tronc commun (2010-2011) - Page 23 Gif.latex?y=\frac{(-27x^3+\sqrt{(27x-27x^3)^2+108}+27x)^{\frac{1}{3}}}{3$ .
(Tu peux utiliser la méthode de Cardan ou voir dans le lien suivant: [url]http://www.wolframalpha.com/input/?i=x-x^3%3Dy%2By^3 [/url]).
Et ainsi, l'inégalité à démontrer s'écrit $Préparations aux olympiades de tronc commun (2010-2011) - Page 23 Gif.latex?x^2+4(\frac{(-27x^3+\sqrt{(27x-27x^3)^2+108}+27x)^{\frac{1}{3}}}{3$ .
Ce qui n'est pas valide, d'après Wolfram Alpha: [url]http://www.wolframalpha.com/input/?i=4%28\frac{%28-27x^3%2B\sqrt{%2827x-27x^3%29^2%2B108}%2B27x%29^{\frac{1}{3}}}{3.2^{\frac{1}{3}}}%2B\frac{2^{\frac{1}{3}}}{%28-27x^3%2B\sqrt{%2827x-27x^3%29^2%2B108}%2B27x%29^{\frac{1}{3}}}%29^2%2Bx^2%3C1 [/url].
Veille à vérifier l'énoncé.

je ne vois pas vraiment pourquoi tout c'est calcule ? il n'y a pas d'erreur dans l'énoncé et l'inégalité ce démontre simplement , pas besoin de cardan .

si x=y , d’après la condition x=0 l'inégalité est vérifier . si x différent de y , il suffit de remarque que (x-y)(x²+4y²) < x^3+y^3 , car ceci est équivalent a : 4y²x-yx² - 5y^3=-y(y²+(2y-x)²) < 0 d'ou le résultat d’après la condition .

Problème 98 : a,b,c > 0 tel que : abc=1 . Prouver que : $Préparations aux olympiades de tronc commun (2010-2011) - Page 23 Gif$

Maître Nombre de messages : 279 Age : 27 Date d'inscription : 01/07/2011

Oty a écrit:: Problème 98 : a,b,c > 0 tel que : abc=1 . Prouver que : $Préparations aux olympiades de tronc commun (2010-2011) - Page 23 Gif$

l'inégalité est équivalente à $Préparations aux olympiades de tronc commun (2010-2011) - Page 23 Gif$
ou bien $Préparations aux olympiades de tronc commun (2010-2011) - Page 23 Gif$
une application directe d'IAG Smile

oui bravo

.

Maître Nombre de messages : 279 Age : 27 Date d'inscription : 01/07/2011

Problème 99:
Salut,
Préparations aux olympiades de tronc commun (2010-2011) - Page 23 Image_45

Oty a écrit:: si x=y , d’après la condition x=0 l'inégalité est vérifier . si x différent de y , il suffit de remarque que (x-y)(x²+4y²) < x^3+y^3 , car ceci est équivalent a : 4y²x-yx² - 5y^3=-y(y²+(2y-x)²) < 0 d'ou le résultat d’après la condition .

Sans mentir, je n'ai jamais vu une telle solution. Bravo.
Cependant, ta solution manque de précision:
Tu dois démontrer que x est supérieur ou égal à y, ce qui est trivial depuis l'hypothèse.
Ensuite, l'inégalité à prouver doit être large: En effet, le couple (1,0) mène vers une égalité.
Au plaisir!

on pose : a=max(a,b,c) , l'inégalité est équivalente a : a(b-c)²(b+c-a)+b(a-b)(a-c)(a+b-c) >=0 ce qui vrai d’après l'inégalité triangulaire .

Problème 100 7adide jami3e azwaje (a,b) min z² bi7ayte : 2ab=a+b+4 .

Merci nmo Very Happy

.

Oty a écrit:: Problème 100 7adide jami3e azwaje (a,b) min z² bi7ayte : 2ab=a+b+4 .

Je propose une solution, même si l'exercice est facile:
L'équation proposée équivaut à (2a-1)(2b-1)=4ab-2a-2b+1=2(2ab-a-b)+1=2*4+1=9.
Comme les diviseurs de 9 sont -1, -3, -9, 1, 3, 9 on doit étudier un tas de cas.
On peut réduire ces cas en remarquant la symétrie du problème:
_Si 2a-1=-1 et 2b-1=-9, alors a=0 et b=-4.
_Si 2a-1=-3 et 2b-1=-3, alors a=-1 et b=-1.
_Si 2a-1=1 et 2b-1=9, alors a=1 et b=5.
_Si 2a-1=3 et 2b-1=3, alors a=2 et b=2.
Il s'ensuit que les couples solutions sont (0,4); (4,0); (1,5); (5,1); (-1,-1) et (2,2).
Sauf erreurs.

probleme 101 :
ABCD inscriptible et les deux bissectrice de DBC et DAC se coupet en L . montrer que : L appartenant au cercle circonscrit du triangle ABC .
Very Happy

Solution au Problème 101:

Spoiler:

Problème 102:
Soient a,b et c des réels positifs. Montrer que: $Préparations aux olympiades de tronc commun (2010-2011) - Page 23 Gif$

Maître Nombre de messages : 279 Age : 27 Date d'inscription : 01/07/2011

@ Ali: ce lemme"Soit ABC un triangle, la deuxième intersection de la bissectrice intérieure de l'angle A avec le cercle circonscrit au triangle ABC est le milieu de l'arc BC" est suffisant pour conclure dans quelques lignes Wink

!
Solution au problème 102:
l'inégalité est équivalente à
$Préparations aux olympiades de tronc commun (2010-2011) - Page 23 Gif$
ce qui est une application directe de Schur! (n=1)
Je n'ai pas de problème à proposer

diablo902 a écrit:: @ Ali: ce lemme"Soit ABC un triangle, la deuxième intersection de la bissectrice intérieure de l'angle A avec le cercle circonscrit au triangle ABC est le milieu de l'arc BC" est suffisant pour conclure dans quelques lignes !

Hein !?
Je ne vois pas l'utilité de ce commentaire, puisque c'est presque la même chose que j'ai fait !

ma solution de my own (mybie) probleme 101
notant : L et l'intersection du deux bissectrices
on a : DBC = DAC alors LBC = LAC et ca implique que : LCBA est inscriptibles d'ou le resultat !!

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