Préparations aux olympiades de Terminale (2012)

seulement en utilisant la relation dans l'énoncé avec une claire manipulation de -xet de -y (changement de leur côtés)

Edité ..

J'ai l'impression que ce jeu tombe à l'eau avant son commencement.
@xyzakaria : Inutile d'innonder le topic avec des messages alors que la solution que tu as proposé est fausse.
@expert-run: Ta solution également comporte plusieurs fautes.
@az360: Merci de supprimer ton problème car le problème courant n'est pas encore résolu.

Oki ^^

Mehdi.O veuillez m'indiquer mes fautes svp; pour les éviter la prochaine fois.

<< on a (g(g(x))-g(x))/(g(x)-x)=1
Donc g est une fonction affine >>
Ce passage magique ... C'est pour ça que je n'ai pas voulu donné de fonction qui réalise l'énoncé. De plus il y'a une indéterminé pour l'identité qui réalise l'énoncé !!

ok je vais voir.

un problème svp pour la continuation de la préparations ...

Othmaann a écrit:

Problème 3:
Trouver toutes les fonctions réelles et continues g vérifiant : g(g(x))=2g(x)-x

Solution du problème3:
La fonction g(x)=Id convient aux conditions du problème (1)
Alors on cherche maintenant les autres fonctions.
on a (g(g(x))-g(x))/(g(x)-x)=1 avec g(x)=/=x.
Donc g est une fonction affine continue sur R
Alors g s'écrit sous la forme de g(x)=x+b avec b différent de 0 et g(g(x))=g(x)+b=x+2b=2(g(x))-x (2)
Donc de (1) et (2) on déduit que g(x)=x+b avec b appartenant a R.
Réciproquement;il est facile de vérifier qu'une fonction affine de forme g(x)=x+b avec b appartenant à R est bien solution du problème.

Il me reste à démontrer la formule magique ''' (g(g(x))-g(x))/(g(x)-x)=1 avec g(x)=/=x.
Donc g est une fonction affine continue sur R''''

<< g(g(x))-g(x))/(g(x)-x)=1
Donc g est une fonction affine continue sur R>>
Ce passage n'est pas évident (du tout). C'est ce qu'il faut montrer avec l’hypothèse de continuité (avec la dérivabilité ça aurait été plus simple).
Éviter d’inonder le sujet svp. @Mehdi.O : si tu veux arrêter le massacre je peux proposer une solution.

nn attends je suis au cours de la démonstration .

bon je propose ma solution:
il est facile de prouver que: ( c'est deja prouver ds ma premiere solution fausse ds la page 2)
g^n(x)-g^n-1(x)=g^n-1(x)-g^n-2(x) (avec g^n(x)=gogo...og(x) n fois)
le polynome caracteristique de cette equation est r^2-2r+1,qui un admet un racine double r=1
donc g^n(x)=(a+nb)r^n=a+nb
Mais comme g^0(x)=x alors x=a+0=a donc a=x
d un autre part on a g^1(x)=g(x)=a+b=x+b
d'ou g(x)=x+b avec b un parametre reel
réciproquement les fonctions x-->x+b ou b est une constante reel verifie les conditions de l ennonce.
en effet je pense que la condition de continuete n est pas nessecaire et ne dois pas figurer ds l ennonce.
j'attend une reclamation pour que je propose un nouveau probleme.

la fonction défini par x+1 sur R+ et x+2 sur R- vérifie l'énoncé. dans le cas de non continuité
Tu es tout de même sur la bonne voie ...

dans ce cas g(0) admet deux valeurs tu dois preciser !

R+* x+1 et R- x+2 ...

Ce problème vire plus à la préparations aux concours, Oraux .., qu'à la préparations des olympiades, alors évitez ce genre de problèmes s'il vous plaît

oui bon je propose un autre probleme:

Prouver qu'existe un entier positif k tel que.k*2^(n)+1 est composé pour tout entier n>0.

Solution du problème 4:

La résolution de l'exercice consiste à trouver un entier k tel que.k*2^(n)+1 est composé pour tout entier n>0.

On posons K=2^(n+2)-2^(2) donc K est un entier positif
Alors k*2^(n)+1 =(2^(n+2)-4)(2^(n))+1=4^(n+1)-2^(n+2)+1=(2^(n+1)-1)^2
qui est composé pour tout entier n>0.

expert_run a écrit:

Solution du problème 4:

La résolution de l'exercice consiste à trouver un entier k tel que.k*2^(n)+1 est composé pour tout entier n>0.

On posons K=2^(n+2)-2^(n+1) donc K est un entier positif
Alors k*2^(n)+1 =(2^(n+2)-4)(2^(n))+1=4^(n+1)-2^(n+2)+1=(2^(n+1)-1)^2
qui est composé pour tout entier n>0.

Bonjour,
Désolé mais ta solution est erronée.
Pour k que tu as mis, la quantité est égale à 2^{2n+1}+1 qui n'est pas composé pour tout n>0, pour n=1 on trouve 3 qui est premier.

Solution au problème 4:

Spoiler:

P.S: Libre à chacun de proposer un problème ( d'olympiades )

Mehdi.O a écrit:

expert_run a écrit:

Solution du problème 4:

La résolution de l'exercice consiste à trouver un entier k tel que.k*2^(n)+1 est composé pour tout entier n>0.

On posons K=2^(n+2)-2^(n+1) donc K est un entier positif
Alors k*2^(n)+1 =(2^(n+2)-4)(2^(n))+1=4^(n+1)-2^(n+2)+1=(2^(n+1)-1)^2
qui est composé pour tout entier n>0.

Bonjour,
Désolé mais ta solution est erronée.
Pour k que tu as mis, la quantité est égale à 2^{2n+1}+1 qui n'est pas composé pour tout n>0, pour n=1 on trouve 3 qui est premier.

C'était juste une faute de frappe j'ai édité.

mehdi ta solution n'est pas bonne,en effet on doit prouver que
(il existe k),(pour tt n) ,on a la propriete
or tu as pris k en fonction de n qui n'est pas fixe...

xyzakaria a écrit:

mehdi ta solution n'est pas bonne,en effet on doit prouver que
(il existe k),(pour tt n) ,on a la propriete
or tu as pris k en fonction de n qui n'est pas fixe...

Ah je vois, je vais essayer de rectifier donc

Bon pour le problème 4, allez voir Animath (arith) c'est l'exo 82.
Essayez de ne pas poster des exos qui dépassent largement notre niveau, et j'aurais espérer une participation plus active de la part des forumistes en première.