Préparations aux olympiades de Terminale (2012)

problème 45;

Soit P(x)=ax^3+bx ,on dit que le couple (a,b) est n-gentil si :
pour tout k et m de IN : n divise P(m)-p(k) ==> n divise m-k
on dit que le couple (a,b) est trés gentil si il est n-gentil pour une infinité de valeurs de n.
1) trouver un couple (a,b) qui est 51-gentil mais pas tres gentil!
2)prouver que tout les 2010-gentil sont trés gentil..

Pour le problème 43, voir la solution élégante de mavropnevma ici

Je vous propose un exo enfin si vous voulez:
Montrer qu'il existe 2 nombres irrationels a et b tq a^b soit rationel.

sqrt(2)^sqrt(2) et sqrt(2)

Sporovitch a écrit:

Je vous propose un exo enfin si vous voulez:
Montrer qu'il existe 2 nombres irrationels a et b tq a^b soit rationel.

On prendra par exemple: et .
On aura , qui est sans doute rationel.

rimele a écrit:

sqrt(2)^sqrt(2) et sqrt(2)

C'est faux, voici la valeur exacte de ce nombre:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%5Csqrt2%5E%7B%5Csqrt2%7D%5E%7B%5Csqrt2%7D.

Mr nmo c'est correct!
en effet si sqrt(2)^sqrt(2) est rationnel c est gagne sinon :

Je pense qu'il faudrait attendre que les problèmes 44 et 45 aient été résolus pour proposer de nouveaux problèmes pour ne pas avoir la pagaille. Eventuellement celui qui a proposé le problème pourra donner sa solution si personne ne répond après quelques jours.

Misterayyoub a écrit:

Bon , je vous propose ce probleme pour refaire vivre ce topic ,
Probleme 44 :
Soit :

a et b appartiennent a IN

Il y a quatre jours que j'ai la solution, mais je n'ai pas pu la rédiger ici.
Et enfin, la voici:
*Premièrement, on a le lemme suivant:
Soit p un entier.
Si p a autant de diviseurs que l'on veut, alors il est nul.
La démonstration découle immédiatement du fait que l'enseble des diviseurs d'un entier non nul est fini (C'est à dire que si p est non nul, alors il admet un nombre fini de diviseurs), et puis l'utilisation de l'implication contraposée.
*Deuxièmement, on a le deuxième lemme:
Soient p, x et m trois entiers.
Si , alors .
Et pour ce qui est de la démonstration, on supose que et on doit démontrer que .
Pour cela, on suppose par l'absurde que p ne divise pas x et soit la division euclédienne de x par p (r est différent de 0).
On a , donc .
Et puisque r est différent de 0, il résulte que p ne divise pas .
Et cela constutue une contradiction avec , donc ce qu'on a supposé est faux.
Il résulte que .

*Maintenant, on revient à l'exercice:
On a selon l'énoncé: .
Je traite deux cas selon les valeurs de b:
-Cas premier: b=0.
On aura , soit .
Ou encore , et ainsi , selon le second lemme.
Cela veut dire que a admet autant de diviseurs que l'on veut, donc a=0 selon le premier lemme.
On conclut que a=b=0, dans ce cas.
-Cas second: .
On a: .
On prends n=b, on trouve que , soit .
Ainsi .
Donc , ou bien .
Il s'ensuit que .
Et donc , selon le second lemme.
D'où l'existence d'un entier t qui vérifie .
La première relation de l'exercice s'écrit par conséquent: .
Ou encore .
Donc .
Pour n=1, on aura .
Pour n=2, on aura .
On itère la procédure autant de fois que l'on veut.
Or, on sait que et que .
Il en découle que, l'entier , lorsque n décrit l'ensemble des entiers naturels, a autant de diviseurs que l'on veut.
C'est à dire que selon le premier lemme.
Et puisque n est une variable, on aura forcément t=1.
Ainsi a=b, dans ce cas aussi.
-Conclusion:
Dans les deux cas, on a démontré que a=b.
CQFD.
Sauf erreur.

rimele a écrit:

Mr nmo c'est correct!
en effet si sqrt(2)^sqrt(2) est rationnel c est gagne sinon :

C'est faux, car tu met l'égalité, à ce que je vois, entre et (Cette égalité n'est vérifiée que si a=1 ou a=2).
Et voici le problème courant:

rimele a écrit:

problème 45;
Soit P(x)=ax^3+bx ,on dit que le couple (a,b) est n-gentil si :
pour tout k et m de IN : n divise P(m)-p(k) ==> n divise m-k
on dit que le couple (a,b) est trés gentil si il est n-gentil pour une infinité de valeurs de n.
1) trouver un couple (a,b) qui est 51-gentil mais pas tres gentil!
2)prouver que tout les 2010-gentil sont trés gentil..

nmo a écrit:

Misterayyoub a écrit:

Bon , je vous propose ce probleme pour refaire vivre ce topic ,
Probleme 44 :
Soit :

a et b appartiennent a IN

Il y a quatre jours que j'ai la solution, mais je n'ai pas pu la rédiger ici.
Et enfin, la voici:
*Premièrement, on a le lemme suivant:
Soit p un entier.
Si p a autant de diviseurs que l'on veut, alors il est nul.
La démonstration découle immédiatement du fait que l'enseble des diviseurs d'un entier non nul est fini (C'est à dire que si p est non nul, alors il admet un nombre fini de diviseurs), et puis l'utilisation de l'implication contraposée.
*Deuxièmement, on a le deuxième lemme:
Soient p, x et m trois entiers.
Si , alors .
Et pour ce qui est de la démonstration, on supose que et on doit démontrer que .
Pour cela, on suppose par l'absurde que p ne divise pas x et soit la division euclédienne de x par p (r est différent de 0).
On a , donc .
Et puisque r est différent de 0, il résulte que p ne divise pas .
Et cela constutue une contradiction avec , donc ce qu'on a supposé est faux.
Il résulte que .

*Maintenant, on revient à l'exercice:
On a selon l'énoncé: .
Je traite deux cas selon les valeurs de b:
-Cas premier: b=0.
On aura , soit .
Ou encore , et ainsi , selon le second lemme.
Cela veut dire que a admet autant de diviseurs que l'on veut, donc a=0 selon le premier lemme.
On conclut que a=b=0, dans ce cas.
-Cas second: .
On a: .
On prends n=b, on trouve que , soit .
Ainsi .
Donc , ou bien .
Il s'ensuit que .
Et donc , selon le second lemme.
D'où l'existence d'un entier t qui vérifie .
La première relation de l'exercice s'écrit par conséquent: .
Ou encore .
Donc .
Pour n=1, on aura .
Pour n=2, on aura .
On itère la procédure autant de fois que l'on veut.
Or, on sait que et que .
Il en découle que, l'entier , lorsque n décrit l'ensemble des entiers naturels, a autant de diviseurs que l'on veut.
C'est à dire que selon le premier lemme.
Et puisque n est une variable, on aura forcément t=1.
Ainsi a=b, dans ce cas aussi.
-Conclusion:
Dans les deux cas, on a démontré que a=b.
CQFD.
Sauf erreur.

Ta solution me parrait juste , j'ai juste quelques ambiguités vers la fin , Comment t'as trouvé que n(1-t^n ) a le nombre de diviseurs que l'on veut ? ( je pense que pour chaque n on a un certain diviseur ... ce qui ne veut pas dire qu'il a le nombre de diviseurs que l'on veut parce que ca depend de n ).
j'aimerais bien savoir ce que tu penses . Amicalement

Ce que j'ai fait moi une fois arrivé à b^n + n l n ( 1-t^n ) , c'est déduire que n(1-t^n ) >= b^n + n >= o d'ou t^n<= 1 donc t= 1 .

regardez donc ici : http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=56&t=444693
En 6 lignes.

moi aussi je ne vois pas comment n(1-t^n) peut avoir autant de diviseur que l'on veut , car pour chaque valeur de n on a selon ce que tu as écris un / deux diviseurs .. peux-tu expliquer un peu plus ta conclusion?

Mr Nmo je cherche pas á t'attaque mais bon c'est correct et je le repete mille fois voici une demonstration claire:(je note sqrt(2)=a)

si a^a est rationnel c'est terminer;si non on a : (a^a)^a=exp(a*ln(a^a))=exp(a*a*ln(a))=exp(2ln(a))=exp(ln(a^2))=exp(ln(2))=2..

Misterayyoub a écrit:

nmo a écrit:

Misterayyoub a écrit:

Bon , je vous propose ce probleme pour refaire vivre ce topic ,
Probleme 44 :
Soit :

a et b appartiennent a IN

Il y a quatre jours que j'ai la solution, mais je n'ai pas pu la rédiger ici.
Et enfin, la voici:
*Premièrement, on a le lemme suivant:
Soit p un entier.
Si p a autant de diviseurs que l'on veut, alors il est nul.
La démonstration découle immédiatement du fait que l'enseble des diviseurs d'un entier non nul est fini (C'est à dire que si p est non nul, alors il admet un nombre fini de diviseurs), et puis l'utilisation de l'implication contraposée.
*Deuxièmement, on a le deuxième lemme:
Soient p, x et m trois entiers.
Si , alors .
Et pour ce qui est de la démonstration, on supose que et on doit démontrer que .
Pour cela, on suppose par l'absurde que p ne divise pas x et soit la division euclédienne de x par p (r est différent de 0).
On a , donc .
Et puisque r est différent de 0, il résulte que p ne divise pas .
Et cela constutue une contradiction avec , donc ce qu'on a supposé est faux.
Il résulte que .

*Maintenant, on revient à l'exercice:
On a selon l'énoncé: .
Je traite deux cas selon les valeurs de b:
-Cas premier: b=0.
On aura , soit .
Ou encore , et ainsi , selon le second lemme.
Cela veut dire que a admet autant de diviseurs que l'on veut, donc a=0 selon le premier lemme.
On conclut que a=b=0, dans ce cas.
-Cas second: .
On a: .
On prends n=b, on trouve que , soit .
Ainsi .
Donc , ou bien .
Il s'ensuit que .
Et donc , selon le second lemme.
D'où l'existence d'un entier t qui vérifie .
La première relation de l'exercice s'écrit par conséquent: .
Ou encore .
Donc .
Pour n=1, on aura .
Pour n=2, on aura .
On itère la procédure autant de fois que l'on veut.
Or, on sait que et que .
Il en découle que, l'entier , lorsque n décrit l'ensemble des entiers naturels, a autant de diviseurs que l'on veut.
C'est à dire que selon le premier lemme.
Et puisque n est une variable, on aura forcément t=1.
Ainsi a=b, dans ce cas aussi.
-Conclusion:
Dans les deux cas, on a démontré que a=b.
CQFD.
Sauf erreur.

Ta solution me parrait juste , j'ai juste quelques ambiguités vers la fin , Comment t'as trouvé que n(1-t^n ) a le nombre de diviseurs que l'on veut ? ( je pense que pour chaque n on a un certain diviseur ... ce qui ne veut pas dire qu'il a le nombre de diviseurs que l'on veut parce que ca depend de n ).
j'aimerais bien savoir ce que tu penses . Amicalement

En effet, le nombre n(t^n-1) admet un diviseur ( à notre connaissance ) qui est b^n+n ... et non une infinité.

Probleme 46 :
Une machine à sous accepte des pièces 1, 10 et 25 kunas. Si l'on insère une pièce de
1 kuna, la machine rend une pièce de 10 kunas. Si l'on insère une pièce de 10 kunas, elle
rend une pièce de 1 kuna et une pièce de 25 kunas. Enn, si l'on insère une pièce de 25
kunas, elle donne deux pièces de 10 kunas.
Initialement, on dispose d'une pièce de 10 kunas. Après un certain nombre de parties,
on a en main exactement 100 pièces de 1 kuna, ainsi que d'autres pièces. Quelle est le plus
bas montant possible de la fortune ainsi accumulée ?
Bonne chance

Solution au problème 46:
On note K l'unité Kuna. D'après l'énoncé nous avons droits aux opérations suivantes :"
"1K => 10K", "10K=>1K+25K" et "25K=>2*10K". On nomme ces opérations par (1), (2) et (3) respectivement. La seule opération qui permet de décroisser le nombre de pièces est l'opération (3). Maintenant on va chercher les étapes où on obtient uniquement des pièces de "1K" et de "25K". On note x_n l'état des pièces à l'étape (n) contenant uniquement les pièces de valeur 1K et 25K.
Après des tentatives pour n=1,2,3 .. on se rend compte que la relation récurrente recherchée est : (x_n) : (2^n -1).(1K) +(2^{n-1}).(25K)
On le démontre par récurrence :
-Pour n=1 c'est vérifié.
- Hérédité :
On remarque tout d'abord l'implication suivante : 25K=>2*10K=>2*1K +2*25K
Ainsi x_(n+1) : ((2^n-1)*(1K) +2^{n-1}(2*1K+2*25K)=(2^{n+1}-1)*1K+2^{n}*25K.
Ce qui achève la preuve de récurrence.
On considère maintenant l'étape 6 : nous avons donc 63 pièces de 1K et 32 pièces de 25K = 63*1K +18*25K+14*25K=>63*1K+36*1K+50*25K=>99*1K+100*10K=>99*1K+
99*10K+1K+25K=>100*1K+25K+99*10K=>100*1K+2*10K+99*10K=>100*1K+101*10K
Et donc la valeur minimale est 1110K.
On remarque que cette somme ne peut être minorée par aucune opération.

Mehdi.O : Résultat juste méthode "je sais pas"

rimele a écrit:

Mr Nmo je cherche pas á t'attaque mais bon c'est correct et je le repete mille fois voici une demonstration claire:(je note sqrt(2)=a)
si a^a est rationnel c'est terminer;si non on a : (a^a)^a=exp(a*ln(a^a))=exp(a*a*ln(a))=exp(2ln(a))=exp(ln(a^2))=exp(ln(2))=2..

C'est faux. Puisque tu n'est pas convaincu, je te conseille d'utiliser ta propre calculatrice...

Mehdi.O a écrit:

En effet, le nombre n(t^n-1) admet un diviseur ( à notre connaissance ) qui est b^n+n ... et non une infinité.

A part ce que j'ai avancé, l'entier t est constant, tandis que b ne l'est pas.
On a trouvé que .
Et puisque: , il 'esnsuit que .
Et lorsqu'on fera tendre b et n vers , on aura forcément: .
Cela implique que , ou bien .
Et par conséquent, on a aussi .
J'attends comme d'habitude vos remarques.

rimele a écrit:

problème 45;
Soit P(x)=ax^3+bx ,on dit que le couple (a,b) est n-gentil si :
pour tout k et m de IN : n divise P(m)-p(k) ==> n divise m-k
on dit que le couple (a,b) est trés gentil si il est n-gentil pour une infinité de valeurs de n.
1) trouver un couple (a,b) qui est 51-gentil mais pas tres gentil!
2)prouver que tout les 2010-gentil sont trés gentil..

Prière de ne rien proposer tandis que cet exercice n'a pas de solution.

nmo a écrit:

rimele a écrit:

Mr Nmo je cherche pas á t'attaque mais bon c'est correct et je le repete mille fois voici une demonstration claire:(je note sqrt(2)=a)
si a^a est rationnel c'est terminer;si non on a : (a^a)^a=exp(a*ln(a^a))=exp(a*a*ln(a))=exp(2ln(a))=exp(ln(a^2))=exp(ln(2))=2..

C'est faux. Puisque tu n'est pas convaincu, je te conseille d'utiliser ta propre calculatrice...

Mehdi.O a écrit:

En effet, le nombre n(t^n-1) admet un diviseur ( à notre connaissance ) qui est b^n+n ... et non une infinité.

A part ce que j'ai avancé, l'entier t est constant, tandis que b ne l'est pas.
On a trouvé que .
Et puisque: , il 'esnsuit que .
Et lorsqu'on fera tendre b et n vers , on aura forcément: .
Cela implique que , ou bien .
Et par conséquent, on a aussi .
J'attends comme d'habitude vos remarques.

rimele a écrit:

problème 45;
Soit P(x)=ax^3+bx ,on dit que le couple (a,b) est n-gentil si :
pour tout k et m de IN : n divise P(m)-p(k) ==> n divise m-k
on dit que le couple (a,b) est trés gentil si il est n-gentil pour une infinité de valeurs de n.
1) trouver un couple (a,b) qui est 51-gentil mais pas tres gentil!
2)prouver que tout les 2010-gentil sont trés gentil..

Prière de ne rien proposer tandis que cet exercice n'a pas de solution.

Oui ,bien j'avais juste mal compris au début.

Afin de vous convaincre Mr Nmo je vais vous donner ce lien ^^:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%28%5Csqrt2%5E%7B%5Csqrt2%7D%29%5E%7B%5Csqrt2%7D

nmo a écrit:

rimele a écrit:

Mr Nmo je cherche pas á t'attaque mais bon c'est correct et je le repete mille fois voici une demonstration claire:(je note sqrt(2)=a)
si a^a est rationnel c'est terminer;si non on a : (a^a)^a=exp(a*ln(a^a))=exp(a*a*ln(a))=exp(2ln(a))=exp(ln(a^2))=exp(ln(2))=2..

C'est faux. Puisque tu n'est pas convaincu, je te conseille d'utiliser ta propre calculatrice...

Mehdi.O a écrit:

En effet, le nombre n(t^n-1) admet un diviseur ( à notre connaissance ) qui est b^n+n ... et non une infinité.

A part ce que j'ai avancé, l'entier t est constant, tandis que b ne l'est pas.
On a trouvé que .
Et puisque: , il 'esnsuit que .
Et lorsqu'on fera tendre b et n vers , on aura forcément: .
Cela implique que , ou bien .
Et par conséquent, on a aussi .
J'attends comme d'habitude vos remarques.

rimele a écrit:

problème 45;
Soit P(x)=ax^3+bx ,on dit que le couple (a,b) est n-gentil si :
pour tout k et m de IN : n divise P(m)-p(k) ==> n divise m-k
on dit que le couple (a,b) est trés gentil si il est n-gentil pour une infinité de valeurs de n.
1) trouver un couple (a,b) qui est 51-gentil mais pas tres gentil!
2)prouver que tout les 2010-gentil sont trés gentil..

Prière de ne rien proposer tandis que cet exercice n'a pas de solution.

momo1729 vous a donné la réponse en 6 lignes http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=56&t=444693

EDIT : Un peu d'organisation

Misterayyoub a écrit:

Ce que j'ai fait moi une fois arrivé à b^n + n l n ( 1-t^n ) , c'est déduire que n(1-t^n ) >= b^n + n >= 0 d'ou t^n<= 1 donc t= 1 .

Comment ça ?
n(1-t^n) peut-être négative .. et donc tu ne peux pas passer à l'implication que t'as cité, ce serait faux.

Sporovitch a écrit:

Je vous propose un exo enfin si vous voulez:
Montrer qu'il existe 2 nombres irrationels a et b tq a^b soit rationel.

Il ne faut pas à mon humble avis de se limiter à donner un petit exemple et finir. Ce problème, pour qu'il soit au niveau du travail, il doit être résolu analytiquement, qu'en pensez vous ?

Sporovitch a écrit:

Je vous propose un exo enfin si vous voulez:
Montrer qu'il existe 2 nombres irrationels a et b tq a^b soit rationel.

Prenons a= V(2)
Prenons b= V(2)
si a^b est rationnel c'est fini.
Sinon a^b est irrationnel
Et donc on pose A=a^b
Posons B=V(2)
Alors A^B=2 qui est rationnel.