Préparations aux olympiades de Terminale (2012)

nmo a toujours des jolis problèmes à nous proposer , j'ai pas encore fait le côté gauche de l'inégalité, mais voici ma réponse au côté droit:

J'ai procédé presque avec la même méthode que j'ai fait ici: https://mathsmaroc.jeun.fr/t18326-jolie-ingealite-geometrique.

Premièrement, on note D, E et F les points du contact du cercle inscrit au triangle ABC avec les cotès [BC], [AC] et [AB] respectivement.



On a: <IEA=<IFA=90 => <IEA+<IFA=180 => Le quadrilatère FAEI est inscriptible,
Donc d'après la théorème de Ptolémée on a: IA.EF=IE.AF+AE.IF=r.AF+r.AE

Et il est connu que AF=AE (transformation de Ravi), donc:

IA.EF=2r.AE =>

On a donc: .

Et on a d'après l'IAG: .

Donc pour montrer l'inégalité proposée, il suffit montrer que:
.

On a d'après la formule de Héron: .

.

Et on a IE=IF=ID=r, donc r est le rayon du cercle circonscrit au triangle DEF, d'où:
.

En remplaçant dans (*), il vient que: .

.

Et vu que le quadrilatère IEAF est inscriptible, on a: <EIF=180-<A => sin(<EIF)=sin(<A).

De même on a: sin(<EID)=sin(<B) et sin(<FID)=sin(<C), et on a: IE=IF=ID=r.

Donc il suffit montrer que: .

(d'après l'inégalité d'Euler).

Et on peut vérifier facilement que l'égalité aura lieu si le triangle ABC est équilatéral.

Veuillez me signaler si vous voyez une faute,

Et si j'arriverai à faire le côté gauche, je vais poster ma réponse, et vous proposer un nouveau problème.

jvoi ke c vrai mai en fait il vaut mieux utiliser la theorie de euler de geo de la relation en tre r et R ce ki est :
oi²=2R²-2Rr etant donnée ke R>=2r

tahasinbad a écrit:

jvoi ke c vrai mai en fait il vaut mieux utiliser la theorie de euler de geo de la relation en tre r et R ce ki est :
oi²=2R²-2Rr etant donnée ke R>=2r

C'est une inégalité triviale, à connaître par coeur, pas besoin de la démontrer.

Je continue donc mon travail, au premier temps, j'ai fait la substitution que j'ai déjà fait dans mon post précédant, mais j'ai pas arrivé au inégalité qu'on veut démontrer, puis j'ai pensé au sinus et les triangle rectangles, j'espère que c'est correct:

On souhaite montrer que: .

Dans le triangle AIF on a: .

De manière analogue on démontre que: .

Donc l'inégalité à démontrer est équivalente à:



Et on a d'après l'inégalité de CS: .

Donc, pour montrer l'inégalité proposée, il suffit montrer que:

Et on a:

. (1)

Et on a: . (2)

(2)-(1) => .

. Et cycliquement, on montre les autres résultats.

Donc il suffit montrer que:
. (*)

Et on a d'après la formule de Héron: .

Donc: . (**)

Et on a: .
.

Donc: .
. Ce qui est juste, (l'inégalité de Gerretsen, http://www.fichier-pdf.fr/2010/12/03/geo-triangle/geo-triangle.pdf)

CQFD.


Problème 40: (***)

Résoudre dans Z²: .

ali-mes a écrit:

Problème 40: (***)
Résoudre dans Z²: .

Je trouve que c'est facile comme exercice:
Soit (x,y) un couple solution à l'équation proposée, dont l'ensemble des solutions est S.
On a .
D'autre part, on a .
De ce qui précède, il résulte que S est l'ensemble vide.
Sauf erreur.

nmo a écrit:

ali-mes a écrit:

Problème 40: (***)
Résoudre dans Z²: .

Je trouve que c'est facile comme exercice:
Soit (x,y) un couple solution à l'équation proposée, dont l'ensemble des solutions est S.
On a .
D'autre part, on a .
De ce qui précède, il résulte que S est l'ensemble vide.
Sauf erreur.

n'oublies pas qu'on cherche x et y de z !?

C'est tout aussi trivial , si x < 0 et y >0 on a un entier naturel égal à un relatif , si x>0 et y<0 alors de même si x et y < 0 on a 1/7^(-x) +1/3^(-y) < 1<2 , donc pas de solutions dans Z² .
Je vous propose celui là histoire de monté la barre un peu :
Prob (41) :
Prouvez que pour tout p premier p parmis (2p) = 2 [p^(3)]

c'est fort facile de démontrer ceci quand il s'agit de 2 modulo p mais pour 2 modulo p^3 je crois qu'il s'agit du théorème de Wolstenholme(dont je ne connais pas la démo ) pour tout p>5 car pour p=2 p=3 et p=5 ça ne marche pas (j'attendrais avec impatience une bonne démonstration )

Effectivement pour p>5 ( remarque je ne savais pas que c'est un théorème mais vu le temps que ça nous a prit avec 2 amis pour trouver je m'en doutais bien ) .
Bon je met quelques indices en spoil au cas ou quelqu'un aurait le courage d'essayé :

Spoiler:

Je pense que j'y suis allez un peu fort en donnant un exo pas trivial du tout , donc libre à vous de le sauter et de proposer autre chose .

darkpseudo a écrit:

C'est tout aussi trivial , si x < 0 et y >0 on a un entier naturel égal à un relatif , si x>0 et y<0 alors de même si x et y < 0 on a 1/7^(-x) +1/3^(-y) < 1<2 , donc pas de solutions dans Z² .
Je vous propose celui là histoire de monté la barre un peu :
Prob (41) :
Prouvez que pour tout p premier p parmis (2p) = 2 [p^(3)]

Je ne comprends pas bien le problème que tu proposes.
Merci de détailler, surtout la proposition "p parmi (2p)".

En attendant, je propose un exercice de ma création -dont j'ignore jusqu'à présent la solution-:
Problème 42:
Soit n un entier naturel.
Démontrez que si p est un nombre premier supérieur à 7 et différent de , alors .
Bonne chance.

On passe à un nouvel exercice sans perte de temps:
Problème 43:
Soit et deux fonctions continues sur tels que: .
Démontrez que .
Bonne chance.

Salut tout le monde , j'espere que vous allez bien , je pense que ce probleme est trivial mais malgres cela , il nécéssite une petite démonstration .
Le lien de l'interface Latex ne veut pas marcher donc je me contente de cela :
Solution au probleme 43
Il faut tout d'abord remarquer qu' on a Quelque soit "a" appartenant a l'ensemble IR\IQ , Il existe une suite de nombre X_n appartenant a Q tel que leur limite converge vers le nombre a ( par exemple la suite de cauchy X_n+1 = X_n/2 + 1/X_n )
Donc , puisque X_n appartient a IQ , on a f(X_n)=g(X_n)
puisque f et g sont deux fonctions continues sur IR donc :
Lim f(X_n)=Lim f(X_n)
donc f(a)=g(a)
CQFD , sauf erreur !

afin de poursuivre je propose un autre probleme,cette fois ci je pense pas qu'il est trivial...
Soit P(x)=ax^3+bx ,on dit que le couple (a,b) est n-gentil si :
pour tout k et m de IN : n divise P(m)-p(k) ==> n divise m-k
on dit que le couple (a,b) est trés gentil si il est n-gentil pour une infinité de valeurs de n.
1) trouver un couple (a,b) qui est 51-gentil mais pas tres gentil!
2)prouver que tout les 2010-gentil sont trés gentil..

Pour le problème 42 il me semble qu'il suffit de mentionner la densité de Q dans R.

Bon , je vous propose ce probleme pour refaire vivre ce topic ,
Probleme 44 :
Soit :


a et b appartiennent a IN

Merci de poster les énoncés en utilisant un formulaire Latex, de préférence Codecogs, plutôt que d'héberger sur des sites de stockage d'images.

Peux tu clarifier ton post momo , j'ai pas compris ce que tu veux dire !

Tu as posté ton énoncé sur un site de stockage en ligne de photos. Ces sites ne sont pas primairement dédiés à écrire des équations mathématiques ou les stocker et vont bien souvent supprimer les fichiers après quelques mois. C'est ce qui fait que de nombreux topics sur ce forum se retrouvent sans énoncés.
Comme alternative, je te conseille d'utiliser ce site pour écrire tes équations. Lorsque tu obtiens l'expression souhaitée, tu copies son adresse et tu la mets comme image ici. Ca permettra aux posts de survivre plus longtemps.

en tout cas j'écrivais toujours sur le lien que tu viens de passer c'est juste que j'enregistrais l'image et je la postais par l'hebergement offert sur le forum , mais si ta méthode est meilleur , je vais la prendre en considération !

Ca va tourner à un topic d'informatique mais je vois que tu as encore fait un lien vers mathsmaroc dans ton image et ça ne s'affiche pas correctement.
Une fois que tu écris ton équation sur Codecogs tu obtiens un aperçu en bas au centre. Fais un clique droit dessus et copie son adresse. Ensuite sur mathsmaroc tu cliques sur le bouton pour ajouter une image et tu colles l'image.
Ca donne quelque chose comme ça : .
Pour obtenir ça auparavant tu devras avoir mis : [IMAGE]http://latex.codecogs.com/gif.latex?Mathsmaroc[/IMAGE] .J'ai mis IMAGE au lieu de img pour que tu voies un peu comment c'est.

ah je comprend mieux , merci infiniment ! à vos stylos maintenant :p !

Je t'en prie. Place aux problèmes. Mets-le comme je t'ai dit stp car j'arrive pas à le voir depuis ton site.

Done !

Misterayyoub a écrit:

Salut tout le monde , j'espere que vous allez bien , je pense que ce probleme est trivial mais malgres cela , il nécéssite une petite démonstration .
Le lien de l'interface Latex ne veut pas marcher donc je me contente de cela :
Solution au probleme 43
Il faut tout d'abord remarquer qu' on a Quelque soit "a" appartenant a l'ensemble IR\IQ , Il existe une suite de nombre X_n appartenant a Q tel que leur limite converge vers le nombre a ( par exemple la suite de cauchy X_n+1 = X_n/2 + 1/X_n )
Donc , puisque X_n appartient a IQ , on a f(X_n)=g(X_n)
puisque f et g sont deux fonctions continues sur IR donc :
Lim f(X_n)=Lim f(X_n)
donc f(a)=g(a)
CQFD , sauf erreur !

J'ai proposé l'exercice, et j'ai oublié de mentionner qu'il faut le traiter à l'aide de la définition épsilonienne de la continuité.
C'est bien ...

rimele a écrit:

afin de poursuivre je propose un autre probleme,cette fois ci je pense pas qu'il est trivial...
Soit P(x)=ax^3+bx ,on dit que le couple (a,b) est n-gentil si :
pour tout k et m de IN : n divise P(m)-p(k) ==> n divise m-k
on dit que le couple (a,b) est trés gentil si il est n-gentil pour une infinité de valeurs de n.
1) trouver un couple (a,b) qui est 51-gentil mais pas tres gentil!
2)prouver que tout les 2010-gentil sont trés gentil..

Il s'agit du problème 45.
Merci de le renuméroter afin d'être traité.