Préparations aux olympiades de Terminale (2012)

SOLUTION DU PROBLEME 33
Notons R le rayon du cercle circonscrit du triangle ABC évidemment R=1
D'abord , on a par la formule d'Euler 2r=<R=1 ---> r=<1/2 ---> 1/3(1+r)²=<3/4--->
1-1/3(1+r)²>=1/4
donc pour prouver l’inégalité souhaité il suffit de montrer que p=<1/4 .
Notons R_1 le rayon du cercle circonscrit du triangle A'B'C', encore en utilisant le formule d'Euler p=<1/2R_1 .
d'une autre part, par le théorème des neufs point on a R_1=1/2R ---> p=<1/4R---> p=<1/4
CQFD

boubou math a écrit:

SOLUTION DU PROBLEME 33
Notons R le rayon du cercle circonscrit du triangle ABC évidemment R=1
D'abord , on a par la formule d'Euler 2r=<R=1 ---> r=<1/2 ---> 1/3(1+r)²=<3/4--->
1-1/3(1+r)²>=1/4
donc pour prouver l’inégalité souhaité il suffit de montrer que p=<1/4 .
Notons R_1 le rayon du cercle circonscrit du triangle A'B'C', encore en utilisant le formule d'Euler p=<1/2R_1 .
d'une autre part, par le théorème des neufs point on a R_1=1/2R ---> p=<1/4R---> p=<1/4
CQFD

C'est Faux !

boubou math a écrit:

Mehdi.O a écrit:

boubou math a écrit:

SOLUTION DU PROBLEME 33
Notons R le rayon du cercle circonscrit du triangle ABC évidemment R=1
D'abord , on a par la formule d'Euler 2r=<R=1 ---> r=<1/2 ---> 1/3(1+r)²=<3/4--->
1-1/3(1+r)²>=1/4
donc pour prouver l’inégalité souhaité il suffit de montrer que p=<1/4 .
Notons R_1 le rayon du cercle circonscrit du triangle A'B'C', encore en utilisant le formule d'Euler p=<1/2R_1 .
d'une autre part, par le théorème des neufs point on a R_1=1/2R ---> p=<1/4R---> p=<1/4
CQFD

C'est Faux !

Oui je m'excuse je me suis un peu précipité, je ne conaissais pas ce théorème avant .
A toi de proposer un nouveau probleme.

solution du prob 33
soit R' le rayon du cercle circonscrit au triangle A'B'C'
donc R'=1/2
on note x=<BAC ; y=<ABC et z=<ACB
donc <B'A'C'=180-2x ; <A'B'C'=180-2y et <A'C'B'=180-2z
tout d'abord on a r/R=cosx + cosy + cosz - 1 <=> r+1=cosx + cosy + cosz
et de meme p/R'= -cos2x -cos2y -cos2z -1=2-2(cos²x+cos²y+cos²z)
par suite 1-p=cos²x+cos²y+cos²z
l'inegalité à demontré est equivalente à 3(cos²x+cos²y+cos²z)>=(cosx + cosy + cosz)² ce qui est vraiment clair

Je n'ai pas d'exercice a poster donc je laisse la main à quelqu'un d'autre

Problème 34:
Résoudre dans IR le système suivant :

peu etre c tré expert celui la comme exoo , jcroi avoir un exo normale :
soit a,b,c des longueurs d'un triangle .
Prouvez que
(a/b+c)+(b/a+c)+(c/a+b) <2 j'attends des interventions!

tahasinbad a écrit:

peu etre c tré expert celui la comme exoo , jcroi avoir un exo normale :
soit a,b,c des longueurs d'un triangle .
Prouvez que
(a/b+c)+(b/a+c)+(c/a+b) <2 j'attends des interventions!

C'est un exercice connu ...suffit de diviser le tout par 2 et utilise l'inegalite geometrique a+b>c pr avoir
a/2(b+c) +b/2(a+c) +c/2(a+b)<a/a+b+c +b/a+b+c +c/a+b+c=1
sauf erreur.

si vous voulez, voici un problème 36:
a,b,c des réels positifs,
Montrer que:

tahasinbad a écrit:

peu etre c tré expert celui la comme exoo , jcroi avoir un exo normale :
soit a,b,c des longueurs d'un triangle .
Prouvez que
(a/b+c)+(b/a+c)+(c/a+b) <2 j'attends des interventions!

On pourrait dire qu'il est un peu moche , c'est tous .

expert_run a écrit:

Problème 34:
Résoudre dans IR le système suivant :

Est ce que tu veux dire ou ?
La question se pose automatiquement car on a deux lignes dans le système.
De plus, il faut qu'on ait deux inconnues pour pouvoir résoudre ce problème.
Cela n'est pas le cas, car on dispose de deux équations et de trois inconnus: je pense qu'on ne peut pas trouver les solutions.
Merci de proposer une solution et de répondre à mes questions.

nmo a écrit:

expert_run a écrit:

Problème 34:
Résoudre dans IR le système suivant :

Est ce que tu veux dire ou ?
La question se pose automatiquement car on a deux lignes dans le système.
De plus, il faut qu'on ait deux inconnues pour pouvoir résoudre ce problème.
Cela n'est pas le cas, car on dispose de deux équations et de trois inconnus: je pense qu'on ne peut pas trouver les solutions.
Merci de proposer une solution et de répondre à mes questions.

pas forcement !! Il y a plusieurs systèmes avec le nombre d'inconnu est supérieur au nombre d'équation.

Solution pour 36:
L’inégalité est équivalente à :

On a:

Donc :

On suppose que a >=b>=c
Donc

Alors:

Il y a une erreur dans le problème 34 je suis désolé .

Probleme 37 :
a,b,c>0 tel que : a²+b²+c²=1 . Montrer que : a+b+c+1/(abc) >= 4sqrt(3) .

notons que:
on sait que
alors
et comme
alors
et comme
le résultat en découle.

Dans la troisième ligne l'équivalence est fausse il faut juste dire qu'il suffit de prouver que
p+ (9/(pq))>= 4sqrt(3)

probleme 38 (OWn facile) :
x,y,z>0 tel que : xyz>=x+y+z
Montrer que :

...

expert_run a écrit:

Dans la troisième ligne l'équivalence est fausse il faut juste dire qu'il suffit de prouver que
p+ (9/(pq))>= 4sqrt(3)

dsl vous avez raison

a propose de P38 :
je poste ma solution demain inchalah si quelqu'un n'a trouver !! (pour ne pas stopper le marathon !!!)
essayer C'est très facile .

Solution du problème 38:
On a selon Cauchy:

Donc il faut démontrer que:
Ce qui est équivalent à:

On sait que:
et que, selon Cauchy:
Donc, il reste à prouver que: ce qui est équivalent à :
On a selon AM-GM: x^4+y^4+z^4 >= 3 (xyz)^(4/3)
Et selon la condition: xyz>=x+y+z>=3(xyz)^(1/3)
ce qui donne: xyz>=V27 , d'où la conclusion.
Sauf erreur!

kaj mima a écrit:

Solution du problème 38:
On a selon Cauchy:

Donc il faut démontrer que:
Ce qui est équivalent à:

On sait que:
et que, selon Cauchy:
Donc, il reste à prouver que: ce qui est équivalent à :
On a selon AM-GM: x^4+y^4+z^4 >= 3 (xyz)^(4/3)
Et selon la condition: xyz>=x+y+z>=3(xyz)^(1/3)
ce qui donne: xyz>=V27 , d'où la conclusion.
Sauf erreur!

Je vois que c'est vraii ,Merciii de proposer un probleme .

Je propose un nouveau problème:
Problème 39:
Soit ABC un triangle, et I le centre de son cercle inscrit.
Soit R et r les rayons respectifs des cercles circonscrit et inscrit au triangle ABC.
Démontrez l'inégalité suivante:
.
Bonne chance.