Préparations aux olympiades de Terminale (2012)

SOLUTION PROBLEME 25 :
Soit (D) une tengente commune aux deux cercle (C1) et (C2) ,(D) touche (C1) en D et (C2) en E , (O1O2) coupe (D) en K, et B un point de C1 diamétralement opposé à A.
On considère l'homothétie de centre K telle que H(O1)=O2
L'image d'un cercle dont le centre est O1 est un cercle dont le centre est O2 , de plus (DO1)//(DO2) et H(O1)=O2 ---> H((DO1))=(DO2).
Donc le cercle C1 a pour image le cercle dont le centre est O2 et de rayon O2E qui coïncide avec C2.
On conclue que H(B)=A,de plus [AB] est un diamètre dans C1 et M un point de C1 implique le triangle ABM rectangle en M ---> (MA)_|_(MB) et on a (MA)_|_(AN) ----> les droite (AN) et (BM) sont tjr parallèle.
On a H(B)=A et es droite (AN) et (BM) sont parallèle H((BM))=(AN)
Or, M est le point d'intersection de C1 et (BM) , donc H(M) est le point d'intersection de C2 et (AN) qui est le point N.
Donc H(M) = N, les poinst M, M' et K sont donc alignés.
implique (MN) passe par un point fixe qui est K .

Spoiler:

h

Bonjour boubou-math :
Désolé je viens de me connecter et je n'ai pas pu proposer un nouveau problème. Ta solution du problème 25 est bien correcte, alors si vous le permettez j'aimerais bien proposer ma solution à ce problème :
Solution au problème 25:
On considère l'homothétie h_1 de centre A qui renvoie O_2 à O_1, celle-ci renvoie le point M à un point M_1 et le point N à un point N81, il est bien clair que M_1 appartient à (C_2) et N_1 appartient à (C_1). Les droites (M_1N) et (N_1M) sont parallèles et ainsi si on note X le point d'intersection de (MN) et (M_1N_1) on obtient par Thalès : XN/XM=Xm_1/XN_1=XO_2/XO_1. Ainsi le point X est fixe et vérifie la relation XO_1/XO_2=XN/XM. C'est donc le centre de l'homothétie qui renvpie (C_2) à (C_1)

Exacte.
Je n'ai pas d'exo intéressant à poster pour le moment .Vous pouvez poster un si vous voulez.

Problème 26:
Prouver que est un nombre composé.

Mehdi.O a écrit:

Bonjour boubou-math :
Désolé je viens de me connecter et je n'ai pas pu proposer un nouveau problème. Ta solution du problème 25 est bien correcte, alors si vous le permettez j'aimerais bien proposer ma solution à ce problème :
Solution au problème 25:
On considère l'homothétie h_1 de centre A qui renvoie O_2 à O_1, celle-ci renvoie le point M à un point M_1 et le point N à un point N81, il est bien clair que M_1 appartient à (C_2) et N_1 appartient à (C_1). Les droites (M_1N) et (N_1M) sont parallèles et ainsi si on note X le point d'intersection de (MN) et (M_1N_1) on obtient par Thalès : XN/XM=Xm_1/XN_1=XO_2/XO_1. Ainsi le point X est fixe et vérifie la relation XO_1/XO_2=XN/XM. C'est donc le centre de l'homothétie qui renvpie (C_2) à (C_1)

Quelle homothétie ? h_1 ??

ali-mes a écrit:

Mehdi.O a écrit:

Bonjour boubou-math :
Désolé je viens de me connecter et je n'ai pas pu proposer un nouveau problème. Ta solution du problème 25 est bien correcte, alors si vous le permettez j'aimerais bien proposer ma solution à ce problème :
Solution au problème 25:
On considère l'homothétie h_1 de centre A qui renvoie O_2 à O_1, celle-ci renvoie le point M à un point M_1 et le point N à un point N81, il est bien clair que M_1 appartient à (C_2) et N_1 appartient à (C_1). Les droites (M_1N) et (N_1M) sont parallèles et ainsi si on note X le point d'intersection de (MN) et (M_1N_1) on obtient par Thalès : XN/XM=Xm_1/XN_1=XO_2/XO_1. Ainsi le point X est fixe et vérifie la relation XO_1/XO_2=XN/XM. C'est donc le centre de l'homothétie qui renvpie (C_2) à (C_1)

Quelle homothétie ? h_1 ??

C'est l'homthétie de centre X qui renvoie O_2 àO_1 son rapport est k=XO_2/XO_1=O_2M_1/O_1N_1=r_2/r_1 par Thalès.

SOLUTION Problème 26 :
Il suffit de remarquer que

de plus

CQFD

Mehdi.O a écrit:

ali-mes a écrit:

Mehdi.O a écrit:

Bonjour boubou-math :
Désolé je viens de me connecter et je n'ai pas pu proposer un nouveau problème. Ta solution du problème 25 est bien correcte, alors si vous le permettez j'aimerais bien proposer ma solution à ce problème :
Solution au problème 25:
On considère l'homothétie h_1 de centre A qui renvoie O_2 à O_1, celle-ci renvoie le point M à un point M_1 et le point N à un point N81, il est bien clair que M_1 appartient à (C_2) et N_1 appartient à (C_1). Les droites (M_1N) et (N_1M) sont parallèles et ainsi si on note X le point d'intersection de (MN) et (M_1N_1) on obtient par Thalès : XN/XM=Xm_1/XN_1=XO_2/XO_1. Ainsi le point X est fixe et vérifie la relation XO_1/XO_2=XN/XM. C'est donc le centre de l'homothétie qui renvpie (C_2) à (C_1)

Quelle homothétie ? h_1 ??

C'est l'homthétie de centre X qui renvoie O_2 àO_1 son rapport est k=XO_2/XO_1=O_2M_1/O_1N_1=r_2/r_1 par Thalès.

Maintenant; je suis d'accord avec toi !

Je propose encore:
Problème 27:
Soit .
Montrez que pour tout sous ensemble F de E dont le cardinal est supérieur ou égal à 17, il existe toujours deux éléments de F tels que leur produit soit un carré parfait.
Bonne chance.

je suis nouvelle dans ce forum ^^ je m'appelle Nisrine ^^ j'ai jeté un coup d'oeil sur votre jeu et ca m'a plu .
j'ai trouvé une réponse à ce problème la voici :

on met :

E=AUB1UB2UB3UB4UB5

et
A={7,10,11,13,14,15,17,19,21,22,23}
B1={1,4,9,16,25}
B2={2,8,18}
B3={3,12}
B4={5,20}
B5={6,24}

par absurde on suppose que le produit de 2 éléments qqconque de F ne sont pas des carrée
si F contient 2 élément d'un ensemble Bi alors c'est impossible psk le produit de chaq 2 élement d'un ensemble Bi est un carré . donc le nombre d'élément de F qui appartient à B1UB2UB3UB4UB5 est inférieur ou égal à5 et on a CardA=11 donc CardF <= 5+11=16
ce qui n'est pas possible ^^


problème 28 :
soit a b c d des réels et a²+b²+c²+d²<=1
trouver le maximum de
(a+b)^4+(a+c)^4+(a+d)^4+(b+c)^4+(b+d)^4+(c+d)^4



vous pouvez me dire comment écrire avec cette écriture que vous faites svp ?

Solution pour 28:

D'où la conclusion

Problème 29:
Soit a_0,a_1,..,a_1998 les coefficients du polynome P(x)=(1+x+x²)^999.
Montrer que a_0+a_2+...+a_1998 est pair.

Mehdi.O a écrit:

Problème 29:
Soit a_0,a_1,..,a_1998 les coefficients du polynome P(x)=(1+x+x²)^999.
Montrer que a_0+a_2+...+a_1998 est pair.

Solution :
S = a_0 +a_2+...+a_1998 = (P(-1) + P(1))/2 = (1 + 3^999)/2
alors il suffit de montrer que : 3^999 = 3 (mod 4) ce qui est vrai car : 3 = -1(mod 4) ==> 3^999 = -1^999 = -1 = 3 (mod 4) .

problème 30 :
résoudre L système suivante dans R^3 :
xy = z-x-y et yz = x-y-z et zx = y - x - z .

Bonjour.
P(1)=a0+a1....+a1998 impair
P'(x)=999(1+2x)(1+x+x²)^(998)=a1+a2x+....
P'(0)=a1=999
Le résutat s'enn suit . Le binôme de Newton aurait tout aussi bien fait l'affaire .

Solution au problème 30:
Le système est équivalent à :
(x+1)(y+1)=z+1 et (x+1)(z+1)=y+1 et (y+1)(z+1)=x+1
En multipliant membre par membre ona soit : (x+1)(y+1)(z+1)=0 ou (x+1)(y+1)(z+1)=1.
- Si (x+1)(y+1)(z+1)=0 on a : 0=(x+1)(y+1)(z+1)=(x+1)² et ainsi x=y=z=-1.
-Si (x+1)(y+1)(z+1)=1 alors on a (x+1)²=(y+1)²=(z+1)²=1.
Une étude de cas nous permet finalement de conclure que les solutions sont les triplets (0,0,0) et (0,-2,-2) et toutes les permutations symétriques.
Synthèse: les triplets solutions sont (-1,-1,-1) et (0,0,0) et (0,-2,-2) et toutes les permutations symétriques.
P.S: Libre à chacun de proposer un problème.

darkpseudo a écrit:

Bonjour.
P(1)=a0+a1....+a1998 impair
P'(x)=999(1+2x)(1+x+x²)^(998)=a1+a2x+....
P'(0)=a1=999
Le résutat s'enn suit . Le binôme de Newton aurait tout aussi bien fait l'affaire .
Problème 30 :
Prouvez que 2^n/E((1+V3)^(2n+1)) pour tout entier naturel n . ( E désigne la partie entière ) .

Bonjour,
Je crois que tu as mal compris l'énoncé il ne s'agit pas de la somme de toues les coefficients excepté a_1 mais la somme les coefficient dont les indices sont pairs, soit ceux des puissances pairs.

Ton problème a créé une petite confusion :
Si vous permettez .
Problème 31 :
Prouvez que 2^n/E((1+V3)^(2n+1)) pour tout entier naturel n . ( E désigne la partie entière ) .

Je pense qu'il est temps pour que Darkpseudo poste la solution .

XD personne pour cet éxo , j'aurai aimé que quelqu'un ce présente pour répondre ( car il y en a surement qui savent la réponse mais bon ) :
on pose (1+V3)^(n)=an+V3bn , en utilisant le binôme de Newton on remarque que
(1-V3)^(n)=an-V3bn ( Au fait c'est sa conjugué dans un certain corps mais passons ) ; on a alors : (1+V3)^(n) + (1-V3)^(n) = 2an , remarquons alors que -1<(1-V3)^(2n+1)<0 d'où
0<(1+V3)^(2n+1) -2a(2n+1)<1 et donc E((1+V3)^(2n+1))=2a(2n+1)
Maintenant on a 2a(2n+1)=(1+V3)^(2n+1)+(1-V3)^(2n+1)=(1+V3)(4+2V3)^(n)+(1-V3)(4-2V3)^(n) = 2^(n)((1+V3)(2+V3)^n+(1-V3)(2-V3)^n) et si on pose (1+V3)(2+V3)^n= cn+V3dn alors on a (1-V3)(2-V3)^n=cn-V3dn , donc E((1+V3)^(2n+1))=2^(n+1)cn d'ou le résultat .
Problème 32 ( plus facile ) :
On pose (1+V2)^(n) =an+V2bn Prouvez que an^bn=1 .
Bonne nuit à tous

darkpseudo a écrit:

XD personne pour cet éxo , j'aurai aimé que quelqu'un ce présente pour répondre ( car il y en a surement qui savent la réponse mais bon ) :
on pose (1+V3)^(n)=an+V3bn , en utilisant le binôme de Newton on remarque que
(1-V3)^(n)=an-V3bn ( Au fait c'est sa conjugué dans un certain corps mais passons ) ; on a alors : (1+V3)^(n) + (1-V3)^(n) = 2an , remarquons alors que -1<(1-V3)^(2n+1)<0 d'où
0<(1+V3)^(2n+1) -2a(2n+1)<1 et donc E((1+V3)^(2n+1))=2a(2n+1)
Maintenant on a 2a(2n+1)=(1+V3)^(2n+1)+(1-V3)^(2n+1)=(1+V3)(4+2V3)^(n)+(1-V3)(4-2V3)^(n) = 2^(n)((1+V3)(2+V3)^n+(1-V3)(2-V3)^n) et si on pose (1+V3)(2+V3)^n= cn+V3dn alors on a (1-V3)(2-V3)^n=cn-V3dn , donc E((1+V3)^(2n+1))=2^(n+1)cn d'ou le résultat .
Bonne nuit à tous

personnellement,je connais quasiment rien sur le cour des parties entières .

darkpseudo a écrit:

XD personne pour cet éxo , j'aurai aimé que quelqu'un ce présente pour répondre ( car il y en a surement qui savent la réponse mais bon ) :
on pose (1+V3)^(n)=an+V3bn , en utilisant le binôme de Newton on remarque que
(1-V3)^(n)=an-V3bn ( Au fait c'est sa conjugué dans un certain corps mais passons ) ; on a alors : (1+V3)^(n) + (1-V3)^(n) = 2an , remarquons alors que -1<(1-V3)^(2n+1)<0 d'où
0<(1+V3)^(2n+1) -2a(2n+1)<1 et donc E((1+V3)^(2n+1))=2a(2n+1)
Maintenant on a 2a(2n+1)=(1+V3)^(2n+1)+(1-V3)^(2n+1)=(1+V3)(4+2V3)^(n)+(1-V3)(4-2V3)^(n) = 2^(n)((1+V3)(2+V3)^n+(1-V3)(2-V3)^n) et si on pose (1+V3)(2+V3)^n= cn+V3dn alors on a (1-V3)(2-V3)^n=cn-V3dn , donc E((1+V3)^(2n+1))=2^(n+1)cn d'ou le résultat .
Problème 32 ( plus facile ) :
On pose (1+V2)^(n) =an+V2bn Prouvez que an^bn=1 .
Bonne nuit à tous

Bonjour, an^bn c'est le pgcd de a_n et b_n ?!
Pour le problème précédant j'ai trouvé E((1+V3)^{2n+1})=2a_{2n+1}, et j'ai trouvé a_n sous la forme d'un sigma notamment a_n =\sum {k=0}{n} 3^{k}.C^{2k}_{2n+1}, j'ai essayé de trouver a_n en fonction de n mais je n'ai pas pu malheureusement.

Effectivement a_n^b_n c'est le PGCD , le plus important c'est d'avoir essayé la prochaine fois t'aura pas de problème avec ce genre d'exo .

Solution au problème 32:
Nous avons (1+V2)^n=a_n+V2b_n. En utilisant le binôme de newton on a facilement (1-V2)^n=a_n-V2b_n ( comme darkpseudo l'a mentionné c'est sa conjugué ..).
Et nous avons (1+V2)^n(1-V2)^n=(-1)^n
Ainsi a_n²-2b_n²=(-1)^n Ainsi d'après Bezout les nombres a_n² et b_n² sont premiers entre eux, et alors immédiatement les nombres a_n et b_n sont aussi premiers entre eux, ainsi pgcd(a_n,b_n)=1.
P.S: En effet l'exercice est facile, j'ai beaucoup tourner en tâchant de trouver une relation entre facteurs binominaux mais c'est pas évident.
En tout cas je n'ai pas de problèmes à proposer, je laisse la main à quelqu'un d'autre.

Voici un couveau problème:
Problème 33:
Soit ABC un triangle dont le rayon du cercle circonscrit est 1.
On appelle r le le rayon du cercle inscrit dans ABC, et p le rayon du cercle inscrit dans A'B'C' formé par les pieds des hauteurs.
Prouvez que:
.
Bonne chance.