| | Préparation à la première SM (La logique) |  |
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+13Nayssi darkpseudo upsilon az360 expert_run boubou math salimreda sanfoura9 yasserito Ahmed Taha (bis) geom ali-mes Azerty1995 17 participants |
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Azerty1995
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| | Sujet: Préparation à la première SM (La logique) Mar 26 Juil 2011, 19:19 | |
| Salut
Ce sujet à pour but de bien se preparer pour la première année SM, les préparations auront la forme d'un marathon durant le quel les élève de TCS échangeront des exercices de tout genres et et de tout niveau, et voici quelques régles habituelles pour semer l'ordre et la compréhension entre les forumistes:
_Quand un forumiste résout un exercice il doit en proposer un autre dans le plus court délai, s'il n'en a pas qu'il l'indique clairement.
_Les exercies doivent être numérotés et proposés dans un ordre croissant de difficulté.
_Spoiler les solutions
_Les solutions doivent être completes.
_Il est préferable d'utiliser le LATEX pour que les solutions soient bien claires.
_Le posteur d'un exercice peut proposer une solution après 24 du post si personne ne trouve la réponse.
_Etre serieux et respectueux.
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Azerty1995
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| | Sujet: Re: Préparation à la première SM (La logique) Mar 26 Juil 2011, 19:33 | |
| Exercice 1Nier les propositions suivantes puis déterminer leurs valeurs de verité: ![Préparation à la première SM (La logique) Gif](http://latex.codecogs.com/gif.latex?"(\exists x \in \mathbb{\mathbb{Z}})(\exists y\in \mathbb{Z}): 2x-3y=\sqrt{2} ":p) ![Préparation à la première SM (La logique) Gif](http://latex.codecogs.com/gif.latex?"(\forall y \in \mathbb{R})(\exists x\in \mathbb{R}): \frac{2x}{1+x^{2}}> y":q) PS: Pardon pour le retard  Bonne chance | |
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ali-mes
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| | Sujet: Re: Préparation à la première SM (La logique) Mar 26 Juil 2011, 19:56 | |
| Ma réponse pour exercice 1:- Spoiler:
Considérons les assertions : (\exists%20y\in%20\mathbb{Z}):\;%20\;%202x-3y=%20\sqrt{2}) (\exists%20x\in%20\mathbb{R}):\;%20\;%20\frac{2x}{1+x^2}> y) On a: (\forall%20y\in%20\mathbb{Z}):\;%20\;%202x-3y\neq%20\sqrt{2}) Soient x et y deux entiers donc:  Et puisque  On a (\forall%20y\in%20\mathbb{Z}):\;%20\;%202x-3y\neq%20\sqrt{2}) Cela signifie que  est vraie. Donc A est faux. Et on a: (\forall%20x\in%20\mathbb{R}):\;%20\;%20\frac{2x}{1+x^2}\leq%20y) Dans  on prend y=1. On a donc: :%20\frac{2x}{1+x^2}\leq%201) :%20x^2+1\geq%202x) :(x-1)^2\geq%200) Ce qui est vrai pour tous réel x. Cela signifie que est vraie. Donc B est faux.
Dernière édition par ali-mes le Mar 26 Juil 2011, 20:21, édité 4 fois | |
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ali-mes
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| | Sujet: Re: Préparation à la première SM (La logique) Mar 26 Juil 2011, 19:57 | |
| Je n'ai pas de nouveaux exos à proposer, donc que chacun sente libre pour poster un.
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geom
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ali-mes
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| | Sujet: Re: Préparation à la première SM (La logique) Mar 26 Juil 2011, 20:23 | |
| - geom a écrit:
- ali-mes a écrit:
(\exists%20x\in%20\mathbb{R}):\;%20\;%20\frac{2x}{1+x^2}%3C%20y)
le vrai \left&space;(&space;\exists&space;x\in&space;\mathbb{R}&space;\right&space;):\;&space;\;&space;\frac{2x}{1+x^2}&space;\leq&space;y) Quoi  ? C'est (\exists%20x\in%20\mathbb{R}):\;%20\;%20\frac{2x}{1+x^2}%3E%20y) comme l'indique l'énoncé. En tous cas, propose un autre exo. | |
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geom
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| | Sujet: Re: Préparation à la première SM (La logique) Mar 26 Juil 2011, 20:42 | |
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ali-mes
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| | Sujet: Re: Préparation à la première SM (La logique) Mar 26 Juil 2011, 20:45 | |
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ali-mes
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| | Sujet: Re: Préparation à la première SM (La logique) Mar 26 Juil 2011, 21:33 | |
| Pour ne pas enterrer ce marathon dès le début, je vous propose cet exo: Exercice 2: Résoudre dans  : (y-2)=0\\%20(x-2)(y-3)=0%20\end{matrix}\right.) | |
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Azerty1995
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| | Sujet: Re: Préparation à la première SM (La logique) Mar 26 Juil 2011, 22:47 | |
| Solution de l'exercice2- Spoiler:
On a Donc ( x=1 ou y=2) et ( x=2 ou y=3) <=> (x=2 et y=2) ou( x=1 et y=3) Donc S={(2,2)(1,3)}
Dernière édition par Azerty1995 le Mar 26 Juil 2011, 23:52, édité 1 fois | |
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Azerty1995
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| | Sujet: Re: Préparation à la première SM (La logique) Mar 26 Juil 2011, 23:50 | |
| Exercice 3Considerons la proposition suivante : ![Préparation à la première SM (La logique) Gif](http://latex.codecogs.com/gif.latex?"(\forall x\in \mathbb{R})(\forall y\in \mathbb{R})x^{2}+y^{2}+1\geq xy+x+y":p) Montrer que p est vraie | |
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ali-mes
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| | Sujet: Re: Préparation à la première SM (La logique) Mer 27 Juil 2011, 00:42 | |
| Ma réponse pour l'exercice 3: - Spoiler:
Exercice 4:Exprimer l'assertion suivante en utilisant la négation et la disjonction: ) | |
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Azerty1995
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| | Sujet: Re: Préparation à la première SM (La logique) Mer 27 Juil 2011, 12:03 | |
| Solution de l'exercice 4- Spoiler:
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Azerty1995
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| | Sujet: Re: Préparation à la première SM (La logique) Mer 27 Juil 2011, 13:39 | |
| Exercice 5Considérons les propositions suivantes: ![Préparation à la première SM (La logique) Gif](http://latex.codecogs.com/gif.latex?"(\exists n\in \mathbb{N}*);\sqrt{n^{2}+2n}\notin \mathbb{N}":p) ![Préparation à la première SM (La logique) Gif](http://latex.codecogs.com/gif.latex?"(\forall x\in \mathbb{R}*);(\frac{1}{x}< 2\Rightarrow x> \frac{1}{2})":q) Determiner la valeur de vérité de p et q. | |
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geom
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| | Sujet: Re: Préparation à la première SM (La logique) Mer 27 Juil 2011, 18:17 | |
| réponse d'exo 5: - Spoiler:
- &space;;&space;\sqrt{n^2+2n}&space;\in&space;\mathbb{N}) on a: ^2) alors \Rightarrow&space;\sqrt{n^2+2n}\notin&space;\mathbb{N}) il signfinie que  est faux, alors  est vrai. - si  an a:  , si  on a:  alors  est faux.
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Azerty1995
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| | Sujet: Re: Préparation à la première SM (La logique) Mer 27 Juil 2011, 18:29 | |
| A toi de poster un autre exo | |
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geom
Maître
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| | Sujet: Re: Préparation à la première SM (La logique) Mer 27 Juil 2011, 18:39 | |
| Exercice 5: montrer que:  | |
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Azerty1995
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| | Sujet: Re: Préparation à la première SM (La logique) Mer 27 Juil 2011, 18:57 | |
| Solution du problème 5- Spoiler:
Supposons que  Donc aussi ^{2}\in \mathbb{Q}) Alors il existe  et  tel que ^{2}=\frac{p}{q}\Leftrightarrow 5+2\sqrt{6}=\frac{p}{q}\Leftrightarrow 5q+2q\sqrt{6}=p) On a donc  et puisque 5q appartient à IN* alors  Ce qui est faux car  Donc ce que nous avons supposé au debut est faux d'où CQFD.
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Azerty1995
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| | Sujet: Re: Préparation à la première SM (La logique) Mer 27 Juil 2011, 19:07 | |
| J'ai pas de problème à proposer pour l'instant | |
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geom
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| | Sujet: Re: Préparation à la première SM (La logique) Mer 27 Juil 2011, 19:12 | |
| à vous le tour Azerty1995  | |
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Azerty1995
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| | Sujet: Re: Préparation à la première SM (La logique) Mer 27 Juil 2011, 19:17 | |
| J'ai pas d'exercice à proposer | |
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ali-mes
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| | Sujet: Re: Préparation à la première SM (La logique) Mer 27 Juil 2011, 20:10 | |
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Azerty1995
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| | Sujet: Re: Préparation à la première SM (La logique) Jeu 28 Juil 2011, 17:16 | |
| Solution de l'exercice 6- Spoiler:
(x^{2}-7x+6\neq 0.et.x\neq 2)) Prenons x=1 ou x=6 on a x²-7x+6=0, puisque x appartient a R on peut prendre x=2 Donc et fausse d'ou  est vraie. (x^{2}\leq 4.et.x\leq 2)) Ce qui est vrai en prenons comme exemble x=3 x²=9>4 et x>2 Donc est vraie d'ou  set fausse (\forall y\in \mathbb{R}): \left | x-2 \right |+y^{2}-5y+4\neq 0) On a ^{2}-y) Si ce terme est different de zero alors ^{2} \neq y) pour tout x et y de R En prenant x=y=2 ou x=4 et y=2 l'égalité sera verifié donc  est fausse d'ou  est vraie (\forall y\in \mathbb{R}): xy\neq 1) En prenant y=0 on a xy=0=/1 Donc  est vraie d'ou D est fausse.
(Mes réponse pour le A et B sont fausse; la réponse juste dans les prochain message).
Dernière édition par Azerty1995 le Sam 30 Juil 2011, 16:30, édité 1 fois (Raison : Fautes) | |
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ali-mes
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| | Sujet: Re: Préparation à la première SM (La logique) Jeu 28 Juil 2011, 17:45 | |
| Votre réponse pour C et D est juste, quant à A et B, elle est fausse ! Juste une remarque, ( car je vois que t'as commis la même faute deux fois): }\;&space;\Leftrightarrow&space;\;&space;\overline{(\overline{p}\;&space;\textrm{ou\;&space;q})}\;&space;\Leftrightarrow&space;(p\;&space;\textrm{et}\;&space;\overline{q})) et dans , c'est plutôt ) . A toi de rectifier. | |
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Azerty1995
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| | Sujet: Re: Préparation à la première SM (La logique) Jeu 28 Juil 2011, 18:29 | |
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Je conaissais pas ça
donc ça doit etre pour tout x de R x²-7x+6=0 et x=/2 est c'est faux en prenant x=2
Donc A est vraie
Et pour B il existe un x de R x²>4 et x=<2
On a x²>=4 <=> x>2 et puisque x=<2 alors 2<x=<2 c'est impossible donc B est vraie
J 'attends ta confirmation pour éditer mon message précedant
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