monde des inégalités

M. Ahmed TAHA a affirmé que : 3(xy+xz+yz)²+xyz(xy+xz+yz) >= 30xyz dans le cas (a+b+c=3) .

J'essaierai de démontrer cette proposition qui est plus forte que celle qui stipule que: 3(xy+xz+yz)²+xyz(xy+xz+yz)>=10xyz .

Soient x,y,z>=0 et x+y+z=3.
On a 3(xy+yz+zx)^2 = (x+y+z)(xy+yz+zx)^2
= (x^3 y^2 + y^3 z^2 + z^3 x^2) + (x^2 y^3 + y^2 z^3 + z^2 x^3) + 2(x^3 yz + y^3 zx + z^3 xy) + 5(x y^2 z^2 + y z^2 x^2 + z x^2 y^2)

On a aussi xyz(xy+yz+zx) = x y^2 z^2 + y z^2 x^2 + z x^2 y^2

donc 3(xy+yz+zx)^2 + xyz(xy+yz+zx)
=  (x^3 y^2 + y^3 z^2 + z^3 x^2) + (x^2 y^3 + y^2 z^3 + z^2 x^3) + 2(x^3 yz + y^3 zx + z^3 xy) + 6(x y^2 z^2 + y z^2 x^2 + z x^2 y^2)
<--> 3(xy+yz+zx)^2 + xyz(xy+yz+zx) >= 30 (x^50 y^50 z^50)^(1/30) = 30(xyz)^(5/3) : IAG

Et comme 3 = x+y+z >= 3(xyz)^(1/3) : IAG <--> 1>= (xyz)^(1/3) <--> 1>= xyz, on a  (xyz)^(5/3)>=xyz, donc 30(xyz)^(5/3) >= 30 xyz ,

donc 3(xy+xz+yz)²+xyz(xy+xz+yz) >= 30xyz .

J'espère que cette démonstration est exempte d'erreurs, de plus je vous demande d'avoir l'amabilité de m'indiquer les étapes de la démonstration qui utilise le théorème du réordonnement: J'ai essayé de résoudre ce problème par cette méthode, mais je me suis trouvé inéxorablement face à un problème du sens de cette inéquation.

Merci d'avance.

aymanemaysae a écrit:

M. Ahmed TAHA a affirmé que : 3(xy+xz+yz)²+xyz(xy+xz+yz) >= 30xyz dans le cas (a+b+c=3) .

J'essaierai de démontrer cette proposition qui est plus forte que celle qui stipule que: 3(xy+xz+yz)²+xyz(xy+xz+yz)>=10xyz .

Soient x,y,z>=0 et x+y+z=3.
On a 3(xy+yz+zx)^2 = (x+y+z)(xy+yz+zx)^2
= (x^3 y^2 + y^3 z^2 + z^3 x^2) + (x^2 y^3 + y^2 z^3 + z^2 x^3) + 2(x^3 yz + y^3 zx + z^3 xy) + 5(x y^2 z^2 + y z^2 x^2 + z x^2 y^2)

On a aussi xyz(xy+yz+zx) = x y^2 z^2 + y z^2 x^2 + z x^2 y^2

donc 3(xy+yz+zx)^2 + xyz(xy+yz+zx)
=  (x^3 y^2 + y^3 z^2 + z^3 x^2) + (x^2 y^3 + y^2 z^3 + z^2 x^3) + 2(x^3 yz + y^3 zx + z^3 xy) + 6(x y^2 z^2 + y z^2 x^2 + z x^2 y^2)
<--> 3(xy+yz+zx)^2 + xyz(xy+yz+zx) >= 30 (x^50 y^50 z^50)^(1/30) = 30(xyz)^(5/3) : IAG

Et comme 3 = x+y+z >= 3(xyz)^(1/3) : IAG <--> 1>= (xyz)^(1/3) <--> 1>= xyz, on a  (xyz)^(5/3)>=xyz, donc 30(xyz)^(5/3) >= 30 xyz ,

donc 3(xy+xz+yz)²+xyz(xy+xz+yz) >= 30xyz .

J'espère que cette démonstration est exempte d'erreurs, de plus je vous demande d'avoir l'amabilité de m'indiquer les étapes de la démonstration qui utilise le théorème du réordonnement: J'ai essayé de résoudre ce problème par cette méthode, mais je me suis trouvé inéxorablement face à un problème du sens de cette inéquation.

Merci d'avance.

dsl Mr aymanemaysae cette solution est fausse
si 1> xyz alors  (xyz)^(5/3)<xyz

Rien ne sert de courir, il faut arriver à bon port.

A défaut de démontrer que: 3(xy+xz+yz)²+xyz(xy+xz+yz) >= 30xyz, j'essaierai de démontrer que: 3(xy+xz+yz)²+xyz(xy+xz+yz)>=18xyz .

Et pour ne pas commettre la même erreur, je vais développer les deux côtés de l'inéquation et simplifier ensuite l'expression obtenue.

Soient x,y,z>=0 et x+y+z=3.
On a 3(xy+yz+zx)^2 = (x+y+z)(xy+yz+zx)^2
= (x^3 y^2 + y^3 z^2 + z^3 x^2) + (x^2 y^3 + y^2 z^3 + z^2 x^3) + 2(x^3 yz + y^3 zx + z^3 xy) + 5(x y^2 z^2 + y z^2 x^2 + z x^2 y^2)

On a aussi xyz(xy+yz+zx) = x y^2 z^2 + y z^2 x^2 + z x^2 y^2

donc 3(xy+yz+zx)^2 + xyz(xy+yz+zx)
=  (x^3 y^2 + y^3 z^2 + z^3 x^2) + (x^2 y^3 + y^2 z^3 + z^2 x^3) + 2(x^3 yz + y^3 zx + z^3 xy) + 6(x y^2 z^2 + y z^2 x^2 + z x^2 y^2)

On a aussi 18 xyz = 2 * 9 * xyz = 2 (x+y+z)^2 xyz = 2 (x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2yz + 2zx) xyz = 2 (x^3 yz + y^3 zx + z^3 xy + 2 x^2 y^2 z + 2 y^2 z^2 x + 2 z^2 x^2 y) ,

donc 3(xy+yz+zx)^2 + xyz(xy+yz+zx)>= 18 xyz
<--> (x^3 y^2 + y^3 z^2 + z^3 x^2) + (x^2 y^3 + y^2 z^3 + z^2 x^3) + 2(x^3 yz + y^3 zx + z^3 xy) + 6(x y^2 z^2 + y z^2 x^2 + z x^2 y^2) >= 2 (x^3 yz + y^3 zx + z^3 xy + 2 x^2 y^2 z + 2 y^2 z^2 x + 2 z^2 x^2 y)

<--> (x^3 y^2 + y^3 z^2 + z^3 x^2) + (x^2 y^3 + y^2 z^3 + z^2 x^3) + 2(x y^2 z^2 + y z^2 x^2 + z x^2 y^2) >= 0 : expression logiquement vraie car x,y et z sont des réels positifs.

 
donc 3(xy+xz+yz)²+xyz(xy+xz+yz) >= 18 xyz.

Ceci implique que 3(xy+xz+yz)²+xyz(xy+xz+yz) >= 10 xyz (CQFD).

J'ose espèrer que cette démonstration est exempte d'erreurs, de plus je vous demande d'avoir l'amabilité de m'indiquer les étapes de la démonstration qui utilise le théorème du réordonnement: J'ai essayé de résoudre ce problème par cette méthode, mais je me suis trouvé inéxorablement face à un problème du sens de cette inéquation.

Merci d'avance.

aymanemaysae a écrit:

Rien ne sert de courir, il faut arriver à bon port.

A défaut de démontrer que: 3(xy+xz+yz)²+xyz(xy+xz+yz) >= 30xyz, j'essaierai de démontrer que: 3(xy+xz+yz)²+xyz(xy+xz+yz)>=18xyz .

Et pour ne pas commettre la même erreur, je vais développer les deux côtés de l'inéquation et simplifier ensuite l'expression obtenue.

Soient x,y,z>=0 et x+y+z=3.
On a 3(xy+yz+zx)^2 = (x+y+z)(xy+yz+zx)^2
= (x^3 y^2 + y^3 z^2 + z^3 x^2) + (x^2 y^3 + y^2 z^3 + z^2 x^3) + 2(x^3 yz + y^3 zx + z^3 xy) + 5(x y^2 z^2 + y z^2 x^2 + z x^2 y^2)

On a aussi xyz(xy+yz+zx) = x y^2 z^2 + y z^2 x^2 + z x^2 y^2

donc 3(xy+yz+zx)^2 + xyz(xy+yz+zx)
=  (x^3 y^2 + y^3 z^2 + z^3 x^2) + (x^2 y^3 + y^2 z^3 + z^2 x^3) + 2(x^3 yz + y^3 zx + z^3 xy) + 6(x y^2 z^2 + y z^2 x^2 + z x^2 y^2)

On a aussi 18 xyz = 2 * 9 * xyz = 2 (x+y+z)^2 xyz = 2 (x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2yz + 2zx) xyz = 2 (x^3 yz + y^3 zx + z^3 xy + 2 x^2 y^2 z + 2 y^2 z^2 x + 2 z^2 x^2 y) ,

donc 3(xy+yz+zx)^2 + xyz(xy+yz+zx)>= 18 xyz
<--> (x^3 y^2 + y^3 z^2 + z^3 x^2) + (x^2 y^3 + y^2 z^3 + z^2 x^3) + 2(x^3 yz + y^3 zx + z^3 xy) + 6(x y^2 z^2 + y z^2 x^2 + z x^2 y^2) >= 2 (x^3 yz + y^3 zx + z^3 xy + 2 x^2 y^2 z + 2 y^2 z^2 x + 2 z^2 x^2 y)

<--> (x^3 y^2 + y^3 z^2 + z^3 x^2) + (x^2 y^3 + y^2 z^3 + z^2 x^3) + 2(x y^2 z^2 + y z^2 x^2 + z x^2 y^2) >= 0 : expression logiquement vraie car x,y et z sont des réels positifs.

 
donc 3(xy+xz+yz)²+xyz(xy+xz+yz) >= 18 xyz.

Ceci implique que 3(xy+xz+yz)²+xyz(xy+xz+yz) >= 10 xyz (CQFD).

J'ose espèrer que cette démonstration est exempte d'erreurs, de plus je vous demande d'avoir l'amabilité de m'indiquer les étapes de la démonstration qui utilise le théorème du réordonnement: J'ai essayé de résoudre ce problème par cette méthode, mais je me suis trouvé inéxorablement face à un problème du sens de cette inéquation.

Merci d'avance.

bah voici une méthode plus simple
on a 3(xy+xz+yz)² > 9xyz(x+y+z)=27xyz alors 3(xy+xz+yz)²+xyz(xy+xz+yz) > 27xyz c tt

Cette méthode est si élégante que je ne peux me priver de lui rendre les honneurs qui lui sont dus en la réécrivant en détail:

Soient x,y et z des réels positifs tels que x+y+z = 3,

on a (xy + yz + zx)^2 = x^2 y^2 + y^2 z^2 + z^2 x^2 + 2 xy z^2 + 2 yz x^2 + 2 zx y^2,
et comme x^2 y^2 + y^2 z^2 + z^2 x^2 >= xy z^2 + yz x^2 + zx y^2: application de la formule a^2 +b^2 +c^2 >= ab+bc+ca avec a = xy, b = yz et c = zx ,
on a:

(xy + yz + zx)^2 >= 3 (xy z^2 + yz x^2 + zx y^2) = 3 xyz (x+y+z) = 9 xyz,

donc 3 (xy + yz + zx)^2 >= 27 xyz

et par conséquent: 3 (xy + yz + zx)^2 + xyz(xy + yz + zx) >= 27 xyz.

Vraiment c'est ingénieux, Bravo!

voici une autre
Soit x,y et z des réels positifs tel que : x+y+z=3
Montrer que : 3(xy+xz+yz)²+xyz(xy+xz+yz)>10xyz
et que : 9(xy+xz+yz)+4xyz(xy+xz+yz)>4(xy+xz+yz)²+3xyz

Pour la deuxième inéquation, je n'ai pas trouvé de solution. Si M. Taha a l'obligeance de m'indiquer un chemin pour le résoudre, je lui serai très reconnaissant: j'ai tout essayé, et je crois qu'il y a une astuce que j'aimerai connaître.
Merci

Bonsoir; j'ajoute une autre inegalité :
a,b et c etant des reels positifs t.q : a+b+c=1
Trouvez la valeur maximale de l expression
1/(a^2-4a+9) + 1/(b^2-4b+9) + 1/(c^2-4c+9) .
Bonne chance !
AMICALEMENT.

M. Humber dans cette page: https://mathsmaroc.jeun.fr/t20477-aide-sur-une-olympiade#171054 avait donné une démonstration très élégante de cet exercice dont le résultat est : 7/18.

M. Humber avait écrit:
Bonsoir à tous les matheux,
Jensen ne marche pas pour cet exercice, essayez de majorer chacun des trois termes par une fonction f . La somme contiendra le a+b+c qui vaut 1 et le 7 /18  . Il faut donc penser à retrancher 1 à 7 et diviser ce qui reste par 3 pour se rapprocher de la majoration. Il faut remarquer sinon que cette fonction majorante égale l'un des termes de l'inégalité pour 0 et 1. Donc si f(x)=ax+b : 1/9=b et a+b=1/(1-4+9)=1/6 ce qui donne b=1/9 et a=1/18. Conclusion : f(x)=(x+2)/18 . Il ne reste plus qu'à vérifier qu'elle satisfait bien la majoration voulue.


Merci pour vous deux: c'était très constructif.

j'ajoute une autre : x y et z des reels positifs tels que 1/x + 1/y + 1/z= 2 montrez que V(x+y+z)>=SumV(x-1) {iran 1998}
Mr.aymanemaysae ^^ merci pour vos interventions «» ce sujet est trop bon pour l'achever maintenant .

aymanemaysae a écrit:

voici une autre
Soit x,y et z des réels positifs tel que : x+y+z=3
Montrer que : 3(xy+xz+yz)²+xyz(xy+xz+yz)>10xyz
et que : 9(xy+xz+yz)+4xyz(xy+xz+yz)>4(xy+xz+yz)²+3xyz

Pour la deuxième inéquation, je n'ai pas trouvé de solution. Si M. Taha a l'obligeance de m'indiquer un chemin pour le résoudre, je lui serai très reconnaissant: j'ai tout essayé, et je crois qu'il y a une astuce que j'aimerai connaître.
Merci

dsl Mr aymanemaysae mai Je n'ai pas encore trouvé une solution complète.

bianco verde a écrit:

 j'ajoute une autre : x y et z des reels positifs tels que 1/x + 1/y + 1/z= 2  montrez que V(x+y+z)>=SumV(x-1)  {iran 1998}
Mr.aymanemaysae ^^ merci pour vos interventions «» ce sujet est trop bon pour l'achever maintenant .

voici a solution

Ahmed Taha a écrit:

La somme des deux est supérieure à 2x²+2y²+2z², alors il suffit de montrer l'indice que vous avez donné

Merci M. Ahmed_TAHA, grâce à votre indice j'ai pu orienter mes recherches et trouver une page dans un livre qui explicite trois solutions de cet exercice: vos remarques et vos indices me sont toujours d'un grand secours  dans ma quête du savoir.
Pour ne rien vous cacher, ça faisait presque plus de dix jours que je cherchais inlassablement une solution à cet exercice qui revenait à mon esprit comme un leitmotiv, et ce n'est que votre indice qui m'a mis sur le bon chemin à suivre: encore une fois Merci.

aymanemaysae a écrit:

Merci M. Ahmed_TAHA, grâce à votre indice j'ai pu orienter mes recherches et trouver une page dans un livre qui explicite trois solutions de cet exercice: vos remarques et vos indices me sont toujours d'un grand secours  dans ma quête du savoir.
Pour ne rien vous cacher, ça faisait presque plus de dix jours que je cherchais inlassablement une solution à cet exercice qui revenait à mon esprit comme un leitmotiv, et ce n'est que votre indice qui m'a mis sur le bon chemin à suivre: encore une fois Merci.

pour la 1er solution on a l'inverse par chebychev donc la 1er solution est fausse.

pour la 3eme ca sera facile par la méthode de Mr legend-crush ou  par Caushy

on a  donc

et par Caushy

alors

en tt cas merci pour les solutions   .

Pour montrer l'indice que Mr Ahmad Taha a donné, c'est equivalent à:
x(y²-z²)+yz(y-z)>=0 (x>y>z>0) ce qui complete la solution je pense

salut. je propose un exercice si ca genes pas trop ^^

M. Ahmed Taha, vous avez raison en ce qui concerne la solution n° 1 de l'exercice: votre remarque m'a évité d'induire dans l'erreur les visiteurs de cette page et aussi de me rendre compte que certaines éditions sur le Web ne sont pas fiables, je ne peux que vous en remercier. De plus, la solution que vous avez proposée est de loin la meilleure.
M. legend-Crush, j'ai essayé de retrouver l'équivalence que vous avez obtenu, mais en vain. j'espère que vous aurez l'amabilité de me l'expliciter: ce sera vraiment très gentil de votre part et très constructif pour moi.

aymanemaysae a écrit:

M. legend-Crush, j'ai essayé de retrouver l'équivalence que vous avez obtenu, mais en vain. j'espère que vous aurez l'amabilité de me l'expliciter: ce sera vraiment très gentil de votre part et très constructif pour moi.

Pour etre franc c'est dans un livre que je l'ai trouvé, mmais voici les étapes:
c'est equivalent à:

Merci M.Legend_Crush d'avoir répondu à ma demande malgré qu'il faisait très tard.
En ce qui concerne votre méthode, permettez-moi d'exprimer quelques remarques qui n'occultent guère sa splendeur:


- Dans la troisième ligne il y a une faute de frappe: un "y" à la place d'un "z".
- Dans la quatrième ligne, deux autres fautes de frappe qui vous ont empêché de conclure:
les deux "-" à la place des deux "+" vous ont forcé à ajouter les deux dernières lignes, alors qu'il suffisait de conclure
par y^2 x(x-y) + y^2 z (x-y) + z^2 (y^2 + x^2) >= 0 : expression logiquement vraie, puisque x>=y.
A la fin, je vous félicite pour l'idée principale de la démonstration qui consistait à mettre en facteur
(x-y), chose à laquelle je n y pas pensé.

aymanemaysae a écrit:

Merci M.Legend_Crush d'avoir répondu à ma demande malgré qu'il faisait très tard.
En ce qui concerne votre méthode, permettez-moi d'exprimer quelques remarques qui n'occultent guère sa splendeur:


- Dans la troisième ligne il y a une faute de frappe: un "y" à la place d'un "z".
- Dans la quatrième ligne, deux autres fautes de frappe qui vous ont empêché de conclure:
les deux "-" à la place des deux "+" vous ont forcé à ajouter les deux dernières lignes, alors qu'il suffisait de conclure
par y^2 x(x-y) + y^2 z (x-y) + z^2 (y^2 + x^2) >= 0 : expression logiquement vraie, puisque x>=y.
A la fin, je vous félicite pour l'idée principale de la démonstration qui consistait à mettre en facteur
(x-y), chose à laquelle je n y pas pensé.

Desolé pour les fautes de frappe, C'était à coup sûr a cause de l'heure, et le fait que j'utilisais un ordinateur avec bq de touches manquantes .
Sinon, Je propose une inegalité:
Let a,b,c,d be REAL numbers such that a²+b²+c²+d²=4.
Prove that a^3+b^3+c^3+d^3 =< 8

Merci pour l'inéquation: je préfère la désignation d' "inéquation" à celle d' "inégalité".
En ce qui concerne la résolution de l'exercice, j'avoue que pendant sa rédaction, j'avais le sentiment du "Déjà vu", ou plus précisément du "Déjà résolu". En tout cas voici ma proposition:

Si ma démonstration est exempte d'erreurs, je ne propose aucun exercice pour laisser l'occasion à l'exercice de M. Elidrissi que je trouve très intéressant:

On pose :

Sauf erreur de ma part, l'inégalité est équivalente à :

Où :




On utilise la méthode SOS-Schur en supposant que est le plus petit élément et il nous suffit de démontrer que les expressions et sont positives, ce qui je pense être vrai sans vouloir me noyer dans les calculs.

elidrissi a écrit:

salut. je propose un exercice si ca genes pas trop ^^

j'ai trouvé une solution directe par l'inégalité arithmético-géométrique mais je ne sais pas comment l'écrire.

King a écrit:

On pose :

Sauf erreur de ma part, l'inégalité est équivalente à :

Où :




On utilise la méthode SOS-Schur en supposant que est le plus petit élément et il nous suffit de démontrer que les expressions et sont positives, ce qui je pense être vrai sans vouloir me noyer dans les calculs.

je n'ai pas compris la méthode SOS-Schur ???