#Grand Jeu d'été (2007 ) TSM EST COMENCE ==>

slt
a.b.c >0 et a²+b²+c²=1
montrer que 1/(1-ab) + 1/(1-ac) + 1/(1-bc)<=9/2
a+

cet exo a eu jusqu à mnt une seule solution !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!











La solution officielle

c est deja poste et resolu

!!!!!

stof
tu dois proposer un autre exo

montrer que pour tout x appartien a R :




Lisez ce qui est en rouge avant de répondre

Les reponses doivent etre poster ici du le moment qu'on propose l'exo et le premier qui donne une solution juste avec une démonstration complète aura 2 points et proposera lui aussi un exo et ainsi de suite.
si personne n'as résolu l'exo durant 48 heures alors celui qui à proposer l'exo donnera la solution et proposera un autre

on pose A=1/(x²+1) [ rac{(1-(x-E(x))²} + IxI(x-E(x)) rac{x²+2} ]
pour la premiere parie c est trivial ke
0=<A car tous les termes de A sont positives

pour la seconde A<=1

on considere la fonction f(x)=A(x)

f est continue sur chak intervalle ]k,k+1[ tel ke k £ Z

et f(k)=1/k^2+1 <=1

et sur ]k,k+1[ on peut changer x-E(x) par une constante a et on derive et on trouve f'(x)<0 d ou f(x)<f(k)<=1

ainsi
ainsi f(x)<=1
alors A<=1

ainsi 0=<A<=1

on pose t=x²+1 et x-E(x)=r puis
on remarque que que A=[rac(1-r²)+r.rac(t²-1)]/t
et voila une fct parametrique (r parametre dans [0,1[) pourra faira l'affaire comme a fait Digital brain !! ,
tu peux poster ton exo je crois :: !

slt
on a pour A>=0.
la seule remarque c x>=[x] <=> x-[x]>=0
le reste c >=0
pour A<=1
on a lxl(x-[x])(rac(x²+2)<=((x²+x²+2)/2)(x-[x])
=(x²+1)(x-[x])
o6
rac(1-(x-[x])²=l1-x+[x]l
on a [x]+1>=x
1-x+[x]>=0
on deduit que l1-x+[x]l=1-x+[x]
rac(1-(x-[x])²)+lxl(x-[x])(rac(x²+2)<=(x²+1)(x-[x]) + 1-(x-[x])=(x-[x])(x²+1-1)+1=x²(x-[x])+1<=x²+1
car
on a x-[x]<=1
x²(x-[x])+1<=1+x²
on deduit que A=1/(x²+1)(rac(1-(x-[x])²)+lxl(x-[x])(rac(x²+2))<=(x²+1)/(x²+1)=1
a+

voillla la demonstration sans fonction
attend conan il faut qu il confirme la réponse passable
a+

est ke je peux poster mon exo ???

nn pas maintenant
attend la confirmation de conan ou de bestfriend

ma solution est juste selferspect??

nn rac[(1-(x-[x]))²] regarde l énonncé

lol j'ai demontré ce resultat mm pour rac(1-(x-E(x))²)
a part ce point tt ce que t'as ecrit est juste !

alors puisque je ss le premier ki a repondu
voici mon exo

EXERCICE N° 11

soient a,b>0 et p,q>1 tel ke 1/p + 1/q =1
prouver ke

(a^p)/p +(b^q)/q>=ab

Lisez ce qui est en rouge avant de répondre

Les reponses doivent etre poster ici du le moment qu'on propose l'exo et le premier qui donne une solution juste avec une démonstration complète aura 2 points et proposera lui aussi un exo et ainsi de suite.
si personne n'as résolu l'exo durant 48 heures alors celui qui à proposer l'exo donnera la solution et proposera un autre

l'inegalité est equivalente a :
q*a^p+p*b^q>=pqab
on a: (d'apres la moyenne)
a^p+a^p..+a^p+b^q+..+b^q+b^q>=(p+q)*((ab)^pq)^1/(p+q)
avec a^p repeté q fois et b^q repeté p fois
et puisque p+q=pq on conclus l'inégalité.

Ouais c'est juste pose un exo

mais p et q ne sont po des entiers
et la moyenne n est vrai que pour les puissances entieres

lol c'est calssique inegalité de holder !!
le pb est symetrique on peut supposer a>b
On remarque que F -->x^µ (0<µ<1) est concave
alors f se situe au dessus de ces tangentes et en particulier la tg en x=1 (1,1)
c a d qq soit x>0
F(x)=<µ(x-1)+1 <==> x^µ=<µx+1-µ
alors soit x=a'/b'=a^p/b^q ==> (a'/b')^µ=<µa'/b'+1-µ
==>(a')^{µ}.(b')^{1-µ}=<µa'+(1-µ)b'
==> {(a^p)^µ}{(b^q)^(1-µ)}=<µ{a^p}+(1-µ)(b^{q})
ben posons µ=1/p <1 et 1-µ=1/q
alors a.b=<{a^p}/p+{b^q}/q

oui c est tt a fait correcte selfrespect
alors c est ton tour de poser un exo

regards

en effet par concavité de log :

log[(a^p)/p + (b^q)/q] >= log(a^p)/p + log(b^q)/q = log(ab)