Préparations aux olympiades de tronc commun (2009-2010)

Je vais essayer:
On a ab+1 divise a²+b².
Donc ab+1 divise a² et ab+1 divise b².
Donc il existe k et k' deux éléments de IN tel que ab+1=a²k et ab+1=b²k'.
Donc 1=a²k-ab et 1=b²k'-ab.
Donc 1=a(ak-b) et 1=b(bk'-a).
Donc a=1 et b=1.
On a (a²+b²)/(ab+1)=(1²+1²)/(1*1+1).
Donc (a²+b²)/(ab+1)=(1+1)/(1+1).
Donc (a²+b²)/(ab+1)=2/2.
Donc (a²+b²)/(ab+1)=1.
On sait que 1 est un carré parfait.
Donc (a²+b²)/(ab+1) est un carré parfait.
CQFD.
J'attends vos confirmations.

ta premier etape je pense qu'elle est fausse nmo !!
si ab+1 divise a²+b² , c'est pas b1 juge qu'il divise a² et b² !!

Slt nmo; tu peux m'expliquer comment:

On a ab+1 divise a²+b².
Donc ab+1 divise a² et ab+1 divise b².
et
Donc 1=a(ak-b) et 1=b(bk'-a).
Donc a=1 et b=1.

Pourquoi ak-b=1 ?

master a écrit:

ok donc voila prouver que si ab+1 divise a²+b² ==> a²+b²/ab+1 est un carré parfait. (a,b)£N .
amusez-vous !!!
c assez facile ...

Probléme 6 de IMO 1988 pour les T.C !!!

ok , je sais pas si il est vrm un exo de IMO , car c'etait donné par un ami , et j'ai essaye de le resoudre et meme si c'est b1 fait , alors je m'excuse si il est de haut niveau pour T.C mais je peux le changer si vous vouler (et je vas donner la reponse ) ^^
je m'excuse ^^

ok une soluc de meme niveau :
soit (a,b) une soluc de l'équation a²+b² = nab+n en entiers strictement positifs.tjr on peut supposer que a minimal parmi tt les soluc en entier strict positifs ! , en particulier , comme (b,a) une telle soluc , on a a=<b
D'autre part (na-b,a) et encore une solution , donc si na-b>0 on doit savoire na-b>=a .Mais alors en multipliant par b on aurait :
ab =< nab-b² =a²-n =< ab -n ==> absurde
si na-b<0 ==> b>= na+1 >=n et donc :
n=a²+b²-nab=a²+b(b-na)>=a²+n
donc nb-a=0 ==> n=a²
alors a²+b²=a²(ab+1) ==> a²+b²/ab+1 = a² ==> carée parfait

voila un exo plus facile ^^
trouver tt les entier strict positifs tel que :
1/x + 1/y + 1/z =1

M.Marjani a écrit:

Slt nmo; tu peux m'expliquer comment:
On a ab+1 divise a²+b².
Donc ab+1 divise a² et ab+1 divise b².
et
Donc 1=a(ak-b) et 1=b(bk'-a).
Donc a=1 et b=1.
Pourquoi ak-b=1 ?

Pour le premier, il me faut deux conditions:
Si a divise x+y et divise x-y alors a divise x et divise y.
(Je n'ai pas fait attention).
Les diviseurs de 1 sont 1.
Donc a=1 et ak-b=1 et b=1 et bk'-a=1.
Puisque le premier est faux, donc le second aussi.
En résumé, ma solution est fausse.
Au plaisir.

oui c'est ce que je voulai te dire M.marjani ^^ , mais mnt oublions cet exo car comme a dis M.arithmisys c'est d'un haut lvl
alors essayer de resoudre l'équation que j'ai propose au lieu de ce dernier ^^ !!
bonne chance

Pour ton exercice:
trouver tout les entiers strictements positifs tel que: 1/x+1/y+1/z=1 ainsi qu'ils ne sont pas nul.
Supposons que x>=y>=z.
Alors 1/x=<1/y=<1/z.
Donc 1/x=<1/z.
Et 1/y=<1/z.
En sommant 1/x+1/y=<1/z+1/z.
Donc 1/x+1/y+1/z=<3/z.
Donc 1=<3/z.
Donc z=<3.
Donc z=0 ou z=1 ou z=2 ou z=3.
Le premier cas: z=1.
Cela donne 1/x+1/y+1/1=1.
Donc 1/x+1/y+1=1.
Donc 1/x+1/y=0.
Puisque x et y sont strictement positifs donc 1/x#0 et 1/y#0.
On n'a pas de solution ici.
Le second cas: z=2.
On a 1/x+1/y+1/2=1.
Donc 1/x+1/y=1/2.
Donc (x+y)/xy=1/2.
Donc 2(x+y)=xy.
Donc 2x+2y-xy=0.
Donc x(2-y)+2y=0.
Donc x(2-y)-4+2y=-4.
Donc x(2-y)-2(2-y)=-4.
Donc (x-2)(2-y)=-4.
Donc (x-2)(y-2)=4.
Les diviseurs de 4 sont 1, 2, et 4.
Donc x-2=1 et y-2=4.
Donc x=3 et y=6.
Ou x-2=2 et y-2=2.
Donc x=4 et y=4.
Ou x-2=4 et y-2=1.
Donc x=6 et y=3.
Le troisième cas: z=3.
On a 1/x+1/y+1/3=1.
Donc 1/x+1/y=2/3.
Donc (x+y)/xy=2/3.
Donc 3(x+y)=2xy.
Cela veut dire que 2 est multiple de 3.
Ce qui est clairement faux.
Les couples des solution de l'équation proposé est, donc (3,6,2), (4,4,2), (6,3,2), (3,2,6), (2,4,4), (4,2,4), et (6,2,3).
Sauf que j'ai oublié un couple.
P.S: J'ai ajouté des cas qui ne correspondent pas à ce que j'ai proposé car ces termes sont symetriques.
J'attend ta confirmation.

nmo a écrit:

Pour ton exercice:
trouver tout les entiers strictements positifs tel que: 1/x+1/y+1/z=1 ainsi qu'ils ne sont pas nul.
Supposons que x>=y>=z.
Alors 1/x=<1/y=<1/z.
Donc 1/x=<1/z.
Et 1/y=<1/z.
En sommant 1/x+1/y=<1/z+1/z.
Donc 1/x+1/y+1/z=<3/z.
Donc 1=<3/z.
Donc z=<3.
Donc z=0 ou z=1 ou z=2 ou z=3.
Le premier cas: z=1.
Cela donne 1/x+1/y+1/1=1.
Donc 1/x+1/y+1=1.
Donc 1/x+1/y=0.
Puisque x et y sont strictement positifs donc 1/x#0 et 1/y#0.
On n'a pas de solution ici.
Le second cas: z=2.
On a 1/x+1/y+1/2=1.
Donc 1/x+1/y=1/2.
Donc (x+y)/xy=1/2.
Donc 2(x+y)=xy.
Donc 2x+2y-xy=0.
Donc x(2-y)+2y=0.
Donc x(2-y)-4+2y=-4.
Donc x(2-y)-2(2-y)=-4.
Donc (x-2)(2-y)=-4.
Donc (x-2)(y-2)=4.
Les diviseurs de 4 sont 1, 2, et 4.
Donc x-2=1 et y-2=4.
Donc x=3 et y=6.
Ou x-2=2 et y-2=2.
Donc x=4 et y=4.
Ou x-2=4 et y-2=1.
Donc x=6 et y=3.
Le troisième cas: z=3.
On a 1/x+1/y+1/3=1.
Donc 1/x+1/y=2/3.
Donc (x+y)/xy=2/3.
Donc 3(x+y)=2xy.
Cela veut dire que 2 est multiple de 3.
Ce qui est clairement faux.
Les couples des solution de l'équation proposé est, donc (3,6,2)(4,4,2), (6,3,2), (3,2,6), (2,4,4), (4,2,4), (6,2,3).
Sauf que j'ai oublié un couple.
P.S: J'ai ajouté des cas qui ne correspondent pas à ce que j'ai proposé car ces termes sont symetriques.
J'attend ta confirmation.

T'as oublie x=y=z=3

C'est inclu dans 3(x+y)=2xy.
On peut avoir ce cas ici.
Merci pour ta remarque.
En fait, c'est la cas d'égalité.
Tu as raison M.Marjani.
Je l'ai omis.

L'exercice proposé est le suivant:
ABC est un triangle rectangle en A tel que AB>AC.
Et (C) est son cercle circonscrit.
La mediane du triangle ABC passant par A coupe (BC) en M et (C) en A et N.
La bissectrice de l'angle BAC coupe (C) en A et P.
La hauteur de ABC, issue de A coupe (C) en A et S.
Prouvez que [AP) est la bissectrice de l'angle MAS.
Bonne chance.

Une démonstration pour ce qu'à utiliser Mr Mizmaz dans sa solution: Donc on veut démontré :



On a:



Il suffit de remarquer que: n devient n+1.






Sauf error.
Je pense que la démonstration que vous avez utilisé Mr Mizmaz est fausse non?

L'exercise courant:

ABC est un triangle rectangle en A tel que AB>AC.
Et (C) est son cercle circonscrit.
La mediane du triangle ABC passant par A coupe (BC) en M et (C) en A et N.
La bissectrice de l'angle BAC coupe (C) en A et P.
La hauteur de ABC, issue de A coupe (C) en A et S.
Prouvez que [AP) est la bissectrice de l'angle MAS.
Bonne chance.

M.Marjani a écrit:

L'exercise courant:
ABC est un triangle rectangle en A tel que AB>AC.
Et (C) est son cercle circonscrit.
La mediane du triangle ABC passant par A coupe (BC) en M et (C) en A et N.
La bissectrice de l'angle BAC coupe (C) en A et P.
La hauteur de ABC, issue de A coupe (C) en A et S.
Prouvez que [AP) est la bissectrice de l'angle MAS.
Bonne chance.

Il me faut du temps pour formuler la réponse.
Je vais l'écrire prochainement.
Je vais vous proposer un exercice dans mon peochain message.

Problème proposé:
Soit a et b deux réels positifs vérifiants .
Montrez que .
Montrez que .
Bonne chance.

1/




Sinon:



2/

M.Marjani a écrit:

1/

Une réponse en désordre.
Je t'invite à la reformuler.

nmo a écrit:

M.Marjani a écrit:

1/

Une réponse en désordre.
Je t'invite à la reformuler.

Pardon, je n'été pas encore términé le collage de la réponse... Tu peux voir maintenant.

Voir le dérnier poste.

...

DowN.

M.Marjani a écrit:

1/




Sinon:


2/

D'ou provient l'équivalence dans la troisième ligne?
Explique-moi bien.
Pour le deuxième, c'est juste.

DowN.

M.Marjani a écrit:

M.Marjani a écrit:

M.Marjani a écrit:

1/



On a:: (ab)^5=(aVb+bVa)^5 , mais: (ab)^5=(Va+Vb)^10


( car:)

2/

Alors nmo. ))

Je veux écrire 5/2(on va pas l'utiliser en tout cas, car il ya plus fort que lui dans la premiére ligne.).. Faute de frappe. (j'ai réctifié autres fautes de frappes.)
Voilà la réctification en haut de ce poste. Désolé )).