Préparations aux olympiades de tronc commun (2009-2010)

Dijkschneier a écrit:

nmo a écrit:

Pour le second cas, je renonce.
(On peut facilement trouver que f(0)=1, f(1)=1, f(2)=2, f(3)=2, f(4)=3 et ainsi de suite,
J'estime qu'il n'esiste aucune fonction à vérifier ces conditions)
Pour le troisième cas,
Je mesuis arrété ici h(h(0)+1)=2h(0)+2-3.
Soit h(h(0)+1)=2h(0)-1.
On sait que h(h(o)+1)>=0.
Donc 2h(0)-1>=0.
Donc 2h(0)>=1.
Donc 2h(0)>0.
Donc h(0)>0.
Donc h(h(0))>h(0)>0.
Donc 2>h(0)>0.
Donc h(0)=1.
On a h(h(0))=2 et h(1)=0.
Donc h(1)=2 et h(1)=0.
Ce qui est faux.
P.S: Il esiste une seule équation qui vérifie cette équation fonctionelle, mais elle n'est pas définie vers IN.
C'est ça tout ce que j'ai, et je ne peux pas rien ajouter.

Pour ce qui est en rouge : pouvoir trouver quelques valeurs d'une fonction définie par une EF nous pousse au contraire à croire que cette fonction existe. Et elle existe effectivement.
Pour ce qui est en bleu : je ne vois pas le lien logique qui te pousse à dire que h(h(0)) > h(0) ?

La fonction h est croissante, pour ce qui est en bleu.
Même si on trouve des valeurs de cette fonction, on ne peut pas trouver cette fonction.
J'ai ue question: la fonction h est-elle affine?

Citation :

J'ai une question: la fonction h est-elle affine?

C'est ce que j'ai deviné, qu'elle sera affine et croissante en méme temps, mais cette fonction au juste n'existe pas dans IN.

nmo a écrit:

La fonction h est croissante, pour ce qui est en bleu.

Ah bon ? Pourquoi ?

nmo a écrit:

J'ai ue question: la fonction h est-elle affine?

Clairement pas. Et tu pouvais le déduire toi même, car tu as trouvé trois valeurs différentes de f : f(0), f(1), f(2). Le taux d'accroissement est clairement variable.

Dijkschneier a écrit:

nmo a écrit:

La fonction h est croissante, pour ce qui est en bleu.

Ah bon ? Pourquoi ?

nmo a écrit:

J'ai ue question: la fonction h est-elle affine?

Clairement pas. Et tu pouvais le déduire toi même, car tu as trouvé trois valeurs différentes de f : f(0), f(1), f(2). Le taux d'accroissement est clairement variable.

J'ai posé la question car aucune fonction de degré supérieur ou égal à 2 ne réalise cete équation fonctionelle.
En plus, aucune fonction constante ne la vérifie.
J'ai dit que la fonction h est croissante par la preuve, justement par l'absurde.

J'ai trouvé que la fonction suivante vérifie l'équation fonctionelle.
.
Cependant, elle n'est pas définie vers IN.

La fonction que tu as trouvée, nmo, vérifie-t-elle vraiment l'EF ? Tu es très proche, cependant.
Pour nous éviter de fastidieuses paroles, je vous présente une solution.
Reprenons tes premiers résultats :

nmo a écrit:

Fixons: n=0.
On a h(h(n))+h(n+1)=n+2.
Donc h(h(0))+h(0+1)=0+2.
Donc h(h(0))+h(1)=2.
Pons A=h(h(0)) et B=h(1).
On a A+B=2.
Donc A=2-B.
Et on a 0=<A, car A est naturel.
Donc 0=<2-B.
Donc B=<2.
Et puisque B est naturel, donc B=2, ou B=1, ou B=0.
Le premier cas B=2 et A=0.
Donc h(h(0))=0 et h(1)=2.
Revenons à notre équation et fixons n=1.
Donc h(h(1))+h(1+1)=1+2.
Donc h(2)+h(2)=3.
Donc 2h(2)=3.
Donc h(2)=3/2.
Ce qui est faux car h est une fonction définie vers IN.

nmo a écrit:

Le second cas B=1 et A=1.
Donc h(h(0))=1 et h(1)=1.

Pour n=1 dans l'EF, il vient h(h(1))+h(2)=3, donc h(2)=2.
Pour n=2 dans l'EF, il vient h(h(2))+h(3)=4, donc h(3)=2.
Pour n=3 dans l'EF, il vient h(h(3))+h(4)=5, donc h(4)=3.
Et ainsi de suite, on peut trouver autant de valeurs de f que l'on veut. Par conséquent, f, si elle existe, est unique.
Ainsi, il suffit de deviner une fonction f qui vérifie l'EF et celle-ci serait la seule solution dans ce cas.
Cette fonction est f(n) = [na] + 1, où [.] désigne la fonction partie entière, et a est le nombre d'or.

nmo a écrit:

Le troisième cas B=2 et A=0.
Donc h(h(0))=2 et h(1)=0.

- Si h(0) = 0, alors h(h(0))=h(0)=0, or h(h(0))=2, donc contradiction.
- Si h(0) = 1, alors h(h(0))=h(1)=0, or h(h(0))=2, donc contradiction.
De fait, h(0)>=2.
Pour n=1 dans l'EF, il vient h(h(1))+h(2)=3, donc h(0)+h(2)=3, donc h(0)<=3
Par conséquent, soit h(0)=2, soit h(0)=3.
- Si h(0)=2, alors h(2)=3-h(0) = 1, et d'un autre côté, 2 = h(h(0))=h(2), donc contradiction.
Par conséquent, h(0) = 3.
Ainsi, h(2)=0, et h(h(2))=h(0)=3, et h(3)=h(h(0))=2.
Pour n=2 dans l'EF, il vient h(h(2))+h(3)=4, donc h(3)=4-h(h(2))=1, donc contradiction.
f n'existe pas dans ce cas.

nmo a écrit:

Conclusion:

La seule fonction qui vérifie l'EF est : f(n) = [na] + 1, où [.] désigne la fonction partie entière, et a est le nombre d'or.

Dijkschneier a écrit:

La fonction que tu as trouvée, nmo, vérifie-t-elle vraiment l'EF ? Tu es très proche, cependant.

Oui, elle la vérifie.
Je l'ai testé personnellement.

Dijkschneier a écrit:

Et ainsi de suite, on peut trouver autant de valeurs de f que l'on veut. Par conséquent, f, si elle existe, est unique.
Ainsi, il suffit de deviner une fonction f qui vérifie l'EF et celle-ci serait la seule solution dans ce cas.
Cette fonction est f(n) = [na] + 1, où [.] désigne la fonction partie entière, et a est le nombre d'or.

Bien, je n'ai jamais imaginé qu'elle contient la fonction partie entrière.
Le résultat trouvé prouve aussi la croissance de cette fonction.

nmo a écrit:

Oui, elle la vérifie.
Je l'ai testé personnellement.

Je n'en suis pas si sûr. Réessaie, s'il-te-plait.

nmo a écrit:

Bien, je n'ai jamais imaginé qu'elle contient la fonction partie entrière.
Le résultat trouvé prouve aussi la croissance de cette fonction.

Bien sûr, a posteriori, on a la croissance de f. Mais a priori, rien ne nous pousse à admettre que f est croissante.

Dijkschneier a écrit:

nmo a écrit:

Oui, elle la vérifie.
Je l'ai testé personnellement.

Je n'en suis pas si sûr. Réessaie, s'il-te-plait.

nmo a écrit:

Bien, je n'ai jamais imaginé qu'elle contient la fonction partie entrière.
Le résultat trouvé prouve aussi la croissance de cette fonction.

Bien sûr, a posteriori, on a la croissance de f. Mais a priori, rien ne nous pousse à admettre que f est croissante.

Je suis tellement sûr que la fonction que j'ai trouvé vérifie l'équation fonctionelle.
Cela n'est pas important, car ta réponse est juste.
Il vaut mieux passer à l'exercice suivant.

nmo a écrit:

Je suis tellement sûr que la fonction que j'ai trouvé vérifie l'équation fonctionelle.
Cela n'est pas important, car ta réponse est juste.
Il vaut mieux passer à l'exercice suivant.

Si, c'est important, car ma réponse suggère que la solution est unique.

Dijkschneier a écrit:

nmo a écrit:

Je suis tellement sûr que la fonction que j'ai trouvé vérifie l'équation fonctionelle.
Cela n'est pas important, car ta réponse est juste.
Il vaut mieux passer à l'exercice suivant.

Si, c'est important, car ma réponse suggère que la solution est unique.

Bien sûr que ta solution est unique dans l'ensemble des entiers naturels.
(Pour la mienne,
Si n=0, alors h(0)=5-2V5.
Contradiction car h est définie vers IN).

Malin ! Très belle solution, dans ce cas, nmo.
Est-ce que tu peux proposer un nouvel exercice ?

Résolvez en IR l'équation suivante:
x^3+3x²+15x-99=0.
Bonne chance.
P.S: la résolution doit être inspirée des cours du tronc commun.

Re : )

nmo a écrit:

Résolvez en IR l'équation suivante:
x^3+3x²+15x-99=0.

* x^3+3x²+15x-99=0 <=> x(x²+3x+15)=99 , d'aprés Delta on voit bien que x²+3x+15 > 0 donc x > 0.
* On suppose qu'il existe une solution apartenant à IN, On a x(x²+3x+15)=99 avec x²+3x+15 est toujours impair, donc x est toujours impair! vitement 3 est une solution évidente.
* Par la dévision euclidien de x^3+3x²+15x-99 sur x-3 on aura vitement: x^3+3x²+15x-99 = (x-3)(x²+6x+33)=0 d'ou x=3 ou x²+6x+33=0 (Delta<0)

D'ou: S= {3}

M.Marjani a écrit:

Re : )

nmo a écrit:

Résolvez en IR l'équation suivante:
x^3+3x²+15x-99=0.

* x^3+3x²+15x-99=0 <=> x(x²+3x+15)=99 , d'aprés Delta on voit bien que x²+3x+15 > 0 donc x > 0.
* On suppose qu'il existe une solution apartenant à IN, On a x(x²+3x+15)=99 avec x²+3x+15 est toujours impair, donc x est toujours impair! vitement 3 est une solution évidente.
* Par la dévision euclidien de x^3+3x²+15x-99 sur x-3 on aura vitement: x^3+3x²+15x-99 = (x-3)(x²+6x+33)=0 d'ou x=3 ou x²+6x+33=0 (Delta<0)

D'ou: S= {3}

Bonsoir Marjani
tu aurais du remarquer que 3 est une solution sans cette supposition que t'as fait
de toute façon ta réponse est parfaite

Solution juste, M.Marjani, mais hasardeuse.
J'attends un exercice de ta part.
Pour le problème que j'ai proposé, il existe trois methode de résolution, la plus connue est celle de Cadran, la plus conforme aux cours de troncs commun est celle exposé par Hudde, la troisième est celle de Tartaglia.
Je vais présenté ces methodes prochaiement, surtout celle de Hudde, qui me plaît le plus.
Je vous annonce le retour du Latex.
Une énorme joie m'envahie, car je vais retourner à un style que j'aime tant.
Au plaisir.

tarask a écrit:

M.Marjani a écrit:

Re : )

nmo a écrit:

Résolvez en IR l'équation suivante:
x^3+3x²+15x-99=0.

* x^3+3x²+15x-99=0 <=> x(x²+3x+15)=99 , d'aprés Delta on voit bien que x²+3x+15 > 0 donc x > 0.
* On suppose qu'il existe une solution apartenant à IN, On a x(x²+3x+15)=99 avec x²+3x+15 est toujours impair, donc x est toujours impair! vitement 3 est une solution évidente.
* Par la dévision euclidien de x^3+3x²+15x-99 sur x-3 on aura vitement: x^3+3x²+15x-99 = (x-3)(x²+6x+33)=0 d'ou x=3 ou x²+6x+33=0 (Delta<0)

D'ou: S= {3}

Bonsoir Marjani
tu aurais du remarquer que 3 est une solution sans cette supposition que t'as fait
de toute façon ta réponse est parfaite

Oui, je l'ai remarqué du premier coup xDD, mais il fallait faire un petit analyze :s

nmo a écrit:

Solution juste, M.Marjani, mais hasardeuse.
J'attends un exercice de ta part.
Pour le problème que j'ai proposé, il existe trois methode de résolution, la plus connue est celle de cdran, la plus conforme aux cours de troncs commun et celle exposé par Hudde, la troisième est celle de Targilia.
Je vais présenté ces methodes prochaiement, surtout celle de Hudde, qui me plaît le plus.
Je vous annonce le retour du Latex.
Une énorme joie m'envahie, car je vais retourner à un style que j'aime tant.
Au plaisir.

Ce n'est jamais une methode hasardeuse.. Mais plutot intélligente selon l'idée de notre prof. Cela fait rapelle au cours des polynomes, qui existe au cours du tronc commun. Et chacun vois les choses d'un angle : )

Spoiler:

Of course:

Probléme :

Soit (x,y,z) des réels positive non nulls tel que x > y. Montrez que:



EDIT: (x,y,z) non nulls !
EDIT: (Mathlinks déconne xd)
EDIT: x>y relation évidente.

Vous ajoutez aussi:

Probléme 2 :

Proposez une formule plus simple pour calculer le nombre suivant:



Bonne chance.

M.Marjani a écrit:

Vous ajoutez aussi:

Probléme 2 :

Proposez une formule plus simple pour calculer le nombre suivant:


Bonne chance.

Ce problème se ramène à calculer la somme des nombres 1/(2i+1).
Il n'y a pas de formule générale simple pour calculer des sommes du genre.
Ainsi, la solution que l'on peut apporter reste numérique, et auquel cas, ton problème n'est pas adapté pour les troncs communs.
La section collège serait plus appropriée.
Par exemple : = 1/2 [ 1/23 + 1/25 + ... + 1/41 ]

Dijkschneier a écrit:

M.Marjani a écrit:

Vous ajoutez aussi:

Probléme 2 :

Proposez une formule plus simple pour calculer le nombre suivant:


Bonne chance.

Ce problème se ramène à calculer la somme des nombres 1/(2i+1).
Il n'y a pas de formule générale simple pour calculer des sommes du genre.
Ainsi, la solution que l'on peut apporter reste numérique, et auquel cas, ton problème n'est pas adapté pour les troncs communs.
La section collège serait plus appropriée.
Par exemple : = 1/2 [ 1/23 + 1/25 + ... + 1/41 ]

Si Dijkschneier, s'il n'était pas de formule géneral pour calculer la somme, je n'ose pas à posté cet exercise dans la section TC, surtout dans la section d'olympiade : )

Fais une autre tentative, tu peux l'inspirer.

Aprés vous laissez, je vous informe que le probléme 1 est normale, n'eloignez pas.

M.Marjani a écrit:

Probléme :

Soit (x,y,z) des réels positive non nulls tel que x >= y. Montrez que:



EDIT: (x,y,z) non nulls !
EDIT: (Mathlinks déconne xd)

De 1, on a besoin de la condition x > y (inégalité stricte).
De 2, l'inégalité est fausse.
Pff..

Dijkschneier a écrit:

M.Marjani a écrit:

Probléme :

Soit (x,y,z) des réels positive non nulls tel que x >= y. Montrez que:



EDIT: (x,y,z) non nulls !
EDIT: (Mathlinks déconne xd)

De 1, on a besoin de la condition x > y (inégalité stricte).
De 2, l'inégalité est fausse.
Pff..

Contre exemple?

Prends (x,y,z)=(4,1,1).

Dijkschneier a écrit:

Prends (x,y,z)=(4,1,1).

Faux contre exemple cher Dijkschneier. Le triplet que t'as donnée réalise l'énoncé, a toi de voir.

Sinon, x>y est évidente. Elle s'est réctifier. (Bonne remarque)

Bonne chance.