Préparations aux olympiades de première (2010-2011)

nmo a écrit:

W.Elluizi a écrit:

On obtient alors de l'inégalité triangulaire que:

Il faut le démontrer.

Pour ce faire,rien de plus simple qu'une récurrence sur n:
Admettons en un premier temps que:

donc:
Et on posant encore:
On ré-applique l'inégalité triangulaire:
Et le résultat en découle.

W.Elluizi a écrit:

nmo a écrit:

W.Elluizi a écrit:

On obtient alors de l'inégalité triangulaire que:

Il faut le démontrer.

Pour ce faire,rien de plus simple qu'une récurrence sur n:
Admettons en un premier temps que:

donc:
Et on posant encore:
On ré-applique l'inégalité triangulaire:
Et le résultat en découle.

Bien. Tu peux poster ton problème.

Je ne dispose actuellement d'aucun problème comportant de l'intérêt,donc que chacun se sente libre d'en poster un.

Je propose:
Exercice 87:
Trouvez le plus petit entier n tel que et n est compris entre 1000 et 1111.
Bonne chance.

Je parie qu'il s'agit là aussi d'un problème marocain

M.Marjani a écrit:

Dijkschneier a écrit:

d=pgcd(x,y), x=dx', y=dy'
d² | d²x'y' = xy | x²+y²-x = d²x'² + d²y'² - dx' ===> d² | dx' ===> d|x' ===> x'=dx'' ===> x=d²x''²
x | xy | x²+y²-x ===> x | y² ===> d²x'' | d²y'² ===> x'' | y'²
x'' et y'² premiers entre eux ===> x''=1
Done !

Pour quelle raison les deux naturelles x" et y'² sont premiers entre eux ?

Je crois avoir trouvé une réponse à cette question:
On pose: k=PGCD(x,y²), on a d'un côté: k=PGCD(x,y²)=PGCD(d².x'',d².y'²)=d².PGCD(x'',y'²).
Et d'un autre côté:
.
Donc x'' et y'² sont premiers entre eux.
Sauf erreur.

Pourquoi tant de peine nmo ?
Puisque x' et y' sont premiers entre eux, alors x' et y' ne partagent aucun facteur en commun, et donc leurs diviseurs à fortiori n'en partagent pas non plus !!
La morale, c'est de toujours utiliser la décomposition en facteurs premiers pour vérifier mentalement la primalité entre deux entiers...
Tout comme le ferait un algorithme simpliste...

Dijkschneier a écrit:

Je parie qu'il s'agit là aussi d'un problème marocain

Je ne suis pas au courant de sa source, mais il est ennuyeux.
Je sais la procédure de résolution, que je vais écrire après deux jours si personne ne me devance.
Et voici un problème de plus:
Problème 88:
Soit a et b deux entiers naturels tel que soit premier.
Démontrez que l'équattion n'admet pas de solutions entières.
Bonne chance.

a^2-4b-4 = p - b^2-4b-4 = p-(b+2)^2
Il faut que ce nombre soit un carré parfait CAD p = x^2+(b+2)^2 or on a déjà
p= a^2+b^2 et on sait d'après le théorème des deux carré qu'un nombre premier p =1[4] s'écris de façon unique sous la forme de deux carré
donc a = b+2 et x=b donc p = b^2+(b+2)^2 = b^2+b^2+4b+4 qui est pair et ceci est une contradiction avec le fait que p soit premier et p ne peut être égal à 2 car 2b^2+4b+4 > 2 .

Joli.

nmo a écrit:

M.Marjani a écrit:

Dijkschneier a écrit:

d=pgcd(x,y), x=dx', y=dy'
d² | d²x'y' = xy | x²+y²-x = d²x'² + d²y'² - dx' ===> d² | dx' ===> d|x' ===> x'=dx'' ===> x=d²x''²
x | xy | x²+y²-x ===> x | y² ===> d²x'' | d²y'² ===> x'' | y'²
x'' et y'² premiers entre eux ===> x''=1
Done !

Pour quelle raison les deux naturelles x" et y'² sont premiers entre eux ?

Je crois avoir trouvé une réponse à cette question:
On pose: k=PGCD(x,y²), on a d'un côté: k=PGCD(x,y²)=PGCD(d².x'',d².y'²)=d².PGCD(x'',y'²).
Et d'un autre côté:
.
Donc x'' et y'² sont premiers entre eux.
Sauf erreur.

Bien. Une bonne rédaction.

Dijkschneier a écrit:

Puisque x' et y' sont premiers entre eux, alors x' et y' ne partagent aucun facteur en commun.

C'est ce que je cherche. Si c'étaient x' et y' premiers nous dirige directement à dire que x'' et y' premiers entre eux ce que tu n'as pas supposer au début.
La solution reste trés jolie en fait.

Problème 89 :
Bon voila un lemme très intéressant :
Prouvez que PGCD ( a^n-1,a^m-1)=a^(PGCD(m,n))-1

Bien trop connu, cela dit.
Et je crois qu'il y a même une généralisation à a et b, plutôt que a et 1.

En effet c'est un incontournable , mais il serait bien dommage que d'autres ne le sache pas , au moins là tout le monde le connais

La généralisation (avec a et b premiers entre eux) est plus laborieuse cela dit.
EDIT : pas vraiment, en fait.

nmo a écrit:

Problème 88:
Soit a et b deux entiers naturels tel que soit premier.
Démontrez que l'équattion n'admet pas de solutions entières.
Bonne chance.

Je procède par absurde:
Supposons que l'équation admette deux solutions entières et .
Alors, on aura: et . Et puis:
.
Et puisque 0 n'est pas une solution à l'équation, alors et .
Soit et ou encore et .
Ce qui veut bien dire que est composé, en contradiction avec les données.
On en conclut que l'equation n'admet pas de solutions entières.
Sauf erreur.

Voici un exercice que j'ai inventé:
Problème 90:
Soit E un ensemble à entiers non-nuls et inférieurs ou égaux à .
(n est un entiers non nul, m est inférieur à ).
Démontrez qu'il existe au moins deux entiers de l'ensmble E tel que leurs différence vaut .
(((Par exemple, E est l'ensemble composé de 57 (50*1+7) entiers non-nuls et inférieurs ou égaux à 100 (100*1).
Le but de l'exercice est de démontrer qu'il existe deux entiers de l'ensemble E tesl que leurs différences vaut 13 (2*7-1).)))
Bonne chance.
P.S:Je ne dispose pas de la solution du problème, ce ne sont que des remarques qui m'ont guidé à ce résultat.
Amusez vous bien à faire cet exercice.

Bonjour                                                                                                                                                                                                                                             Voici ma réponse pour le problème 87                                                                                                                                                                                        On a : 1111≡ 1 [10] ; 1222≡ 2 [10] ; 1333≡ 3 [10] ; 1444≡ 4 [10]
Donc : 1111^n≡ 1 [10] ; 1222^n≡ 2^n [10] ; 1333^n≡ 3^n [10] ; 1444^n≡ 4^n [10]
 1111^n+1222^n+1333^n+1444^n ≡ 1+2^n+3^n+4^n [10]
Démonstration par disjonction des cas :
• n= 4k
2^4≡ 6 [10] ; 3^4≡ 1 [10] ; 4^4≡ 6 [10]
2^n≡ 6^k [10] ; 3^n≡ 1 [10] ; 4^n≡ 6^k [10]
1+2^n+3^n+4^n≡ 2(1+6^k) [10]                                                                                                                                                                                           On remarque que : 6² ≡ 6 [10] ; 6^3 ≡ 6 [10] ; 
Supposons que 6^k≡ 6 [10] Et démontrons que : 6^k+1 ≡ 6 [10] ∀k∊ℕ
6^(k+1) – 6 = 6(6^k-1) = 6(10k+6-1)= 6Ok+30 = 10(6k+3) = 10 K / K=6k+3
⇒ 6^(k+1) – 6 ≡ 0 [10] ⇒ 6^(k+1)≡ 6 [10]
6^k ≡ 6 [10] ⇒ 2(6^k + 1) ≡ 4 [10] ⇒ 1+2^n+3^n+4^n≡ 4 [10]⇒ 1111^n+1222^n+1333^n+1444^n ≡ 4 [10]

• n= 4k+1
2n= 2.6^k [10] ; 3^n≡ 3 [10] ; 4n≡ 4.6^k [10] 
1+2^n+3^n+4^n≡ 4+6.6^k [10] et on a 6^k ≡ 6 [10] ⇒ 6.6^k + 4 ≡ 0 [10]
Donc 1+2^n+3^n+4^n≡ 0 [10] ce qui implique 1111^n+1222^n+1333^n+1444^n ≡ 0 [10]
• n= 4k+2
2^n= 4.6^k [10] ; 3^n≡ -1 [10] ; 4^n≡ 6.6k [10] 
1+2^n+3^n+4^n≡ 10.6^k [10]≡ 0 [10] ⇒ 1111^n+1222^n+1333^n+1444^n ≡ 0 [10]
• n= 4k+3
2^n= 8.6^k [10] ; 3^n≡ -3 [10] ; 4^n≡ 4.6^k [10] 
1+2^n+3^n+4^n≡ -2+12.6^k [10] ≡ 2(-1+ 6^(k+1)) et on a 6^k ≡ 6 [10] ⇒ 6^(k+1) ≡ 6 [10]⇒ -1 + 6^(k+1)≡ 5 [10] ⇒2(-1+ 6^(k+1))≡ 0 [10]⇒1+2^n+3^n+4^n ≡ 0 [10]⇒ 1111^n+1222^n+1333^n+1444^n ≡ 0 [10]                                                                                                                                                                                            10|1111^n+1222^n+1333^n+1444^n ⇔ n= 4k+1 ; n= 4k+2 ; n= 4k+3 / k∊ℕ
Cherchons le plus petit nombre n / 1000 ≤ n ≤ 1111
Le plus petit n : n = 4k+1
1000= 4.250 donc n(min)= 4.250+1 
n(min)= 1001                                                                                                                                                                                                                          Amicalement

Salut scp je veux la solution de cette olimpiades meme si l'ex est facil postez svp la réponse !!
1) Resoudre en IR le systeme :
x^3 + x^2 =2
x^2+ xy +y^2 -y=0
2)soient x et y deux reels strictement positifs tels que x+y=8
Prouvez que (x+1/y)^2 +(y+1/x)^2 >= 289/8
3) Soit ABC un triangle dont l'angle c mesure 60 degre
prouvez que AB/BC +AB/CA >=2
4) Soit ABCD un trapeze de bases [AB] et [CD] dont les diagonales se coupent en O. On désigne par a et b les aires des triangles OAB et OCD.
Calculez l'aire du trapeze en fonction de a et b
Merci
P.s j'aimerai qu on me dise pas que cet exercise est deja fait sinon me dire la page ou il est fai

jai besoin des reponses Urgent!

kaj mima a écrit:

Bonjour                                                                                                                                                                                                                                             Voici ma réponse pour le problème 87                                                                                                                                                                                        On a : 1111≡ 1 [10] ; 1222≡ 2 [10] ; 1333≡ 3 [10] ; 1444≡ 4 [10]
Donc : 1111^n≡ 1 [10] ; 1222^n≡ 2^n [10] ; 1333^n≡ 3^n [10] ; 1444^n≡ 4^n [10]
 1111^n+1222^n+1333^n+1444^n ≡ 1+2^n+3^n+4^n [10]
Démonstration par disjonction des cas :
• n= 4k
2^4≡ 6 [10] ; 3^4≡ 1 [10] ; 4^4≡ 6 [10]
2^n≡ 6^k [10] ; 3^n≡ 1 [10] ; 4^n≡ 6^k [10]
1+2^n+3^n+4^n≡ 2(1+6^k) [10]                                                                                                                                                                                           On remarque que : 6² ≡ 6 [10] ; 6^3 ≡ 6 [10] ; 
Supposons que 6^k≡ 6 [10] Et démontrons que : 6^k+1 ≡ 6 [10] ∀k∊ℕ
6^(k+1) – 6 = 6(6^k-1) = 6(10k+6-1)= 6Ok+30 = 10(6k+3) = 10 K / K=6k+3
⇒ 6^(k+1) – 6 ≡ 0 [10] ⇒ 6^(k+1)≡ 6 [10]
6^k ≡ 6 [10] ⇒ 2(6^k + 1) ≡ 4 [10] ⇒ 1+2^n+3^n+4^n≡ 4 [10]⇒ 1111^n+1222^n+1333^n+1444^n ≡ 4 [10]

• n= 4k+1
2n= 2.6^k [10] ; 3^n≡ 3 [10] ; 4n≡ 4.6^k [10] 
1+2^n+3^n+4^n≡ 4+6.6^k [10] et on a 6^k ≡ 6 [10] ⇒ 6.6^k + 4 ≡ 0 [10]
Donc 1+2^n+3^n+4^n≡ 0 [10] ce qui implique 1111^n+1222^n+1333^n+1444^n ≡ 0 [10]
• n= 4k+2
2^n= 4.6^k [10] ; 3^n≡ -1 [10] ; 4^n≡ 6.6k [10] 
1+2^n+3^n+4^n≡ 10.6^k [10]≡ 0 [10] ⇒ 1111^n+1222^n+1333^n+1444^n ≡ 0 [10]
• n= 4k+3
2^n= 8.6^k [10] ; 3^n≡ -3 [10] ; 4^n≡ 4.6^k [10] 
1+2^n+3^n+4^n≡ -2+12.6^k [10] ≡ 2(-1+ 6^(k+1)) et on a 6^k ≡ 6 [10] ⇒ 6^(k+1) ≡ 6 [10]⇒ -1 + 6^(k+1)≡ 5 [10] ⇒2(-1+ 6^(k+1))≡ 0 [10]⇒1+2^n+3^n+4^n ≡ 0 [10]⇒ 1111^n+1222^n+1333^n+1444^n ≡ 0 [10]                                                                                                                                                                                            10|1111^n+1222^n+1333^n+1444^n ⇔ n= 4k+1 ; n= 4k+2 ; n= 4k+3 / k∊ℕ
Cherchons le plus petit nombre n / 1000 ≤ n ≤ 1111
Le plus petit n : n = 4k+1
1000= 4.250 donc n(min)= 4.250+1 
n(min)= 1001                                                                                                                                                                                                                          Amicalement

Oui c'est ça ce que j'avais en tête.
Bravo, c'est une belle solution.

darkpseudo a écrit:

Problème 89 :
Bon voila un lemme très intéressant :
Prouvez que PGCD ( a^n-1,a^m-1)=a^(PGCD(m,n))-1

Puisque le PGCD est strictement positif, il faut ajouter à l'exercice la condition a>1, ainsi que m et n sont des entiers.
A moi de le démontrer:
Par symétrique des rôles, mon étude comporte deux cas, ou bien n divise m, ou bien m et n sont premiers entre eux.
Cas premier: .
On a .
Démontrons tout d'abord qu'on a , en effet:
.
Donc .
On a d'un côté , alors .
Et d'un autre côté , alors .
On peut affirmer que .
Cas second: m et n sont premiers entre eux.
Puisque m et n sont premiers entre eux, on a et on suppose que n>m.
On doit alors démontrer que .
Par ailleurs: .
Et pour simplifier, on écrit: .
Par équivalence, on démontre que .
Donc .
Soit .
On utilise pour démontrer ce fait, l'algorithme d'Euclide:
Puisque n>m, on pose n=m+r tel que r est strictement positif et r est inférieur à m.
Il s'agit là de la division euclédienne de n par m. On a:
.
Soit .
Ainsi: .
On itère ce processus plusieurs fois, jusqu'à un reste qui vaut 1, car PGCD(m,n)=1
Appelon ce reste t (t=1), et le reste qui le précède s.
On aura: .
Avec .
Et par conséquent, .
Soit .
CQFD.
Sauf erreur.
J'attends une confirmation.

J'atten une réponse a mon olimpiade svp

nmo a écrit:

kaj mima a écrit:

Bonjour                                                                                                                                                                                                                                             Voici ma réponse pour le problème 87                                                                                                                                                                                        On a : 1111≡ 1 [10] ; 1222≡ 2 [10] ; 1333≡ 3 [10] ; 1444≡ 4 [10]
Donc : 1111^n≡ 1 [10] ; 1222^n≡ 2^n [10] ; 1333^n≡ 3^n [10] ; 1444^n≡ 4^n [10]
 1111^n+1222^n+1333^n+1444^n ≡ 1+2^n+3^n+4^n [10]
Démonstration par disjonction des cas :
• n= 4k
2^4≡ 6 [10] ; 3^4≡ 1 [10] ; 4^4≡ 6 [10]
2^n≡ 6^k [10] ; 3^n≡ 1 [10] ; 4^n≡ 6^k [10]
1+2^n+3^n+4^n≡ 2(1+6^k) [10]                                                                                                                                                                                           On remarque que : 6² ≡ 6 [10] ; 6^3 ≡ 6 [10] ; 
Supposons que 6^k≡ 6 [10] Et démontrons que : 6^k+1 ≡ 6 [10] ∀k∊ℕ
6^(k+1) – 6 = 6(6^k-1) = 6(10k+6-1)= 6Ok+30 = 10(6k+3) = 10 K / K=6k+3
⇒ 6^(k+1) – 6 ≡ 0 [10] ⇒ 6^(k+1)≡ 6 [10]
6^k ≡ 6 [10] ⇒ 2(6^k + 1) ≡ 4 [10] ⇒ 1+2^n+3^n+4^n≡ 4 [10]⇒ 1111^n+1222^n+1333^n+1444^n ≡ 4 [10]

• n= 4k+1
2n= 2.6^k [10] ; 3^n≡ 3 [10] ; 4n≡ 4.6^k [10] 
1+2^n+3^n+4^n≡ 4+6.6^k [10] et on a 6^k ≡ 6 [10] ⇒ 6.6^k + 4 ≡ 0 [10]
Donc 1+2^n+3^n+4^n≡ 0 [10] ce qui implique 1111^n+1222^n+1333^n+1444^n ≡ 0 [10]
• n= 4k+2
2^n= 4.6^k [10] ; 3^n≡ -1 [10] ; 4^n≡ 6.6k [10] 
1+2^n+3^n+4^n≡ 10.6^k [10]≡ 0 [10] ⇒ 1111^n+1222^n+1333^n+1444^n ≡ 0 [10]
• n= 4k+3
2^n= 8.6^k [10] ; 3^n≡ -3 [10] ; 4^n≡ 4.6^k [10] 
1+2^n+3^n+4^n≡ -2+12.6^k [10] ≡ 2(-1+ 6^(k+1)) et on a 6^k ≡ 6 [10] ⇒ 6^(k+1) ≡ 6 [10]⇒ -1 + 6^(k+1)≡ 5 [10] ⇒2(-1+ 6^(k+1))≡ 0 [10]⇒1+2^n+3^n+4^n ≡ 0 [10]⇒ 1111^n+1222^n+1333^n+1444^n ≡ 0 [10]                                                                                                                                                                                            10|1111^n+1222^n+1333^n+1444^n ⇔ n= 4k+1 ; n= 4k+2 ; n= 4k+3 / k∊ℕ
Cherchons le plus petit nombre n / 1000 ≤ n ≤ 1111
Le plus petit n : n = 4k+1
1000= 4.250 donc n(min)= 4.250+1 
n(min)= 1001                                                                                                                                                                                                                          Amicalement

Oui c'est ça ce que j'avais en tête.
Bravo, c'est une belle solution.

Merci, c'est gentil

En attendant, je postes cette petite inégalité :
Problème 91 :
Soit x,y,z des réels strictement positives.
Prouvez que :