Préparations aux olympiades de tronc commun (2010-2011)

qui veut une solution plus claire et plus detaille le demande,je le posterai tout de suite.
amicalement Very Happy

pour l'exo 72:
on pose x=a+b-c et y=a-b+c et z=-a+c+b ainsi on a x+y=2a et y+z=2c et z+x=2b
on a x+y>=2Vxy
et y+z>=2Vyz ainsi on a (x+y)(y+z)(z+x)>=8xyz
et x+z>=2Vxz
on remplace par a et b et c et on obtient abc>=(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)
C.Q.F.D.
sauf erreur
amicalement:D

yasserito a écrit:: pour l'exo 72:
on pose x=a+b-c et y=a-b+c et z=-a+c+b ainsi on a x+y=2a et y+z=2c et z+x=2b
on a x+y>=2Vxy
et y+z>=2Vyz ainsi on a (x+y)(y+z)(z+x)>=8xyz
et x+z>=2Vxz
on remplace par a et b et c et on obtient abc>=(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)
C.Q.F.D.
sauf erreur
amicalement:D

je crois que vous devez dire que a+b>c et a+c>b et b+c>c et a,b,c >0. ainsi
tu peux dire seulement que a et b et c sont des longueurs d'un triangle(je crois!)
sauf erreur
amicalement Very Happy

Féru Nombre de messages : 68 Age : 30 Date d'inscription : 30/11/2010

Dans le probleme 71,
(V2;V2) et (-V2;-V2) et (V2;-V2) et (-V2;V2) ne seraient pas des solutions de l'équation ?
Amicalement Smile

oui, oui ils le sont je m'attendais que quelqun le constate je vais poster ma solution de l'exercice 71. Very Happy

P.S:je veux avoir une rectification de ma reponse au probleme 72
amicalement:D

Expert sup Nombre de messages : 521 Age : 29 Date d'inscription : 23/12/2010

t'as reponse est bonne Very Happy

Expert sup Nombre de messages : 521 Age : 29 Date d'inscription : 23/12/2010

EXO 73: Dans le plan on se donne un disque fermé de rayon 1 ;et on supose qu'il contient sept points dont les distances mutuelles sont toues >=1,
prouver que le centre du disque est l'un de ces point .
AMICALEMENT Very Happy

boubou math a écrit:: EXO 73: Dans le plan on se donne un disque fermé de rayon 1 ;et on supose qu'il contient sept points dont les distances mutuelles sont toues >=1,
prouver que le centre du disque est l'un de ces point .
AMICALEMENT

c'est a moi le tour de poser une exo(les regles);mais pas grave on commence par le tien !

Expert sup Nombre de messages : 521 Age : 29 Date d'inscription : 23/12/2010

ok dzl je suis nouveau dans ce forum Very Happy

Expert sup Nombre de messages : 521 Age : 29 Date d'inscription : 23/12/2010

Demain je vais passer les olympiades (souhaitait moi bonne chance ) n’hésitez po a donner des conseil Very Happy

Expert sup Nombre de messages : 521 Age : 29 Date d'inscription : 23/12/2010

personne ...?

je sais que cest trop tard mais jsute pour te faire plaisir ''bonne chance'' hh Very Happy

Expert sup Nombre de messages : 521 Age : 29 Date d'inscription : 23/12/2010

merci

mais personne n'a su la réponse
d'exo 73 Very Happy

Expert sup Nombre de messages : 521 Age : 29 Date d'inscription : 23/12/2010

si personne ne poste la reponse a 20h je vais la posté Very Happy

Expert sup Nombre de messages : 521 Age : 29 Date d'inscription : 23/12/2010

exo73:
ON designe par O le centre du disque et par A1 A2 A3 ....A7 les 7 points .
si aucun de ces point n'est le centre du disque , alors le plus petit parmi les angles AiôAj est strictement inférieur a 60 . soit alors A b les point correspondent a cet angle
on applique le theorem kashi
AB²=OA²+OB²-2OA.OB.COS(aôb)
d'ou AB<1 contradiction
AMICALEMENT Very Happy

Expert sup Nombre de messages : 521 Age : 29 Date d'inscription : 23/12/2010

j'attend vos confirmation Very Happy

Expert sup Nombre de messages : 521 Age : 29 Date d'inscription : 23/12/2010

trouvez tous les polynômes P tel que (x-8)P(2x)=8(x-1)P(x) (coefficient dans IR )

Problème déjà proposé (dans ce sujet)

Maître Nombre de messages : 235 Age : 28 Date d'inscription : 26/12/2010

Propose un autre exo!!!!!!

Expert sup Nombre de messages : 521 Age : 29 Date d'inscription : 23/12/2010

donnez moi le lien svp

Expert sup Nombre de messages : 521 Age : 29 Date d'inscription : 23/12/2010

exo 74
Trouver tous les nombre p et q dans IN TEL que 3p²+5pq+q² soit premier

https://mathsmaroc.jeun.fr/t17170p120-preparations-aux-olympiades-de-tronc-commun-2010-2011

pco a écrit:: Bonjour,

L'équation est (x-16)P(2x)=16(x-1)P(x)

L'astuce sur ce genre de question est de travailler sur les racines du polynôme et de vérifier qu'il ne peut y en avoir une infinité (sauf si c'est le polynôme nul).

Constatons d'abord que le seul polynôme constant qui vérifie l'équation est P(x)=0 pout tout x.

Si le polynôme n'est pas constant et qu'il est de degré n>0, il possède donc exactement n racines réelles ou complexes (en comptant autant de fois que nécessaire les racines multiples).

Soit donc z une de ces racines.
En faisant x=z dans (x-16)P(2x)=16(x-1)P(x), on trouve (z-16)P(2z)=0

Donc, si z différent de 16 est racine, 2z est racine
Donc si z différent de 16/2^n (n entier naturel positif ou nul) est racine, on a une infinité de racines (2^pz pour tout p>=0) et le polynome est identiquement nul (seul le polynôme identiquement nul a une infinité de racine).

Les racines de P(x) ne peuvent donc être que 16/2^n avec n>=0

En faisant maintenant x=z/2 dans (x-16)P(2x)=16(x-1)P(x), on trouve (z/2-1)P(z/2)=0
Donc, si z différent de 2 est racine, z/2 est racine
Donc si z différent de 2.2^n (n entier naturel positif ou nul) est racine, on a une infinité de racines (z/2^p pour tout p>=0) et le polynome est identiquement nul (seul le polynôme identiquement nul a une infinité de racine).

Les racines de P(x) ne peuvent donc être que 2.2^n avec n>=0

Les racines sont donc à la fois de la forme 16/2^p avec p>=0 et de la forme 2.2^q avec q>=0

Les racines ne peuvent donc être que 2,4,8,16.
Et donc P(x)=u(x-2)^a(x-4)^b(x-8 )^c(x-16)^d

L'équation devient alors
u(x-16)(2x-2)^a(2x-4)^b(2x-8 )^c(2x-16)^d=16u(x-1)(x-2)^a(x-4)^b(x-8 )^c(x-16)^d

Soit encore :

2^(a+b+c+d)u(x-1)^a(x-2)^b(x-4)^c(x-8 )^d(x-16)=16u(x-1)(x-2)^a(x-4)^b(x-8 )^c(x-16)^d

et donc une simple identification donne a=b=c=d=1

Et P(x)=u(x-2)(x-4)(x-8 )(x-16)

PS: C'est bien une équation fonctionnelle puisque c'est une équation dont l'inconnue est la fonction P(x).

Expert sup Nombre de messages : 521 Age : 29 Date d'inscription : 23/12/2010

Merci

Expert sup Nombre de messages : 521 Age : 29 Date d'inscription : 23/12/2010

PS : j'ai po la reponse

Expert sup Nombre de messages : 521 Age : 29 Date d'inscription : 23/12/2010

vous passez la 2 eme phase quand ?

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