Préparation TSM:: L-1/Limites et continuité:p/Exercices.

Je vais vous choisir les exercices les plus intéressants .
La continuité sur un intervalle:
Exercice 30:

Spoiler:

Exercice 33:

Spoiler:

Je vais vous postuler la solution des 2 exercices .On va pas faire les exercices du TVI qui sont faciles à saisir .On passera directement à quelques limites astucieuses.
Solution pour l'exercice 30:

Spoiler:

Solution pour l'exercice 33:

Spoiler:

On en a donc finit avec la lecon et ses exercices d'application, on passe maintenant aux exercices de renforcement des acquis .
Commencons par les exercices des limites.

Exercice 44 :
Soit f et g deux fonctions définies sur IR+* comme suivi :




Démontrez que lim quand x tend vers +oo de ( f(x) - g(x) ) = +oo

Exercice 45 :
Soit n de IN*. Calculez, en fonction de n ce qui suit :



Exercice 46 :
Déterminez pour tout n de IN*, la limite suivante :

Solution pour l'exercice 46:


On pose

Donc:

Pour l'exercice 47 sa solution se trouve dans le livre page 311.

Exercice 48:
Calculer pour tout n de N* les limites suivantes:

La solution est juste , on passe a la deuxième

Voilà pour vous la solution de la 2ème limite de l'exercice 48 :



MESSAGE EDITE : Pour la ligne de la factorisation il y a une toute petite erreur de saisie c'est :
1^n - cos^n (ax)= (1-cos ax)(1+cos²ax+...+cos^(n) ax )

Je vois que c'est juste .

Exercice 49:

Soit f la fonction définie Sur R par: f(x)=sinx
Pour tout n de N* on pose:

Prouver que:

Solution pour 49:
On raisonne par récurrence:
Pour n=1

ce qui est juste.
Supposons alors que :

Et prouvons sa vérité pour n+1.


D'où la conclusion.

Solution cohérente et juste , encore 13 exercices :chaud: , exercice 50 maintenant .

Exercice 50:
Soit f la fonction numérique définie par :

Solution pour 50:

pour n=1
on voit que c'est vrai
Alors nous supposons que

Et prouvons donc sa vérité pour n+1:

D'où la conclusion.

Meme technique que pour l'exo 49, pour etre plus sur d'obtenir 100% de la note lors de la rédaction dans un exam pour un exercice comme ca, calculer lim f'(x) /x pour trouver 9 avant d'entamer la récurrence, réponse juste sinon .

Exercice 51:
Soient des réels tel que:

Calculer la limite:



On espère une participation des forumistes dans les jours qui restent avant la rentrée .

Bonjour les amis

si vous permettez, je me suis demandée si on pourrait passer à l'arithmétique, qui formule un chapitre assez intéressant et qui nécessite un peu plus de réflexion, enfin, les fonctions aussi, juste que pour ces dernières, une fois le cours de son prof saisi, les exercices se répétent et deviennent un jeu d'enfant.
Qu'en dites-vous?
Shall we attack arithmetics?

P.S: je suis désolée si j'interrompe le jeu de fonctions.

Merci.

Amicalement

L'arithmétique est le dernier chapitre du deuxième semestre :/ , il nous reste 6/7 exos pour cette lecon qu'on compte finir ce soir inchalah, je me demandais si ca ne serait pas plus interessant de s'attaquer aux nombres complexes qui nécéssiterait de la réfléxion vu qu'on a jamais eu des informations ou alors les suites pour etre paré pour le programme de l'année prochaine .
J'attends ta réponse kaj ! amicalement .

Solution pour 51:

On a:

Donc:

kaj mima a écrit:

Bonjour les amis

si vous permettez, je me suis demandée si on pourrait passer à l'arithmétique, qui formule un chapitre assez intéressant et qui nécessite un peu plus de réflexion, enfin, les fonctions aussi, juste que pour ces dernières, une fois le cours de son prof saisi, les exercices se répétent et deviennent un jeu d'enfant.
Qu'en dites-vous?
Shall we attack arithmetics?

P.S: je suis désolée si j'interrompe le jeu de fonctions.

Merci.

Amicalement

L'arithmétique est une leçon très intéressante en plus il est nécessaire de l'entamer au cadre des préparations pour les olympiades .
Alors après qu'on finisse les limites et continuité on se lancera Inchallah dans l'arithmétique.

Mim a écrit:

L'arithmétique est le dernier chapitre du deuxième semestre :/ , il nous reste 6/7 exos pour cette lecon qu'on compte finir ce soir inchalah, je me demandais si ca ne serait pas plus interessant de s'attaquer aux nombres complexes qui nécéssiterait de la réfléxion vu qu'on a jamais eu des informations ou alors les suites pour etre paré pour le programme de l'année prochaine .
J'attends ta réponse kaj ! amicalement .

Pour info, le fait que l'arithmétique soit le dernier chapitre m'a poussé à suggérer une telle idée, vu que c'est très intéressant, et qu'on ne trouve pas beacoup de temps à le travailler en fin d'année! Enfin, ça reste mon opinion.
Et l'année est bien longue pour travailler (inchaallah)
En tout cas, bonne chance à tout le monde

expert_run a écrit:

L'arithmétique est une leçon très intéressante en plus il est nécessaire de l'entamer au cadre des préparations pour les olympiades .
Alors après qu'on finisse les limites et continuité on se lancera Inchallah dans l'arithmétique.

Si, si, bon inchaallah ...

solution juste ! ( petit rappel dans l'énoncé c'est noté que aplha + beta =/= Kpi ) !

Continuons donc avec les exercices les plus intéressants.
Exercice 59:
Soit f une fonction continue sur R et périodique. Prouver que f est bornée sur R.

Exercice 64:
f et g sont deux fonctions définies sur un intervalle ouvert I et X_{0} appartient à I
tel que f est bornée sur I est non continue en X_{0}.
Prouver que fg est continue en X_{0} si et seulement si g(X_{0})=0
Exercice 65:
Déterminer toutes les fonctions f continues sur R tel que:

Exercice 66:
Soit f une fonction numérique définie sur R tel que:

Prouver que si f est continue en 0; alors elle est continue sur R.

Solution pour 59:
f est continue sur R est périodique de période T.
donc f(R)=f([0;T]) et puisque f est continue sur R on aura f([0;T))= [m;M] avec M et m des réels
Alors f(R)=[m;M] d'où la conclusion .
Solution pour 64:
Dans le cas de cet exercice on doit montrer que:

Commençons par la première implication:
(car g est continue en X_{0}.)
Alors puisque f est bornée en non continue en X_{0}.
On aura g(X_{0})=0
Réciproquement .
Si g(X_{0})=0

D'où la conclusion.