Préparation TSM:: L-1/Limites et continuité:p/Exercices.

Hamouda a écrit:

Je pense que l'exercice 96 est faux. Si les deux fonctions se coupe en un point appartenant à (OX). Donc il faut ajouter que f(x)#0

Oui t'a raison. Il y en a des moult d'erreurs dans le livre . Je vais éditer.

Solution 96: ( f(x)#0)

Montrons que f(x)>0 ou f(x)<0

Supposons par l'absurde qu'ils existent a et b de I tel que: f(a)<0

EDIT: Il y a un prob avec ce forum... quand il n'a pas assez de place pour un message, au lieu de passer à une nouvelle page, il supprime tout simplement les lignes pour lesquels il n'a pas trouvé de place

Solution 96: ( f(x)#0)

Montrons que f(x)>0 ou f(x)<0

Supposons par l'absurde qu'ils existent a et b de I tel que: f(a)<0<f(b)

Donc: f(a).f(b)<0 et f est continue sur I.
Alors selon TVI, il existe un c de I tel que f(c)=0, chose qui est contradictoire avec le fait que f(x)#0.

Donc: f(x)>0 ou f(x)<0 et par symétrie g(x)>0 ou g(x)<0
Alors: pour tout a et b de I f(a).f(b)>0 et g(a).g(b)>0

Montrons que f=g ou f=-g

Supposons par l'absurde qu'ils existent c et d de I tel que f(c) = g(c) et f(d)=-g(d)

Donc f(c).f(d)=-g(c).g(d), chose qui est contraditoire puisque: f(c).f(d)>0 et -g(c).g(d)<0

D'où la conclusion

expert_run a écrit:

manazerty a écrit:

oui,mais il y a écris "au moins une solution"
donc si je ne me trompe
en posant:
f(x)=(x²-2x+1)/x+2
on aura ,f(x)=x ==> x=1/4>0
??

La question est de montrer que pour toute fonction vérifiant les conditions de l'exercice
l'équation f(x)=x admet au moins une solution.
Le truc que t'avait dis rend l'exercice banale alors que lui il figure parmi les exercices qui demande un peu de réflexion.

c'est vrai,en y repensant, je vois que t' avait plutot raison.

pfffffff... il y a un problème dans l'exercice 97 aussi...

f(x)=x ...

C'est trop énervant de se casser la tête avec des exercices qui sont faux...

Je pense qu'on bcp trop travaillé cette leçon. N'est-il pas temps de passer à quelque chose de plus intéressant?

Exercice 98:
f(x)=x+1

PS: ce forum n'arrête pas de supprimer la majeure partie de mes messages

Solution pour le problème 95:

On fixe t sur 1 donc on aura 0=<x<y<z<1
Pour x €[0;1[
(Puisque f est croissante)
Alors:


Donc f est continue à gauche de y ------------ (1)
Il nous reste à prouver que f est continue à droite de y.
Alors on réordonne autrement les nombres y et z tq: 0=<y<x<z<1

Donc

Alors:

Donc f est continue à droite de y -------- (2)
Enfin on étudie la continuité en 1 :
donc en remplaçant y par 1 dans le premier cas on déduit que f est continue à gauche de 1
Et pour le deuxieme cas en déduit que f peut être non continue à droite de 1. --------(3)

De (1) ;(2) et (3) on déduit que f est continue sur [0;1[
CQFD

....

Hamouda a écrit:

pfffffff... il y a un problème dans l'exercice 97 aussi...

f(x)=x ...

C'est trop énervant de se casser la tête avec des exercices qui sont faux...

Je pense qu'on bcp trop travaillé cette leçon. N'est-il pas temps de passer à quelque chose de plus intéressant?

Oui ils ont une faute sans doute je vais rectifier l'énoncé de l'exercice.

Pour cette leçon il nous reste que 3 ou 2 exercices à résoudre (+93 que j ai pas encore trouver sa réponse)

Solution de l'exercice 97:
Pour tt x€IR on a f(|x|)=|f(x)|
==>f(|-x|)=|f(-x)|= f(|x|)=|f(x)|
Donc f(-x)^2=f(x)^2
Et puisque f est continue sur IR et selon l'exercice 96.
On a : [ pour tt x€IR f(x)=f(-x)] ou [ pour tt x€IR f(x)=-f(-x)]
Donc pour tout x de IR f est soit pair soit impair .
On suppose que f est impair donc f(0)=0 ce qui est contradictoire avec le faite que f(|x|)>0
Et puisque f n'est pas impaire alors elle est surement paire .
Solution de l'exercice 98:

On pose f(x)=x+a avec a€R*+ donc f est continue sur [0;2pi[ ; non constante et différente de la fonction x-->x.
Donc pr tt (x;y)€ [0;2pi[ cos(x-y)=<cos(f(x)-f(y))=cos(x-y)
CQFD

Archive des exercices non résolus :

ali-mes a écrit:

Exercice 1:

Etudier la continuité de la fonction f définie sur l'intervalle ]0,1] tel que:




tel que p/q est la forme réduite du rationnel x.


Exercice 2:

Montrer que la fonction f tel que:




n'admet pas de limite dans aucun point de .

Exercice 3:

Etudier la continuité de la fonction définie de IR-{-1} vers IR tel que:

.

expert_run a écrit:

Exercice 93:
f est une fonction numérique définie sur [0;1] et f(1)<0<f(0)
On suppose qu'il existe une fonction numérique g continue sur [0;1] tq f+g est croissante.
Prouver qu'il existe c €[0;1] tq: f(c)=0

Si un modérateur passe par là, j'aimerais demander que ce sujet soit transféré dans le topic "TSM" car au début de l'année scolaire si des elèves veulent consulter les exercices, c'est là bas qu'ils iront et ce sujet pourrait ne pas rester d'actualités avec les messages des prochains elèves de première .

J'ouvre un nouveau sujet dans le dossier TSM concernant une autre lecon, si quelqu'un a la solutions pour les exos archivés sans solutions , qu'il n'hésite pas a les mettre a disposition .

bonjour les gas!
un ptit exo dans la derivé :
determinez a et b pr ke f soit 9abila lichti9a9 dans R tel ke :
f(x)=x²+x+1 x=<0
f(x)=ax+b x>0

P.S : on dit ke f 9abila lichti9a9 3ala R si et seulement si f'(x°) appartient a R et ke x° appartient a un majal dans lekel f m3erfaa ossi . malheuresement ce n'est po le cas ici pr "0".
jattend kelonk intervention de cette exxo et mercii

f est dérivable sur R-{0} donc il ne reste plus qu'à prouver qu'elle est dérivable au 0

lim(x-->0-) [(f(x)-f(0)/x] =lim(x-->0-) [x(x+1)/x]= lim(x-->0-) [x+1]= 1

Pour que f soit dérivable au 0 il faut que: lim(x-->0+)f(x)=lim(x-->0-)f(x) = 1

<==> lim(x-->0+) [(ax+b-1)/x] =1

Supposons par l'absurde que b#1

Donc: lim(x-->0+)f(x)= oo #1

Alors: b=1

D'où: lim(x-->0+)f(x)=lim(x-->0+) [ax/x]= lim(x-->0+) [a]=a

Conclusion: a=b=1

Voici la réponse pour le premier exo que j'ai proposé: https://mathsmaroc.jeun.fr/t4975-exo-d-analyse#40010

Merci ali

expert_run a écrit:

Continuons donc avec les exercices les plus intéressants.
Exercice 59:
Soit f une fonction continue sur R et périodique. Prouver que f est bornée sur R.

Svp pour cet exercice, je l'ai resolu avec une autre methode de laquelle je veux me rassurer.
J'ai fait le resonnement par absurde: Supposons que f n'est pas bornée sur R :
Alors
Ou bien
Pour le premier cas c'est impossible car f est continue sur R
Pour le deuxieme cas c'est impossible car toute fonction periodique n'admet pas de limites en l'infini. ( chose qu'on peut demontrer en utilisant les suites ou la definition des limites)
(je peux vous passer le lien si vous voulez).
Alors f est bornée sur R.
sauf erreur

expert_run a écrit:

Je vais vous choisir les exercices les plus intéressants .
La continuité sur un intervalle:
Exercice 30:

Spoiler:

expert_run a écrit:

Solution pour l'exercice 30:
2- La fonction f est continue sur chaque intervalle de son ensemble de définition.

Juste une petite faute a signaler: Vous avez oublier le cas ou 2x-1=0 ou x=1/2. c'est hors Df...
sauf erreur

Bonjour tout le monde,
Je voudrais juste signaler que la solution du problème 97 proposée par expert-run est fausse.

Oui t'as raison Mehdi je vais rectifier .

Solution au problème 93:
On note h(x)=f(x)+g(x) puisque h est croissante sur [0,1] donc on obitnet pr tt x de [0,1] : g(0)<=h(0)<=h(x)<=h(1)<=g(1) et ainsi par TVI pr tt x de [0,1] il existe un réel a de l'intervalle [0,1] t.q: h(x)=g(a), si ce réel a est tjrs différent de x quoique qu'on choisisse x de [0,1], alors il existe une bijection u qui renvoie chaque réel x de [0,1] à son image u(x) t.q : h(x)=g(u(x)) et alors puisque u prend toutes les valeurs dans [0,1] donc h est continue sur [0,1] et ainsi f l'est aussi et puisque f(0)f(1)<0 alors par TVI on déduit.
Sinon, si il existe un a qui coincide avec x alors on obtient h(a)=g(a) et ainsi f(a)=0.
On a fini donc avec ce cas aussi.
Et ainsi il existe un x_0 de [0,1] t.q: f(x_0)=0.

Mehdi.O a écrit:

Solution au problème 93:
On note h(x)=f(x)+g(x) puisque h est croissante sur [0,1] donc on obitnet pr tt x de [0,1] : g(0)<=h(0)<=h(x)<=h(1)<=g(1) et ainsi par TVI pr tt x de [0,1] il existe un réel a de l'intervalle [0,1] t.q: h(x)=g(a), si ce réel a est tjrs différent de x quoique qu'on choisisse x de [0,1], alors il existe une bijection u qui renvoie chaque réel x de [0,1] à son image u(x) t.q : h(x)=g(u(x)) et alors puisque u prend toutes les valeurs dans [0,1] donc h est continue sur [0,1] et ainsi f l'est aussi et puisque f(0)f(1)<0 alors par TVI on déduit.
Sinon, si il existe un a qui coincide avec x alors on obtient h(a)=g(a) et ainsi f(a)=0.
On a fini donc avec ce cas aussi.
Et ainsi il existe un x_0 de [0,1] t.q: f(x_0)=0.

Prq u prend toutes les valeurs dans [0;1]??

expert_run a écrit:

Mehdi.O a écrit:

Solution au problème 93:
On note h(x)=f(x)+g(x) puisque h est croissante sur [0,1] donc on obitnet pr tt x de [0,1] : g(0)<=h(0)<=h(x)<=h(1)<=g(1) et ainsi par TVI pr tt x de [0,1] il existe un réel a de l'intervalle [0,1] t.q: h(x)=g(a), si ce réel a est tjrs différent de x quoique qu'on choisisse x de [0,1], alors il existe une bijection u qui renvoie chaque réel x de [0,1] à son image u(x) t.q : h(x)=g(u(x)) et alors puisque u prend toutes les valeurs dans [0,1] donc h est continue sur [0,1] et ainsi f l'est aussi et puisque f(0)f(1)<0 alors par TVI on déduit.
Sinon, si il existe un a qui coincide avec x alors on obtient h(a)=g(a) et ainsi f(a)=0.
On a fini donc avec ce cas aussi.
Et ainsi il existe un x_0 de [0,1] t.q: f(x_0)=0.

Prq u prend toutes les valeurs dans [0;1]??

u est bijective et à fortiori surjective.

expert_run a écrit:

Solution pour 65:

on pose P(x;y) : f(x+y) = f(x) + f(y)

1) P(0;0) : f(0) = f(0) + f(0) ===> f(0)=0

2) P(x;-x) : f(0) = f(x) + f(-x) ==> f(-x) = -f(x) ===> f est impair


3) f(nx) = f(x + x + ... +x) = f(x) + f(x) + ....+ f(x) = nf(x)
Alors d'apres 3)
on a x=1 => pour tout n£ IN : f(n) = nf(1) = an (a=f(1) £ IR)
et puisque f est impair donc f(-n) = - f(n) = -an = a(-n)
donc pour tout k£ Z f(k) = ak

soit d'abord (p;q)£ZxIN* tel que r= p/q £ Q alors:

f(q r) = qf(r) = f(p) = p f(1) =ap (car p£IN)

alors qf(r) = ap => f(r) = a (p/q) = ar

alors pour tout x£Q on a f(x) = ax

d'abord en utilisant la densité de Q dans IR :

Si f est supposée continue.Soit x un réel et (x_n)_n une suite de rationnels qui converge vers x.
On a donc :
(x_n)£Q ==> f(x_n) = a x_n passons à la limite en prenant le fait où f est continue sur IR donc:

lim(n->+00)f(x_n) = f(lim(n->+00) x_n) = a lim(n-->+00) x_n
=> f(x) = ax pour tout x£IR et a=f(1) £ IR ...
Alors calculons a:
f(2009)=2009a=2009^2008 =>a=2009^2007
Donc pour tout x£IR f(x)=x.(2009^2007)

pouvez vous nous détailler plus sur cette densité de Q dans R.j'ai jamais entendu parler.
Merci d'avance.

Solution probable a l'exercice 96:
par absurde supposons qu'il existe un a de I tel que f(a)=g(a) et un b de I tel que f(b)=-g(b).
il existe un a de I tel que f(a)-g(a)=0 et f et g continue sur I alors il existe un c et d différents de I tel que f(c)-g(c)>0 et f(d)-g(d)<0 puisque f(c)=/=g(c) et f(d)=/=g(d) alors f(c)=-g(c) et f(d)=-g(d) ainsi il existe un c et d différents de I tel que f(c)>0 et f(d)<0 alors il existe un k appartenant a I tel que f(k)=0 (contradiction)
Alors ...
sauf erreur ..