| | Préparation TSM:: L-1/Limites et continuité:p/Exercices. |  |
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Mim
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| | Sujet: Re: Préparation TSM:: L-1/Limites et continuité:p/Exercices. Lun 01 Aoû 2011, 00:52 | |
| Rappel : Pour que f(x) soit continue en 1 il nous faut Lim1+ de f(x) = Lim1-de f(x) = F(x) .
Exercice 13:
Lim1+ de -2x²+3x+3 / x²+1 = 2
on doit donc trouver Lim1- = 2
On a 2x²+ax-a-2 = (x-1)(2x+a+2)
Soit la fonction g(x) = 3x²-2bx+1
pour pouvoir simplifier il nous faut g(1) = 0
donc b = 2
on obtient alors Lim1- [(x-1)(3x-1)]/[(x-1)(2x+a+2)] = 2
Lim 1- (3x-1)/(2x+a+2) = 2
2/(4+a) = 2
a=-3
enfin il nous faut f(1) = 2
(2+c)/3 = 2
c=4 | |
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expert_run
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| | Sujet: Re: Préparation TSM:: L-1/Limites et continuité:p/Exercices. Lun 01 Aoû 2011, 00:59 | |
| Solution exact Mim. Exercice14: Soit n un entier naturel non nul. On considère la fonction  définie par: =\frac{(3-x)^{n}-a}{x-2};x<&space;2\\&space;f_{n}(x)=\frac{3x+b}{4};x\geq&space;2&space;\end{matrix}\right.) tel que a et b sont deux réels. Déterminer a et b pour que la fonction soit continue en 2. | |
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expert_run
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| | Sujet: Re: Préparation TSM:: L-1/Limites et continuité:p/Exercices. Lun 01 Aoû 2011, 01:58 | |
| Solution exercice 14:Tout d'abord on pose: D(x)=x-2 et p(x)=(3-x)^(n)-a On a D(2)=0 donc p(2)=1-a=0 alors a=1Donc =\frac{(3-x)^{n}-1}{x-2}=\frac{(2-x)\sum_{p=0}^{n-1}(3-x)^{n-p-1}}{x-2};x<&space;2) Ce qui fait que =-n) Alors =f_{n}(2)=\frac{6+b}{4}=-n\Leftrightarrow&space;b=-4n-6) | |
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Mim
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| | Sujet: Re: Préparation TSM:: L-1/Limites et continuité:p/Exercices. Lun 01 Aoû 2011, 02:21 | |
| Solution approuvée , exercice 15 now  | |
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expert_run
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| | Sujet: Re: Préparation TSM:: L-1/Limites et continuité:p/Exercices. Lun 01 Aoû 2011, 02:24 | |
| Exercice 15: Soit f la fonction numérique définie par: =\frac{ax^{2}+bx-1}{x^{2}-1};x\geq&space;2\\&space;f(x)=3x+c&space;;x<&space;2\end{matrix}\right.) Déterminer les nombres a;b et c pour vérifier les conditions suivantes: i) =2) ii) f est continu en 2. iii) =\lim_{x\rightarrow&space;3}f(x)) | |
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Mim
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| | Sujet: Re: Préparation TSM:: L-1/Limites et continuité:p/Exercices. Lun 01 Aoû 2011, 02:51 | |
| on a f(x) = (ax² +bx-1)/(x²-1) quand x >= 2
donc lim f(x) quand x tend vers +oo = a
lim+oo f(x) = 2 donc a = 2 .
lim3 f(x) = (18 + 3x -1) / 8
Lim 0f(x) = c
de l'autre coté f doit etre continu en 2 donc :
f(2) =Lim2+f(x) = (8+2b-1)/3
Lim2- f(x) = 6 + c
on obtient donc le systeme :
18 + 3b - 1 = 8 c
8+2b-1 = 18 + 3c
Après la résolution on trouve : b = 139/7 et c = 67/7
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expert_run
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| | Sujet: Re: Préparation TSM:: L-1/Limites et continuité:p/Exercices. Lun 01 Aoû 2011, 02:58 | |
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expert_run
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| | Sujet: Re: Préparation TSM:: L-1/Limites et continuité:p/Exercices. Lun 01 Aoû 2011, 15:13 | |
| On passe maintenant au prolongement par continuité.
Exercice 16:- Spoiler:
Soit f la fonction numérique définie par: =\frac{\sqrt{8x+1}}{2(x-1)}+\frac{3\left&space;|&space;x&space;\right&space;|}{1-x^{2}}) 1- Déterminer l'ensemble de définition Df. 2- Est-ce-que la fonction f admet un prolongement par continuité en1?
Exercice 17:
- Spoiler:
Prouver que la fonction f admet un prolongement par continuité en  dans les cas suivants et donner la définition de ce prolongement. 1- =\frac{2x^{17}-17x+15}{x-1}) 2- =\frac{3tanx-2sinx}{x}) 3- =\frac{x^{n}-a^{n}}{x-a}) 4- ;x_{0}=1;f(x)=\frac{x^{p+1}-(p+1)x+p}{(x-1)^{2}}) 5- ;x_{0}=0;f(x)=\frac{\sqrt{a^{2}+x}-a}{tanx}) 6- =\frac{tanx-1}{\sqrt{2}cosx-1}) 7- =\frac{cosx+cos2x-2}{cos3x+sinx-1})
Exercice 18:
- Spoiler:
Soit f la fonction numérique définie par:  1-Calculer ) et ) 2-Peut-on prolonger la fonction f par continuité en 1?
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Mim
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| | Sujet: Re: Préparation TSM:: L-1/Limites et continuité:p/Exercices. Mar 02 Aoû 2011, 00:17 | |
| Exercice 16 :
1)- Df={x£ IR/ (x-1) =/= 0 et ( 1-x)(1+x) =/= 0 et 8x+1>= 0 }
donc Df=[-1/8;1[U]1;+oo[
2)-Lim f(x) quand x tend vers 1 :
[-V(8x+1) (1+x) + 6x] / [ 2(1-x)(1+x)]
= [ 36x² - (8x+1)(1+2x+x²)] / 2(1-x)(1+x)(V(8x+1) (1+x) +6x)]
= [ (-8x^3 + 19x²-10x-1) / 2(1-x)(1+x)(V(8x+1) (1+x) +6x)]
= [ ( 11x - 8x²+1) / -2(1+x)(V(8x+1) (1+x) + 6x)]
= -1/12
Donc f admet un prolongement par continuité sur x=1 tel que f(1) = -1/12
Dernière édition par Mim le Mar 02 Aoû 2011, 03:08, édité 2 fois | |
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Mim
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| | Sujet: Re: Préparation TSM:: L-1/Limites et continuité:p/Exercices. Mar 02 Aoû 2011, 00:40 | |
| Exercice 19 : Soit F la fonction définie par : &space;=&space;\frac{x^{}2&space;\sqrt{(x+2)}&space;-8}{4-x^{}2}) 1)- Déterminez l'ensemble de définition Df 2)- Calculez  de f(x) 3)- démontrez que f admet un prolongement par continuité en 2 et détérminez le . Exercice 20: Soit f la fonction définie par : =&space;\frac{\sqrt{3+\cos&space;x}-2}{x^{2}}) 1)- Démontrez que f admet un prolongement par continuité en 0 . 2)- Démontre que : &space;|f(x)|&space;<&space;\frac{1}{x^{2}}) | |
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Mim
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expert_run
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| | Sujet: Re: Préparation TSM:: L-1/Limites et continuité:p/Exercices. Mar 02 Aoû 2011, 02:01 | |
| Solution exercice 17:- Spoiler:
1-  Donc =17) Alors =\frac{2x^{17}-17x+15}{x-1};&space;x\neq&space;1\\&space;\bar{f}(1)=17&space;\end{matrix}\right.) 2- =\lim_{x\rightarrow&space;0}\frac{3tanx}{x}-\frac{2sinx}{x}=1) Donc =\frac{3tanx-2sinx}{x};x\neq&space;0\\&space;\tilde{f}(0)=1&space;\end{matrix}\right.) 3- =\frac{x^{n}-a^{n}}{x-a}=\frac{(x-a)\sum_{p=0}^{n-1}x^{n-p-1}a^{p}}{x-a}) Alors =n.a^{n-1}) Donc =\frac{x^{n}-a^{n}}{x-a};x\neq&space;a\\&space;\tilde{f}(a)=n.a^{n-1}&space;\end{matrix}\right.) 4-On utilisant la méthode de Ruffini-Horner On obtient que:  Donc  Alors: =\frac{x^{p+1}-(p+1)x+p}{(x-1)^{2}};x\neq&space;1\\&space;\tilde{f}(1)=\frac{p(p+1)}{2}&space;\end{matrix}\right.) 5-=\lim_{x\rightarrow&space;0}\frac{\sqrt{a^{2}+x}-a}{tanx}=\lim_{x\rightarrow&space;0}\frac{x}{tanx.(\sqrt{a^{2}+x}+a)}=\frac{1}{2a}) Alors =\frac{\sqrt{a^{2}+x}-a}{tanx};x\neq&space;0\\&space;\tilde{f}(0)=\frac{1}{2a}&space;\end{matrix}\right.) 6-On pose  Donc -1}{\sqrt{2}cos(h+\frac{\pi&space;}{4})-1}=\lim_{h\rightarrow&space;0}\frac{\frac{sinh+cosh}{cosh-sinh}-1}{cosh-sinh-1}=\lim_{h\rightarrow&space;0}\frac{2sinh}{(cosh-sinh)(cosh-sinh-1)}=\lim_{h\rightarrow&space;0}\frac{2sinh}{1-2coshsinh-cosh+sinh}=\lim_{h\rightarrow&space;0}\frac{\frac{2sinh}{h}}{\frac{(1-cosh)}{h^{2}}.h-\frac{sin2h}{h}+\frac{sinh}{h}}=-2) Alors: =\frac{tanx-1}{\sqrt{2}cosx-1};x\neq&space;\frac{\pi&space;}{4}\\&space;\tilde{f}(\frac{\pi&space;}{4})=-2&space;\end{matrix}\right.) 7-=\frac{cosx+cos2x-2}{cos3x+sinx-1}=\frac{cosx+2cos^{2}x-3}{cos2x.cosx-sin2x.sinx+sinx-1}=\frac{cosx+2cos^{2}x-3}{(2cos^{2}x-1)cosx-2sin^{2}xcosx-1}=\frac{cosx+2cos^{2}x-3}{2cos^{3}x-cosx-2cosx+2cos^{3}x+sinx-1}=\frac{(cosx-1)(2cosx+3)}{4(cosx-1)(cos^{2}x+cosx+1)+3(1-cosx)+sinx}=\frac{(cosx-1)(2cosx+3)}{(cosx-1)(4cos^{2}x+4cosx+1)+sinx}=\frac{(cosx&-1)(2cosx+3)}{(cosx-1)(2cosx+1)^{2}+sinx}) Donc: =\lim_{x\rightarrow&space;0}\frac{\frac{(cosx+1)}{x^{2}}(2cosx+3)}{\frac{(cosx-1)}{x^{2}}(2cosx+1)^{2}+\frac{sinx}{x^{2}}}=0) alors: =\frac{cosx+cos2x-2}{cos3x+sinx-1};x\neq&space;0\\&space;\tilde{f}(0)=0&space;\end{matrix}\right.)
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Mim
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| | Sujet: Re: Préparation TSM:: L-1/Limites et continuité:p/Exercices. Mar 02 Aoû 2011, 02:55 | |
| J'ai eu les memes réponses ( la 7ème reste a revérifier si vous voulez car je ne l'ai pas faite donc si vous avez un avis dites le ! )
passons aux suivants ! | |
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expert_run
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| | Sujet: Re: Préparation TSM:: L-1/Limites et continuité:p/Exercices. Mar 02 Aoû 2011, 03:15 | |
| - Mim a écrit:
- Exercice 16 :
1)- Df={x£ IR/ (x-1) =/= 0 et ( 1-x)(1+x) =/= 0 et 8x+1>= 0 }
donc Df=[-1/8;1[U]1;+oo[
2)-Lim f(x) quand x tend vers 1 :
[-V(8x+1) (1+x) + 6x] / [ 2(1-x)(1+x)]
= [ 36x² - (8x+1)(1+2x+x²)] / 2(1-x)(1+x)(V(8x+1) (1+x) +6x)]
= [ (-8x^3 + 19x²-10x-1) / 2(1-x)(1+x)(V(8x+1) (1+x) +6x)]
= [ ( 11x - 8x²+1) / -2(1+x)(V(8x+1) (1+x) + 6x)]
= -1/12
Donc f admet un prolongement par continuité sur x=1 tel que f(1) = -1/12 Solution valide. | |
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expert_run
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| | Sujet: Re: Préparation TSM:: L-1/Limites et continuité:p/Exercices. Mar 02 Aoû 2011, 03:18 | |
| - Mim a écrit:
- Exercice 19:
 C'est juste.( Il y a une petite faute de frappe dans la ligne 4 tu dois mettre x^2) | |
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manazerty
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| | Sujet: Re: Préparation TSM:: L-1/Limites et continuité:p/Exercices. Mar 02 Aoû 2011, 12:07 | |
| bonjour,
svp j voudrais savoir si tous les élèves dans toutes les régions sont sensés acheter le livre "almoufid" puisqu'on va passer un normalisé national, | |
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expert_run
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| | Sujet: Re: Préparation TSM:: L-1/Limites et continuité:p/Exercices. Mar 02 Aoû 2011, 12:29 | |
| Nn je crois qu'il y a deux livres; mais selon ce que je sais Lmoufid est le plus utilisé. | |
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manazerty
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| | Sujet: Re: Préparation TSM:: L-1/Limites et continuité:p/Exercices. Mar 02 Aoû 2011, 12:30 | |
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manazerty
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| | Sujet: Re: Préparation TSM:: L-1/Limites et continuité:p/Exercices. Mar 02 Aoû 2011, 12:36 | |
| j'ai une autre question à poser svp dans la solution de l'exercice 13,pourquoi mim a posé g(1)=0 pourquoi le 0 et non pas un autre nombre, et comment il a pu se baser sur cette possibilité ?!  | |
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expert_run
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| | Sujet: Re: Préparation TSM:: L-1/Limites et continuité:p/Exercices. Mar 02 Aoû 2011, 12:46 | |
| Je poste la solution de l'exercice 18 et 20. Solution pour l'exercice 18- Spoiler:
1- =\lim_{x\rightarrow&space;1^{+}}\frac{(x-1)^{2}}{\sqrt{x^{2}-1}}=\lim_{x\rightarrow&space;1^{+}}\frac{(x-1)\sqrt{x-1}}{\sqrt{x+1}}=0\newline\lim_{x\rightarrow&space;1^{-}}f(x)=\lim_{x\rightarrow&space;1^{-}}x^{2}-3x+2=0&space;\newline&space;Donc~f~admet~un~prolongement&space;~&space;par&space;~continuite~en~1)
Solution pour l'exercice 20- Spoiler:
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expert_run
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| | Sujet: Re: Préparation TSM:: L-1/Limites et continuité:p/Exercices. Mar 02 Aoû 2011, 12:49 | |
| - manazerty a écrit:
- j'ai une autre question à poser svp
dans la solution de l'exercice 13,pourquoi mim a posé g(1)=0 pourquoi le 0 et non pas un autre nombre, et comment il a pu se baser sur cette possibilité ?! Pour l'exercice 13 mim a posé g(1)=0 car si g(1) à d'autres valeurs on aura une limite infinie donc la fonction ne peut pas être continu. | |
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expert_run
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| | Sujet: Re: Préparation TSM:: L-1/Limites et continuité:p/Exercices. Mar 02 Aoû 2011, 13:06 | |
| Exercice21:- Spoiler:
Prouvez que la fonction f admet un prolongement par continuité en 5 et définissez le tel que: =\frac{1}{(5-x)^{2}}(1-sin(\frac{\pi&space;x}{10})))
Exercice22:- Spoiler:
Soit f une fonction numérique définie sur  par: =\frac{(1-tanx)^{2}}{cos2x}) Est-ce-que f admet un prolongement par continuité en  ?
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manazerty
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| | Sujet: Re: Préparation TSM:: L-1/Limites et continuité:p/Exercices. Mar 02 Aoû 2011, 13:44 | |
| exercice 21 lim5 (1-sin(pi*x/10))/(5-x²)=lim 5((1-cos(PI/2-pi*x/10)))/(5-X)² =lim5 ((1-cos(pi/10(5-x))/(5-X)² =lim5 pi²/100 *1/2 =pi²/200 donc, f admet un prolongement par continuité en 5 dsl,c la première fois que je poste une réponse je ne sais pas si c clir ou pas  | |
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expert_run
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| | Sujet: Re: Préparation TSM:: L-1/Limites et continuité:p/Exercices. Mar 02 Aoû 2011, 13:56 | |
| - manazerty a écrit:
- exercice 21
lim5 (1-sin(pi*x/10))/(5-x²)=lim 5((1-cos(PI/2-pi*x/10)))/(5-X)²
=lim5 ((1-cos(pi/10(5-x))/(5-X)²
=lim5 pi²/100 *1/2
=pi²/200
donc, f admet un prolongement par continuité en 5
dsl,c la première fois que je poste une réponse je ne sais pas si c clir ou pas C'est juste . | |
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manazerty
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| | Sujet: Re: Préparation TSM:: L-1/Limites et continuité:p/Exercices. Mar 02 Aoû 2011, 14:05 | |
| exos 22
lim pi/4 (1-tgx)²/cos(2x)=lim pi/4 (1-sinx/cosx)²/cos(2x)
= lim pi/4 (cosx-sinx)²/cos²x*cos2x
=lim pi/4 1/cos²x - sin2x/(cos2x*cos²x
=lim pi/4 1/cos²x -(tg 2x * 2x)/(2x*cos²x)
=2 -pi | |
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| | Sujet: Re: Préparation TSM:: L-1/Limites et continuité:p/Exercices. | |
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