#Grand Jeu d'été (2007 ) TSM EST COMENCE ==>

j'ai vu ta faute mais je nai pas voulu te dire ( car je sais que tu vas le decouvrir

poste ton exo !

selfrespect a écrit:

j'ai vu ta faute mais je nai pas voulu te dire ( car je sais que tu vas le decouvrir

poste ton exo !

ok

EXERCICE N° 31

a l'occasion de 15 juillet (été), l'entreprise AHM-ADM : vous offre un doublage ! , deux inégalités au lieu d'une !
pour gagner il suffit de resolur une seule ! (la generosité)


Inegalité 1: a,b,c >0 tel que a+b+c = 1

Montrer que : a^3+b^3+c^3 >= 1/4( (1-a)^3 +(1-b)^3 +(1-c)^3-4/9)


Inegalité 2: a,b,c >= 0 tel que abc = rac(a²b²+b²c²+c²a²)

montrer que :

(a²/c² + b²/a² + c²/b²) > (rac(3)/5rac(2)) * [(3a+4b)(3b+4c)(3c+4a)]^1/3


i]Lisez ce qui est en rouge avant de répondre

Les reponses doivent etre poster ici du le moment qu'on propose l'exo et le premier qui donne une solution juste avec une démonstration complète aura 2 points et proposera lui aussi un exo et ainsi de suite.
si personne n'as résolu l'exo durant 48 heures [/i]alors celui qui à proposer l'exo donnera la solution et proposera un autre

1) on remarque que (1-a)^3+(1-b)^3+(1-c)^3-4/9=3(a²+b²+c²)-(a^3+b^3+c^3)-4/9
alors inegality equivaut
5(a^3+b^3+c^3)-3(a²+b²+c²)+4/9>=0
<==> f(a)+f(b)+f(c)>=0
tel que f la fct defini par f(x)=5x^3-3x²+4/27
f est convexe selon jenson alores
f(a)+f(b)+f(c)>=3[f(a+b+c/3)=3f(1/3)=5/27-1/3+4/27=0
Rideau !

selfrespect a écrit:

1) on remarque que (1-a)^3+(1-b)^3+(1-c)^3-4/9=3(a²+b²+c²)-(a^3+b^3+c^3)-4/9
alors inegality equivaut
5(a^3+b^3+c^3)-3(a²+b²+c²)+4/9>=0
<==> f(a)+f(b)+f(c)>=0
tel que f la fct defini par f(x)=5x^3-3x²+4/27
f est convexe selon jenson alores
f(a)+f(b)+f(c)>=3[f(a+b+c/3)=3f(1/3)=5/27-1/3+4/27=0
Rideau !

f n'est pâs convexe , car f''( x) = 30x-6 donc pour que f soit convexe , tu dois avoir x >= 1/5

slt tt le monde
voici ma solution pour le 2/
commencons par une inego deja prouvee par Stof(page 21 du jeu)
(a²/c²+b²/a²+c²/b²)^2>(a^2+b^2+c^2)(1/a^2+1/b^2+1/c^2)
et on a d'apres la condition:1/a^2+1/b^2+1/c^2=1
donc (a²/c²+b²/a²+c²/b²)>rac(a^2+b^2+c^2)*
d'autre part on a d'apres AM-GM:
(7/3)rac(3)/5rac(2)(a+b+c)>rac(3)/5rac(2)[(3a+4b)(3b+4c)(3c+4a)]^1/3
(7/5rac6)(a+b+c)>(rac(3)/5rac(2)) [(3a+4b)(3b+4c)(3c+4a)]^1/3**
d'apres * et ** il nous reste a prouver que:
rac(a^2+b^2+c^2)>(7/5rac6)(a+b+c)
cad 150(a^2+b^2+c^2)>49(a+b+c)^2
mais on sait que:
3(a^2+b^2+c^2)>(a+b+c)^2
donc 150(a^2+b^2+c^2)>50(a+b+c)^2>49(a+b+c)^2
demonstration achevee

bien joué Wiles

a toi l'honneur

on pose : A = a²+b²+c² +a+b+c

donc il faut prouver que : A >= 2(ab+bc+ca)

selon IAG : A >= a²+b²+c² + 3(abc)1/3 <=> A >= a²+b²+c² +3

<=> A >= a²+b²+c² + 1 +2abc

donc il suffitde prouver que: a²+b²+c² + 1 +2abc >= 2(ab+bc+ca)

qui s'avère un ancien probleme !!!

on fais une subtition tel que :a =x^(3/2) et b = y^(3/2) et c = z^(3/2)

donc a²+b²+c² + 1 +2abc >= 2(ab+bc+ca)

<=> (*)
1+2(xyz)^(3/2)+x^3+y^3 + z^3 >= 2((xy)^(3/2 )+(yz)^3/2+(xz)^(3/2))

et selon
Shurr:
Sigma_cyc de x(x-y)(x-z)>=0
<=>3xyz+x^3+y^3+z^3 >= x²(y+z)+y²(z+x)+z²(x+y)
<=>3xyz+x^3+y^3+z^3 >= 2((xy)^(3/2 )+(yz)^3/2+(xz)^(3/2)) (**)

et selon (*) et(**) il suffit de montrer que 1+2(xyz)^(3/2) >= 3xyz ce qui est evident avec IAG

alors, A>=a²+b²+c² + 1 +2abc>=3xyz+x^3+y^3+z^3>=2(ab+bc+ca)

bien joue Conan
c'est a ton tour maintenant.

EXERCICE N° 33




Lisez ce qui est en rouge avant de répondre

Les reponses doivent etre poster ici du le moment qu'on propose l'exo et le premier qui donne une solution juste avec une démonstration complète aura 2 points et proposera lui aussi un exo et ainsi de suite.
si personne n'as résolu l'exo durant 48 heures alors celui qui à proposer l'exo donnera la solution et proposera un autre

EXERCICE N° 34
soit a,b,c the réels strictement positifs:
Monter que :

Lisez ce qui est en rouge avant de répondre

Les reponses doivent etre poster ici du le moment qu'on propose l'exo et le premier qui donne une solution juste avec une démonstration complète aura 2 points et proposera lui aussi un exo et ainsi de suite.
si personne n'as résolu l'exo durant 48 heures alors celui qui à proposer l'exo donnera la solution et proposera un autre

ma solution

on a deja démontrer que :

(a²+2)(b²+2)(c²+2) >= 9(ab+bc+ca) https://mathsmaroc.jeun.fr/Olympiades-c2/inegalites-f2/cadeau-2006-t232.htm?highlight=cadeau

il suffit donc de démontrer que :

(a^2 + b^2)(b^2 + c^2)(c^2 + a^2) / 8 >= (ab + bc + ca)^3 / 27

<=> 27(2a²b²c² + Sigma_sym(a^4b²c°)) >= 8(6a²b²c² + 1/2sigma_sym(a^3b^3c°)+3sigma_sym(a^3b²c))

<=> 6a²b²c² + 3Sigma_sym(a^4b²c°) >= 1/2sigma_sym(a^3b^3c°)

et on a : (4,2,0) > (3,3,0) d'ou le resultat avec Muirhead

noton S ce qui est a gauche !
on a :
(b+c)/(a²+bc) = 1/a ((ab+ac)/(a²+bc)) = 1/a (1- (a-b)(a-c)/a(a²+bc))
donc : (b+c)/(a²+bc) = 1/a - (a-b)(a-c)/a(a²+bc)
par symetrie on trouve que :
S=1/a+1/b+1/c-[ (a-b)(a-c)/a(a²+bc)+(b-c)(b-a)/b(b²+ac)+(c-a)(c-b)/c(c²+ab)]
donc si : (a-b)(a-c)/a(a²+bc)+(b-c)(b-a)/b(b²+ac)+(c-a)(c-b)/c(c²+ab) >= 0
<=> S =< 1/a + 1/b + 1/c
il suffit donc d'avoir A) 1/a + 1/b + 1/c =< (a+b+c)/(abc)^2/3
et B) (a-b)(a-c)/a(a²+bc)+(b-c)(b-a)/b(b²+ac)+(c-a)(c-b)/c(c²+ab) >= 0
on a : 1/a + 1/b + 1/c =< (a+b+c)/(abc)^2/3
<=> (ab + bc +ca) /abc =< (a+b+c)/(abc)^2/3
<=>a^4/3*(bc)^1/3 + c^4/3*(ab)^1/3 + b^4/3*(ac)^1/3 >= ab+bc+ca
<=> (4/3;1/3;1/3) > (1;1;0) ce qui est le cas avec Muirhead.
donc A) est vrai . Pour B) on suppose par symetrie que a=<b=<c
donc : (c-a)(c-b)/c(c²+ab) >= 0
et on a :
(a-b)(a-c)/a(a²+bc)+(b-c)(b-a)/b(b²+ac) = (b-a)²(a+b)[a(c-b)+cb]/[ab(a²+bc)(b²+ac)] >= 0
donc B est aussi vrai , d'ou le resultat ,
car S =< 1/a +1/b + 1/c =< (a+b+c)/(abc)^2/3

EXERCICE N° 35
Trouvez toutes les fonctions f de R vers R continues tels que pour tout x et y réel on ait :

f(x+y) + f(x-y) = 2[ f(x) + f(y)]
Lisez ce qui est en rouge avant de répondre

Les reponses doivent etre poster ici du le moment qu'on propose l'exo et le premier qui donne une solution juste avec une démonstration complète aura 2 points et proposera lui aussi un exo et ainsi de suite.
si personne n'as résolu l'exo durant 48 heures alors celui qui à proposer l'exo donnera la solution et proposera un autre

pour x=y=0 on a f(0)=0
pour x=-y on remarque que f est pair
pour x=y£R*
on a f(2x)=4f(x)
posons : g(x)=f(x)/x²
on a alors g(2x)=g(x)
d'ou g est constante sur les intervales R*+ et R*- ,il existe a et b dans R: g(x)=a , si x>0
g(x)=b , si x<0
alors
f(x)=ax² si x>0
f(x)=bx² si x<0
on subsitue on touve a=b
reciproquement f x-->ax² verifie le pb
dou la seule solution est f ^^ je crois

slt selfrespect
bon j'ai deux petites questions a te poser:
1/Comment vous avez fait pour deduire que g est constante du simple fait que g(x)=g(2x)
2/Desole;mais je ne voit pas ou avez-vous utilise la continuite
merci de bien m'eclercir ces deux points.

wiles a écrit:

slt selfrespect
bon j'ai deux petites questions a te poser:
1/Comment vous avez fait pour deduire que g est constante du simple fait que g(x)=g(2x)
2/Desole;mais je ne voit pas ou avez-vous utilise la continuite
merci de bien m'eclercir ces deux points.

dsolé ben jé utulusé 2) pour affirmer 1)
voila pour x fixé de R* on a
g(x)=g(2x)=...=f(x.2^n)
tendant n --->+00 on trouve que g(x)=lim g(X) (qd X-->+00) (X=x.2^n)
d'ou on deduit pour tt x de R* g(x)=L=lim g(x) (qd x-->+00)
dsolé encore

selfrespect a écrit:

wiles a écrit:

slt selfrespect
bon j'ai deux petites questions a te poser:
1/Comment vous avez fait pour deduire que g est constante du simple fait que g(x)=g(2x)
2/Desole;mais je ne voit pas ou avez-vous utilise la continuite
merci de bien m'eclercir ces deux points.

dsolé ben jé utulusé 2) pour affirmer 1)
voila pour x fixé de R* on a
g(x)=g(2x)=...=f(x.2^n)
tendant n --->+00 on trouve que g(x)=lim g(X) (qd X-->+00) (X=x.2^n)
d'ou on deduit pour tt x de R* g(x)=L=lim g(x) (qd x-->+00)
dsolé encore

car si n-->+00 et pas x

tu crois po que lim g(t) (qd t--->+00)=lim g(u) (qd u-->+00)=lim (nltl) (n-->+00)=lim....

selfrespect a écrit:

tu crois po que lim g(t) (qd t--->+00)=lim g(u) (qd u-->+00)=lim (nltl) (n-->+00)=lim....

tu as g(x) = g(2kx) mais ta pas g(x) = g(2kx+1)

Conan a écrit:

selfrespect a écrit:

tu crois po que lim g(t) (qd t--->+00)=lim g(u) (qd u-->+00)=lim (nltl) (n-->+00)=lim....

tu as g(x) = g({2^k}.x) mais ta pas g(x) = g(2kx+1)

en faite lessentiel c'est d'avoir qq chose qui peut tendre vers +00 ^^ je crois

mais c'est simple d'envisager une courbe de g tel que g(x) = g(2x)

mais qu'elle n'est pas constante .

par exemple :