Préparations aux olympiades de tronc commun (2010-2011)

tu es sur que x^8+x+1=(x^2+x+1)(x^4-x^5+x^3-x^2+1)

(x^2+x+1)(x^4-x^5+x^3-x^2+1) = -x^7+x^5+x^4+x+1

pour probleme 31

on pose A=l'aire de tringle ABC et AB=a et AC=c
ona 2A=aCF=bBE donc BE=CF car a=b
maintenant on suppose que BE=CF
on a 2A=aCF=bBE donc a=b

problème 32 :
soit a,b,c les cotés d'un triangle tel que a+b+c=1
montrer que a²+b²+c²+4abc<1/2

bonne chance

la réponse pour PB 32

https://mathsmaroc.jeun.fr/t15936p15-exercice-d-anciens-olymp

voilà un nouveau exo

Problème 33:
déterminer tous les entiers n tel que n²+8n-20 soit un carré parfait.

n²+8n-20 est un carré parfait n²+8n-20=p² ()
n²+8n-20=p²
n²+8n+16-16-20=p²
(n+4)²-36=p²
(n+4)²-p²=36
(n+4-p)(n+4+p)=36
déterminons les diviseurs de 36
on a
et puisque
alors:





et puisque les solutions acceptés sont
n=6 ou n=2
CQFD

ayoubmath a écrit:

tu es sur que x^8+x+1=(x^2+x+1)(x^4-x^5+x^3-x^2+1)

erreur de frappe, c'est x^8+x+1=(x^2+x+1)(x^6-x^5+x^3-x^2+1)

Problème 34 :
soient p et q deux entiers strictement positifs tel que : p/q = 1-1/2+1/3-.....-1/1318+1/1319.
montrer que p est un multiple de 1979.

Ma méthode pour problème 34:










d'où le résultat voulu.

Je vous propose ces deux exos:

Problème 35:
soient a et b deux réels strictement positifs.
M.Q:
puis chercher le cas d'égalité.

Problème 36:
Existe-t-il un polynôme P(x) dont les coefficients sont entiers et vérifiant P(1)=4 et P(4)=9 ?

ali-mes a écrit:

Ma méthode pour problème 34:

Je penses que tu as commis une faute de calcul, 3 au lieu de 1.
Et à la fin de la démonstration, qui te garantit que x est un entier?

NN il fallait écrire -2(1/2 +1/4 ..........
C ÉDITE maintenant
et pour x ====== j'ai pas fait attention

ali-mes a écrit:

Je vous propose ces deux exos:

Problème 35:
soient a et b deux réels strictement positifs.
M.Q:
puis chercher le cas d'égalité.

Problème 36:
Existe-t-il un polynôme P(x) dont les coefficients sont entiers et vérifiant P(1)=4 et P(4)=9 ?

Pour le probleme 35 :
on a a^2+1>=2a et b^2+1>=2b donc
(a^2+1)/b + (b^2+1)/a >= 2(a/b + b/a) >= 4

probleme 36 :
si les coefficients sont des entiers naturelle : on a deg(P)<2 car sinon P(4)>=16
on pose P(x)=nx+m
par P(4)=9 et P(1)=4 on aura un systeme à deux equations qui n'admet pas de solution dans IN !

Pour la solution de ali-mes ... félicitation ... c'est la bonne réponse

matheux-xman a écrit:

Pour la solution de ali-mes ... félicitation ... c'est la bonne réponse

mais il y a un problème : Qui nous garantit que x est un entier naturel ?

matheux-xman a écrit:

ali-mes a écrit:

Je vous propose ces deux exos:

Problème 35:
soient a et b deux réels strictement positifs.
M.Q:
puis chercher le cas d'égalité.

Problème 36:
Existe-t-il un polynôme P(x) dont les coefficients sont entiers et vérifiant P(1)=4 et P(4)=9 ?

Pour le probleme 35 :
on a a^2+1>=2a et b^2+1>=2b donc
(a^2+1)/b + (b^2+1)/a >= 2(a/b + b/a) >= 4

probleme 36 :
si les coefficients sont des entiers naturelle : on a deg(P)<2 car sinon P(4)>=16
on pose P(x)=nx+m
par P(4)=9 et P(1)=4 on aura un systeme à deux equations qui n'admet pas de solution dans IN !

faux

Plus d'indication SVP

est ce que les coefficients sont des entiers naturelles ????

ali-mes a écrit:

matheux-xman a écrit:

Pour la solution de ali-mes ... félicitation ... c'est la bonne réponse

mais il y a un problème : Qui nous garantit que x est un entier naturel ?

ah non, surement "x" n'est pas un entier naturel, c'est un nombre rationel de Q qui peux s'ecrire sous la forme p'/q', q' = 660*661*....*1319
1979p'q = pq' ... 1979^q' = 1 (car 1979 premier)
donc 1979 devise p!
j'ai dit que c'est juste car j'ai cru que vous avez pensé de la sorte

problème 37 :
Soit A la somme des chiffres du nombre et B la somme des chiffres de A, Trouver la somme des chiffres du B

matheux-xman a écrit:

Probleme 36 :
si les coefficients sont des entiers naturelle : on a deg(P)<2 car sinon P(4)>=16
on pose P(x)=nx+m
par P(4)=9 et P(1)=4 on aura un systeme à deux equations qui n'admet pas de solution dans IN !

Il n'est pas précisé que les coefficients sont des entiers naturelles (seulement des entiers). Ta solution n'est donc pas complète ... Dommage.
Il y'a un petit résultat à connaitre:
Si P est un polynôme à coefficients entiers alors (a-b)/(P(a)-P(b)).

Pour problème 37 je vais présenter un indice important et je posterai ma réponse ultérieurement.
Quand on fait la somme des chiffre d'un nombre, le reste de la division par 9 ne change pas.

Bon voilà la réponse pour le problème que matheux-xman a proposé. (Je l'ai trouvé en feuilletant les pages d'Internet) je crois que cet exo n'est pas convenable pour un niveau 2nde-TCS puisqu'il y a des modulos.
voilà le lien: http://math.univ-lyon1.fr/~germoni/irem/7/4445.html
Bah, en tous cas, voilà deux nouveaux exos pour ne pas retarder le jeu:

Problème 38:
soit a, b, c tel que abc=1
M.Q:


Problème 39:
Soit ABCD un quadrilatère convexe. Notons P le périmètre de ABCD.
M.Q:

pour problème 38 ____ aucune idée
et pour problème 39 ________ application directe de l'inégalité triangulaire