Préparations aux olympiades de tronc commun (2010-2011)

salam !

Puisque personne n'a posé une réponse pour problème 46 (moi aussi je l'ai pas résolu)
C a vous de nous enrichir avec la réponse .....


AMICALEMENT

Réponse pour le problème 54 :
on sait que pour tout entier non nul k : dévisible par , donc dévisible par
donc P(x) dévisible par Q(x)

maths-au-feminin a écrit:

Je vous propose ces 2 exos:

Problème 53:
P(x) est un polynôme tel que
calcule P(11) et P(1) et P(-1)

Problème 54:
considérons ces 2 polynômes P(x) et Q(x) tel que avec n£IN
démontre que Q(x) divise P(x)

Ma réponse pour problème 54:

Premier cas: n est pair
on a



avec
et

avec
donc

ce qui implique que (x-1)(x²-1) divise P(x)

Deuxième cas: n est impair


avec
et



avec
donc

ce qui implique que (x-1)(x²-1) divise P(x)

Conclusion:
dans tous les cas, (x-1)(x^2-1) divise P(x).

CQFD

Problème 55:
Déterminer tous les entiers naturel a et b pour lesquels le nombre est rationnel

Regarde ici la solution du deuxième exercice:
https://mathsmaroc.jeun.fr/t15631-l-olympiade-de-settat-deuxieme-etape?highlight=settat

C'est à quelqu'un d'autre de proposer un nouveau exo

AMICALEMENT

Salut
Pronlème 56 :
Montrez que:


Problème 57
Soit a et b deux réels tel que :


Montrez que :.



Bonne chance.

sqrt : racine

(sqrt a - sqrt b)^2>= 0 ( si a et b sont positis)
a - 2 sqrt ab + b >=0
Or, a+b = 2
2>= 2 sqrt ab
1>= sqrt ab
puisque une racine est positive alors
0=<sqrt ab=<1
donc 0=<ab=<1
(a+b)^2 = a^2+ 2ab + b^2 = 4
on pose : 0=<2ab=<2
donc a^2+b^2>2
on élève au carré
(a^2+b^2)^2>=4
a^4 + 2a^2.b^2 + b^4>= 4
or, 0<=2.a^2.b^2<=2
On en déduit que a^4+b^4>=2

Meded a écrit:

Pour le problème 57:

sqrt : racine

(sqrt a - sqrt b)^2>= 0
a - 2 sqrt ab + b >=0
Or, a+b = 2
2>= 2 sqrt ab
1>= sqrt ab
puisque une racine est positive alors
0=<sqrt ab=<1
donc 0=<ab=<1
(a+b)^2 = a^2+ 2ab + b^2 = 4
on pose : 0=<2ab=<2
donc a^2+b^2>2
on élève au carré
(a^2+b^2)^2>=4
a^4 + 2a^2.b^2 + b^4>= 4
or, 0<=2.a^2.b^2<=2
On en déduit que a^4+b^4>=2

Salut
C' est faux on ne peut pas dire que sauf si a et b sont positifsce n'est pas le cas essaye autrement
Bonne chance

En effet , je croyais qu'ils étaient positifs.

Solution Probleme 57 :

pour tout réel a et b.
On peut distinguer quatre cas possibles.

1) |a|<1 et |b|<1
-1<a<1 et -1<b<1
Soit -2<a+b<2
Or justement a+b=2
a ET b n'appartiennent donc pas à l'intervalle ]-1;1[

2) |a|>=1 et |b|<=1
soit : -|b|>=-1 et |a|>=1
En multipliant ces deux inégalités
-|ab|<= -1 (-|b| etant négatif)
|ab|>=1

3) |a|<=1 et |b|>=1
soit : 0>=-|a|>=-1 et |b|>=1
En multipliant ces deux inégalités
-|ab|<= -1
|ab|>=1

4) |a|>=1 et |b|>=1
Immédiatement on aura :
|ab|>=1

Comme a et b ont des rôles symetriques
Alors : Pour tout a de IR et b de IR/]-1;1[

|ab| >= 1
(rac(ab)²)>= 1 ( |x| = (rac(x)²)
(rac(ab)²)²>=1
(ab)²>=1 ( (rac(x))²= x pour x réel positif (carré toujours positif))

2(ab)²>=2 résultat (1)

On a : pour tout réel a et b :
(a²-b²)²>=0
a^4+b^4-2a²b²>=0

a^4+b^4>=2(ab)² résultat (2)


Des résultats (1) et (2) on déduit que : a^4+b^4>=2(ab)²>=2
Ainsi particulièrement :

a^4+b^4>=2 QED

En attendant vos remarques,

Nayssi a écrit:

Solution Probleme 57 :

pour tout réel a et b
Si -1<a<1 et -1<b<1 alors -2<a+b<2 et donc a+b#2
Or a+b = 2
Ainsi (a,b) n'appartiennent pas à l'intervalle ]-1;1[ soit |a|>=1 et |b|>=1
D'ou |ab| >= 1
(rac(ab)²)>= 1 ( |x| = (rac(x)²)
(rac(ab)²)²>=1
(ab)²>=1 ( (rac(x))²= x pour x réel positif (carré toujours positif))

2(ab)²>=2 résultat (1)

On a : pour tout réel a et b :
(a²-b²)²>=0
a^4+b^4-2a²b²>=0

a^4+b^4>=2(ab)² résultat (2)


Des résultats (1) et (2) on déduit que : a^4+b^4>=2(ab)²>=2
Ainsi particulièrement :

a^4+b^4>=2 QED

En attendant vos remarques,

Salut
Je pense que c'est juste, mais je crois que tu as oublié un cas : si a appertient a l'intervalle ]-1,1[ et b n' y appartient pas ?
Je ne suis pas sure, et ej veux bien savoir ce qu' en pense les autres
Bonne chance

Ah oui c'est vrai ,
Dans le cas : a appartient à l'intervalle ]-1;1[ , b non.
On a : |a|<=1 et |b|>=1
soit : 0>=-|a|>=-1 et |b|>=1
En multipliant ces deux inégalités
-|ab|<= -1
|ab|>=1
On revient à notre inégalité.

Nayssi a écrit:

Ah oui c'est vrai ,
Dans le cas : a appartient à l'intervalle ]-1;1[ , b non.

Tu auras un tone de cas, méme - selon la methode que t'as suivi - tu ne peut rien faire si a=<0 et b>=0... Il faut chercher donc une autre methode.

Solution 57:

Spoiler:

Salut
M.Marjani, en fait je pose des inégalités faisant intervenir |a| , |b| ET 1
Je vais traiter donc les 4 SEULS cas possibles:

1) |a|<1 et |b|<1
C'est le cas où a+b<2
a ET b n'appartiennent donc pas à l'intervalle ]-1;1[

2) |a|>=1 et |b|<=1
soit : -|b|>=-1 et |a|>=1
En multipliant ces deux inégalités
-|ab|<= -1 (-|b| etant négatif)
|ab|>=1
On revient à notre inégalité.

3) |a|<=1 et |b|>=1
soit : -|a|>=-1 et |b|>=1
En multipliant ces deux inégalités
-|ab|<= -1 (-|a| étant négatif)
|ab|>=1
On revient à notre inégalité.

4) |a|>=1 et |b|>=1
Immédiatement on aura :
|ab|>=1
On revient à notre inégalité.

Je pense que c'est juste. J'attends vos remarques
PS:J'ai édité ma démonstration ci-dessus

Nayssi a écrit:

Salut
M.Marjani, en fait je pose des inégalités faisant intervenir |a| , |b| ET 1
Je vais traiter donc les 4 SEULS cas possibles:

1) |a|<1 et |b|<1
C'est le cas où a+b<2
a ET b n'appartiennent donc pas à l'intervalle ]-1;1[

2) |a|>=1 et |b|<=1
soit : -|b|>=-1 et |a|>=1
En multipliant ces deux inégalités
-|ab|<= -1 (-|b| etant négatif)
|ab|>=1
On revient à notre inégalité.

3) |a|<=1 et |b|>=1
soit : -|a|>=-1 et |b|>=1
En multipliant ces deux inégalités
-|ab|<= -1 (-|a| étant négatif)
|ab|>=1
On revient à notre inégalité.

4) |a|>=1 et |b|>=1
Immédiatement on aura :
|ab|>=1
On revient à notre inégalité.

Je pense que c'est juste. J'attends vos remarques
PS:J'ai édité ma démonstration ci-dessus

Bien joué, belle méthode.
Il vous reste l'autre problème.
Bonne chance

Solution problème 56

Dans la somme : 1/101+1/102+1/103+...+1/199 , Il y a 99 son termes.
On sait que pour tout a et b de IR : Si a<=b alors 1/a>=1/b
Donc
1/200<=1/101
1/200<=1/102
1/200<=1/103
. .
. .
. .
. .
1/200<=1/199

1/200+1/200+1/200+...+1/200 <= 1/101+1/102+1/103+...+1/199
99 fois

99 x (1/200) + 1/200 <= 1/101+1/102+1/103+...+1/199+1/200
(1/200) (99+1) <= 1/101+1/102+1/103+...+1/199+1/200
100 x (1/200) <= 1/101+1/102+1/103+...+1/199+1/200

1/2 <= 1/101+1/102+1/103+...+1/199+1/200

Je pense que c'est juste me je n'en suis pas sûr
J'attends vos critiques

Nayssi a écrit:

Solution problème 56

Dans la somme : 1/101+1/102+1/103+...+1/199 , Il y a 99 son termes.
On sait que pour tout a et b de IR : Si a<=b alors 1/a>=1/b
Donc
1/200<=1/101
1/200<=1/102
1/200<=1/103
. .
. .
. .
. .
1/200<=1/199

1/200+1/200+1/200+...+1/200 <= 1/101+1/102+1/103+...+1/199
99 fois

99 x (1/200) + 1/200 <= 1/101+1/102+1/103+...+1/199+1/200
(1/200) (99+1) <= 1/101+1/102+1/103+...+1/199+1/200
100 x (1/200) <= 1/101+1/102+1/103+...+1/199+1/200

1/2 <= 1/101+1/102+1/103+...+1/199+1/200

Je pense que c'est juste me je n'en suis pas sûr
J'attends vos critiques

C'est juste, à toi de postr un problème.

OK

Probleme 58
a,b,c trois réels positifs. Montrer que :
(a²+b²)c+(b²+c²)a+(c²+a²)b>=6abc

Probleme 59
Montrer qu'entre deux réels se trouve un rationnel

Bon courage

Nayssi a écrit:

Probleme 58
a,b,c trois réels. Montrer que :
(a²+b²)c+(b²+c²)a+(c²+a²)b>=6abc

Probleme 59
Montrer qu'entre deux réels se trouve un rationnel

Bon courage

Rouge , la notion d'Archimédien
P.S:(et un irrationnel )

Salut

yumi a écrit:

ma réponse du problème58:
est ce que a,b,c ,sont des réels positifs??
si c le cas alors:
on a :(a²+b²)c>=2abc
(b²+c²)a>=2abc
(c²+a²)b>=2abc
en sommant les trois ,on trouve le résultat...
sinon s'ils ne sont que des réels ma réponse sera fausse je pense,donc j'essaierai autrement!

Effectivement, je me suis trompé....Les trois réels doivent être positifs. Ta démonstration est juste....bien joué!!!

Citation :

Rouge , la notion d'Archimédien
P.S:(et un irrationnel )

Je ne connais pas cette notion. Mais en tout cas on peut le faire autrement...(Niveau Tronc commun)

je me permet de vous poser le 60ème Problème :
Montrer que l'inégalité :

est valable pour tous réels vérifiant

Pour vous aider un peu, pensez à la méthode de démonstration de l'inégalité de CS