Préparations aux olympiades de tronc commun (2010-2011)

J'aime ta facon de parler mon ami

Azery 1995, merci beaucoup!!

EXO 84
a,b,c>=0 et abc=1
montrez que (a-1+1/b)(b-1+1/c)(c-1+1/a)=<1

Voilà mon exercice:

Soit x,y et z trois nombres appartenant à IR, montre que:

salam
x²+y²=>-2xy
x²+z²=>-2xz
z²+y²=>-2yz
2(x²+y²+z²)=>-2(xy+yz+xz)
x²+y²+z²+xy+yz+xz=>0
(x+y+z)²=>xy+yz+zx

Hmmmm! Non!
Au début c'est:
x²+y²=>2xy
x²+z²=>2xz
z²+y²=>2yz
2(x²+y²+z²)=>2(xy+yz+xz)
Alors:
x²+y²+z²=>xy+yz+zx

Et bravo!

konica
x²+y²+z² est différant de (x+y+z)²
amicalement

x² + y² >= -2xy c'est pas toujours juste . x = 2 et y = -2 => 4 >= 8 (!!!!!)

Az360
Amicalement je crois que a^2+b^2 >= -2ab est toujours juste
quand tu pren a=2 et b =-2
a^2+b^2= 8 et-2ab=8
donc on peu dire a^2+b^2 >= -2ab amicalement^^

Je crois que c'est toujours juste puisque pour tout x,y de IR :
(x+y)²>=0 soit x²+y²+2xy>=0 soit x²+y²>=-2xy
Dans ton contre-exemple, je pense que t'as fait une faute de calcul
pour x=2 et y=-2 x²+y²=2²+(-2)²=4+4=8 >= -2xy=(-2)*(-2)*2=8
AMICALEMENT,

Désolé, Mr amigo-6. J'avais pas vu ton message.

OUi Vous avez raison .

à Boubou maths!
Désolé, c'est une faute, je sais pas ce que je fais, désoléencore une fois!
Alors je vais commencer!
On doit montrer que (x+y+z)²=>xy+yz+zx
Je vais commencer!
(x+y+z)²=x²+y²+z²+2(xy+yz+zx)

D'où: (x+y+z)²=>xy+yz+zx
x²+y²+z²+2(xy+yz+zx)=>xy+yz+zx
x²+y²+z²+xy+yz+zx=>0
Alors si on veut montrer que (x+y+z)²=>xy+yz+zx, ça suffit de montrer que x²+y²+z²+xy+yz+zx=>0.
Ben, je vais commencer:
x²+y²=>-2xy
y²+z²=-2yz
z²+x²=-2zx

Alors: 2x²+2y²+2z²=>-2xy-2yz-2zx
2(x²+y²+z²)=>-2(xy+yz+zx)
x²+y²+z²=>-(xy+yz+zx)
x²+y²+z²+xy+yz+zx=>0
Et enfin:
(x+y+z)²=>xy+yz+zx
Salutations et désolé encore une fois!

Spoiler:

c'est qui est en rouge est faux ,sinon l'idée est bonne (c'est ce qu'a fait Mr abdelkrim-amine)

Je rappelle l'exo non résolu exo: EXO 84
je poste la réponse ver 18:00

jai solution 84 att stp jlecri

bon 84)
(a-1+1/b) (b-1+1/c) (c-1+1/a)= abc(1-bc+c)(1-ac+a)(1-ab+b)
=(1-bc+c)(1-ac+a)(1-ab+b)
on pren (1-bc+c)(1-ac+a)=x et (1-ac+a)(1-ab+b)=y et (1-bc+c)(1-ab+b)=z
x=(1-bc+c)(1-ac+a)
=2c+a-bc-ac^2
=2c+a-bc-c/b
=2c+a-c(b+1\b)
b+1/b>2 ( on peu le demontrer si vs ne savais pas jpeu vs la demontrer)
donc -c(b+1\b)<=-2c
x<a
DE la meme methode on demontre que y<b et z<c donc
xyz<abc donc (a-1+1/b)^2 (b-1+1/c)^2 (c-1+1/a)^2< 1
donc (a-1+1/b) (b-1+1/c) (c-1+1/a) <1

Trés bien Amigo-6
je poste une autre solution
posant a=x/y b=y/z c=z/x
l'inegalité devient (x/y-1+z/y)(y/z-1+x/z)(z/x-1+yx)=[(x+y-z)(x-y+z)(-x+y+z)]/xyz
maintenant il faut prouver que (x+y-z)(x-y+z)(-x+y+z)=<xyz
on pose x=a+b-c et y=a-b+c et z=-a+c+b ainsi on a x+y=2a et y+z=2c et z+x=2b
on a x+y>=2Vxy
et y+z>=2Vyz ainsi on a (x+y)(y+z)(z+x)>=8xyz
et x+z>=2Vxz
on remplace par a et b et c et on obtient abc>=(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)
d'ou (a-1+1/b) (b-1+1/c) (c-1+1/a)=<xyz/xyz=1 ( les a ,b ,c dans la demonstration de (x+y-z)(x-y+z)(-x+y+z)=<xyz sont differant des premier )AMICALEMENT

ui c'est juste mais je pense que ta un petit peu compliqué les choses^^ mai ca reste une bonne méthode .amicalement

ca m'a etais facile pcq je savais deja l'inegalité (x+y-z)(x-y+z)(-x+y+z)=<xyz

EXO 85
Prouver que si cos(x)+sin(x)<0 alors cos^1991(x)+sin^1991(x)<0

amigo-6 a écrit:

bon 84)
(a-1+1/b) (b-1+1/c) (c-1+1/a)= abc(1-bc+c)(1-ac+a)(1-ab+b)
=(1-bc+c)(1-ac+a)(1-ab+b)
on pren (1-bc+c)(1-ac+a)=x et (1-ac+a)(1-ab+b)=y et (1-bc+c)(1-ab+b)=z
x=(1-bc+c)(1-ac+a)
=2c+a-bc-ac^2
=2c+a-bc-c/b
=2c+a-c(b+1\b)
b+1/b>2 ( on peu le demontrer si vs ne savais pas jpeu vs la demontrer)
donc -c(b+1\b)<=-2c
x<a
DE la meme methode on demontre que y<b et z<c donc
xyz<abc donc (a-1+1/b)^2 (b-1+1/c)^2 (c-1+1/a)^2< 1
donc (a-1+1/b) (b-1+1/c) (c-1+1/a) <1

Cela est faux, vu que vous devez démontrez que les ombre x,y,z sont strictement positifs sinon vous ne pouvez pas multiplier les côtés. Sinon cela est facile à prouver par disjonction des cas sur a,b,c resptecivement.

P.S: Ce problème que tu as posté est un problème d'IMO, qui dépasse largement le niveau du tronc commun. Alors à quoi de poser des problèmes alors qu'on sait la solution qui figure à Animath, ou en d'autres sites ... et de se vanter, et ne me dites pas que c'est votre solution

j'ai pris cet exo d'une serie olympiade fait pr les TCéans et la solution que j'ai fait est la mienne
voila le lien http://arabmaths.kegtux.org/maths08/olymp/od.pdf exo 57
(pr la premiere remarque t'as raison )

EXO 84
On a : cos(x) + sin(x) < 0
Donc un des deux est nécessairement strictement négatif.
Raisonnons par disjonction des cas:

1) cos(x)< 0
cos(x) + sin(x) < 0
sin(x) < -cos(x)
-sin(x)/cos(x) < 1
Comme la fonction x -> x^1991 est croissante sur IR
Alors : -sin^1991(x)/cos^1991(x) <1
sin(x)^1991(x) < -cos^1991(x)
sin^1991(x)+cos^1991(x) < 0

2) sin(x) < 0
cos(x) + sin(x) < 0
cos(x) < -sin(x)
-cos(x)/sin(x) < 1
Comme la fonction x -> x^1991 est croissante sur IR
Alors : -cos^1991(x)/sin^1991(x) <1
cos(x)^1991(x) < -sin^1991(x)
sin^1991(x)+sin^1991(x) < 0
CQFD

on a pas encore etudier les fonction mais je pense que x-->x^1991 n'est po croissante sur [0,1]