Préparations aux olympiades de tronc commun (2010-2011)

Pourquoi n'est t'elle pas croissante?
1/4<1/2 alors (1/4)^1991<(1/2)^1991 ce qui est vrai et que tu peux demontrer par une simple T(x,y) qui est croissante sur IR+.
amicalement

si on pouvait oublier cet exo pcq j'ai po encore étudier les fonctions et il parait que la solution est basé sur cette leçon .

Voilà allez voir IMO 2000 exercice 2 : http://imo-official.org/year_country_r.aspx?year=2000

EXO 85
Un peu d’arithmétique :
Montrer que pour tout n de IN,
3n^4+5n+1 n'est pas divisible par n(n+1)

Nayssi a écrit:

EXO 85
Un peu d’arithmétique :
Montrer que pour tout n de IN,
3n^4+5n+1 n'est pas divisible par n(n+1)

Une étude de la parité de "n" peut directement donner comme résultat 3n^4+5n+1 est impair qui ne peut en aucun cas être divisible par n(n+1) qui est pair .

Voici un nouvel exercice:

Problème 86 :

Montrez que si a,b et c sont des réels positives alors qu'on aura :



BOn courage.

Ya rien à faire donc : a^2+b^2+c^2 >= ab+bc+ac résouds l'affaire .
à moi prouvez que pour abc = 1
sum ( 1+ab)/(1+a) >= 3

M.Marjani a écrit:

EXO 85
Problème 86 :

Montrez que si a,b et c sont des réels positives alors qu'on aura :



BOn courage.

Je reponds:

On a selon C.S :

Et on sait que (selon IAG)

Alors

Ce qui met fin a notre demonstration.
amicalement

M.Marjani a écrit:

Nayssi a écrit:

EXO 85
Un peu d’arithmétique :
Montrer que pour tout n de IN,
3n^4+5n+1 n'est pas divisible par n(n+1)

Une étude de la parité de "n" peut directement donner comme résultat 3n^4+5n+1 est impair qui ne peut en aucun cas être divisible par n(n+1) qui est pair .

Voici un nouvel exercice:

Problème 86 :

Montrez que si a,b et c sont des réels positives alors qu'on aura :



BOn courage.

Exactement Mr. Marjani...

Exo 86
On sait que pour tout x et y de IR+ :
x²+y²>=2xy (application directe de IAG mais aussi de la positivité d'un carré)
Donc:
a²/b²+b²/c²>=2(a/b)(b/c)=2a/c
b²/c²+c²/a²>=2b/a
c²/a²+a²/b²>=2c/b
En sommant :
2(a²/b²+b²/c²+c²/a²)>=2(a/c+b/a+c/b)
D'où la conclusion.

salam
voici ma réponce
on a

et

et

donc

et dernierement

Nayssi a écrit:

M.Marjani a écrit:

Nayssi a écrit:

EXO 85
Un peu d’arithmétique :
Montrer que pour tout n de IN,
3n^4+5n+1 n'est pas divisible par n(n+1)

Une étude de la parité de "n" peut directement donner comme résultat 3n^4+5n+1 est impair qui ne peut en aucun cas être divisible par n(n+1) qui est pair .

Voici un nouvel exercice:

Problème 86 :

Montrez que si a,b et c sont des réels positives alors qu'on aura :



BOn courage.

Exactement Mr. Marjani...

Exo 86
On sait que pour tout x et y de IR+ :
x²+y²>=2xy (application directe de IAG mais aussi de la positivité d'un carré)
Donc:
a²/b²+b²/c²>=2(a/b)(b/c)=2a/c
b²/c²+c²/a²>=2b/a
c²/a²+a²/b²>=2c/b
En sommant :
2(a²/b²+b²/c²+c²/a²)>=2(a/c+b/a+c/b)
D'où la conclusion.

désolé mr Nayssi j'ai pas vu votre message

M.Marjani a écrit:

EXO 85
Problème 86 :

Montrez que si a,b et c sont des réels positives alors qu'on aura :



BOn courage.

C'est necessairement qu'ils soient positives? Peut elles etre negatif, ou l'un deux negative et les autre positives?!
car je crois qu'on peut demontrer cet inegalite qu'elles que sient les valeurs de a et et c dans IR!
merci d'avance !

SOLUTION pr exo 85 (pas de fonction)
on pose cosx+sinx=cosa+sina tel que 0=<a<2pi et x=a+2k.pi
cosa +sina =0 si et seulement si a=3pi/4 ou a=7pi/4
apres le dessin d'un cercle trigonométrique cosa+sina<0 implique 3pi/4<a<7pi/4
on considere 3 cas
--->3pi/4<a=<pi sina>0 et cosa>0 et [cosa]>[sina] d'ou cos^1991(x)+sin^1991(x)<0 (1991 impair)
---->pi=<a<3pi/2 implique cosa et sina negatife d'ou cos^1991+sin^1991<0
----->3pi/2=<a<7pi/4 cosa >0 et sina<0 et [sina]>[cosa] d'ou cos^1991+sin^1991
d'ou la conclusion cosa+sina<0 implique cos^1991a+sin^1991a<0 et aussi vrais pr tous nombre x ([x] veut dire valeur absolue )
AMICALEMENT

pr l'exo de MR darkpseudo j'ai po compris sum ( 1+ab)/(1+a) >= 3
en attendant je poste EXO 86
prouver que pr tous a de IR et p de IN On a
(2p+1)a^p=<1+a+a²+......+a^p+.........+a^2p

Par IAG on a
RHS >= (2p+1) ( a^(1+2+.....+2p))^(1/(2p+1))
RHS >= (2p+1)a^p

Sum veut dire sigma cyclique autrement dit :
à moi prouvez que pour abc = 1
sum ( 1+ab)/(1+a) >= 3
Prouvez que : (1+ab)/(1+a)+(1+ac)/(1+c)+(1+bc)/(1+b) >= 3

l'inégalité est équivalente a [ab(c+1)]/a+1 +[ac(b+1)]/c+1+[bc(a+1)]/b+1
ac AM-GM
[ab(c+1)]/a+1 +[ac(b+1)]/c+1+[bc(a+1)]/b+1 >=3((abc)²)^1/3=3
ps: je pense qu'il faut ajouter que a,b,c sont dans IR+

EXO 86 un peut d'arithmetique
trouver tous les x dans IN tel que 17 divise x²-2x+2

salam
on résoudre les équations
x²-2x+2=17
et x²-2x+2=1
donc S={5,-3,1}

17 divise x²-2x+2 veut dire (x²-2x+2)/17 appartiens a IN et nom po 17/x²-2x+2 appartiens a IN
ps: 3 n'est po une solution

Solution du problème 86
17 divise x²-2x+2 donc x²-2x+2=17k (k de IN)
x²-2x+2 appartient à IN et x de IN
Calculons Delta
Delta=4-8=-4<0 donc ce terme ne peut pas être factorisé
Donc x²-2x+2 est un nombre premier
On sait qu'un nombre premier n'admet que deux diviseurs 1 et lui méme
Donc le seul cas k=1
D'ou:
x²-2x+2=17
<=>x²-2x-15=0
On trouve
X=5
J'attends vos confirmation

Azerty1995 a écrit:

Solution du problème 86
17 divise x²-2x+2 donc x²-2x+2=17k (k de IN)
x²-2x+2 appartient à IN et x de IN
Calculons Delta
Delta=4-8=-4<0 donc ce terme ne peut pas être factorisé
Donc x²-2x+2 est un nombre premier
On sait qu'un nombre premier n'admet que deux diviseurs 1 et lui méme
Donc le seul cas k=1
D'ou:
x²-2x+2=17
<=>x²-2x-15=0
On trouve
X=5
J'attends vos confirmation

Il suffit de prendre un x pair et x²-2x+2 est pair. Donc ton affirmation est fausse.
Je pense avoir trouver une solution. Je posterai demain!!

SOLUTION D'EXO 86 :
il est facile a remarquer que x=5 est une solution
posons x différant de 5 alors x²-2x+2>17
si x²-2x+2/17 appartiens a IN et x²-2x+2>17 alors x²-2x+2-17/17 appartiens aussi a IN
x²-2x-15/17 delta=4-4*-15=64 ---> (x-5)(x+3)/17 et comme 17 est premier alors 17 divise x-5 d'ou x=17k+5 (k appartiens a IN )ou bien 17 divise x+3 alors x=17p-3(p appartiens a IN*)
CONCLUSION S={17k+5,17p-3/k appartiens a IN et p appartiens a IN*}

et pourquoi 17 ne diviserait pas x+3

j'avais dis 17 divise x+3 ou 17 divise x-5

J'ai posé récemment l'exercice 86 et vous avez répondu facilement.

M.Marjani a écrit:

Problème 86 :

Montrez que si a,b et c sont des réels positives alors qu'on aura:



BOn courage.

Probléme 89:

Montrez moi maintenant que si a,b et c des réels tels que abc <= 1 alors qu'on aura a/b + b/c + c/a >= a+b+c .
Est-ce qu'on a a²/b² + b²/c² + c²/a² >= a+b+c ?

P.S : Il faut renuméroter les problèmes récemment proposés.