Préparations aux olympiades de tronc commun (2010-2011)

Solution au problème 22 :


CQFD.

Et je n'ai pas de problème à proposer.

Problème23:
calcule a/b en sachant que

Solution au problème 23 :
On pose :
De cette substitution, il vient que :
Et l'équation est alors équivalente à :
Par suite :
Mais alors : , donc .
C'est une équation du seconde degré qu'il suffit de résoudre.

une petite remarque : la question dit déterminer la valeur de a/b pas de a/b+b/a

Solution au problème 23:
Si on pose X=a/b+b/a on aura 2X²-3X-5=0
d'où X=-1 ou X=5/2
en posant x=a/b on aura x²+x+1=0(pas de solution réelle) ou x²-5x/2 +1=0
il s'en suit que a/b=x=2 ou a/b=x=1/2
Désolé mais je n'ai pas de problème à vous proposer.
EDIT: désolé Dijkschneier , je viens de voir ton message

Salut
Problème 24
Un peu de géometrie
Soit ABCD un trapèze tel que (AC) et (BD) sont perpendiculaires
Montrez que:
(AB+DC)²=AC²+BD²

Bonne chance

Posons on a
AC²+BD²=(AI+IC)²+(BI+ID)²
AC²+BD²=AI²+2.AI.IC+IC²+BI²+2.BI.ID.ID²
AC²+BD²=(AI²+BI²)+(IC²+ID²)+2.AI.IC+2.BI.ID
AC²+BD²=AB²+CD²+2.AI.IC+2.BI.ID

d'autre part on a (AB+CD)²=AB²+CD²+2.AB.CD
et on a (AB)ll(CD) donc d'après Thalès on a
.................et j'ai stoppé ici je crois que ça un rapport avec le produit scalaire [je crois]

il reste juste de démontrer que 2.AI.IC+2.BI.ID=2.AB.CD

LA GÉOMÉTRIE UN FLÉAU QUI MENACE LA VIE SUR TERRE

ali-mes a écrit:

il reste juste de démontrer que 2.AI.IC+2.BI.ID=2.AB.CD

LA GÉOMÉTRIE UN FLÉAU QUI MENACE LA VIE SUR TERRE

Oui pour ça je te donne un indice: utilise le sin et cos
Bonne chance

AUCUNE IDÉE. C'est a quelqu'un d'autre de poster sa réponse

ali-mes a écrit:

AUCUNE IDÉE. C'est a quelqu'un d'autre de poster sa réponse

On ne sait même pas les bases de ce trapèze.
A vous de régler d'abord ce problème.

C'est pas moi qui a posté ce problème = c'est Azerty1995

euh.. je pense qu'il fallait dire que les cotés parallèles du trapèze sont (AB) et (DC)

Posons O l'intersection de (AC) et (BD)

je vais procédais par équivalence:

(AB+DC)²=AC²+BD²
AB² + DC² + 2*AB.DC= (AO + OC)² + ( BO+OD)²
AB² + DC² + 2*AB.DC= (AO² + BO²) + (OC² + OD²) + 2*(AO.OC+BO.OD)

On fait pythagore dans AOB ET OCD et on remplace:

AB² + DC² + 2*AB.DC= AB² + DC²+ 2*(AO.OC+BO.OD)

AB.DC=AO.OC+BO.OD

Il est clair que:
produit scalaire(AB.DC)=AB.DC ( (AB) et (DC) parallèles)
produit scalaire(AO.OC)=AO.OC
produit scalaire(BO.OD)=BO.OD


euhh je n'ai aucune idée comment je peut écrire les vecteurs alors permettez moi d'écrire BO à la place de vecteur(BO) [Il n'y aura pas de mesures dans toute la partie restante, rien que des vecteurs jusqu'à la fin!)

Je continue la démo:

AB.DC=AO.OC+BO.OD
(AO+OB).(DO+OC)=AO.OC+BO.OD
AO.DO+AO.OC + OB.DO+OB.OC=AO.OC+OB.DO
AO.DO+OB.OC=0

(AO) et (DO) sont perpendiculaires, même chose pr (OB) et (OC)

AD.DO=0 et OB.OC=0

donc: AO.DO+OB.OC=0
càd: (AB+DC)²=AC²+BD²

ali-mes a écrit:

Posons on a
AC²+BD²=(AI+IC)²+(BI+ID)²
AC²+BD²=AI²+2.AI.IC+IC²+BI²+2.BI.ID.ID²
AC²+BD²=(AI²+BI²)+(IC²+ID²)+2.AI.IC+2.BI.ID
AC²+BD²=AB²+CD²+2.AI.IC+2.BI.ID

d'autre part on a (AB+CD)²=AB²+CD²+2.AB.CD
et on a (AB)ll(CD) donc d'après Thalès on a
.................et j'ai stoppé ici je crois que ça un rapport avec le produit scalaire [je crois]

et puis terminer avec la démo de Hamouda

voici ma solution

soit H=(AC)∩(BD)
on a (AH+HC)²+(BH+HD)²= AC²+BD²=AB²+CD²+2(AHHC+HBHD) d'apres Pythagore

car (AH+HC)²+(BH+HD)²=AH²+HC²+BH²+HD²+2(AHHC+HBHD)


d'apres thales AH=AB/CD HC et HB=AB/CD HD
donc AH.HC=AB/CD HC² et HD.HB=AB/CD HD² ------>AH.HC+HD.HB=AB.CD
donc AC²+BD²=AB²+CD²+2AB.CD=(AB+CD)²

bon je propose
probleme25
soit ABCD un trapèze tel que (AB)//(DC) et M le milieu [AC] et N le milieu [DB] avec DC>AB
1-montrer que (MN)//(DC)
2-montrer que MN=(DC-AB)/2

bonne chance

je veux dire DC>AB

ali-mes a écrit:

il reste juste de démontrer que 2.AI.IC+2.BI.ID=2.AB.CD

Salut,voici ma solution(j'ai oubié de dire que les bases sont (ab) et dc )
Il reste de montrer que 2 AB.DC=2AI.IC+2ID.IB ==> AB.DC=AI.IC+ID.IB
AB et DC son parallèles et AC les coupent donc ICD=IAB (angles)
ce sont des angles aigus donc ont peut dire que sinC=sinA d'ou sinA=ID/DC=IB/AB ===> sin²A=(ID.IB)/(AB.DC) alors ID.IB=sinA².AB.DC (1)

De la même manière on demontre que AI.IC=cosA²AB.DC (2)
De 1 et 2:
IA.IC + ID.IB= sin²A.AB.DC+cos²A AB.DC=AB.DC(cos²a+sin²a)=AB.DC.

ayoubmath a écrit:

bon je propose
probleme25
soit ABCD un trapèze tel que (AB)//(DC) et M le milieu [AC] et N le milieu [DB] avec DC>DB
1-montrer que (MN)//(DC)
2-montrer que MN=(DC-AB)/2

bonne chance

euhh... je pense que vous vouliez dire que DC>AB non pas DC>DB... je ne vois pas en quoi DC>DB pourrait nous être utile, mais si DC<AB il y aura un prob dans la dernière question


bon je répond au 1, pr le 2 j'attend la correction/confirmation

1- On pose J le milieu de [BC]

Dans le triangle ABC:

M et J sont les milieux de [AC] et de [BC] respectivement

donc: (MJ) // (AB) (Thalès l3aksiya)

càd: (MJ) // (DC) ( car (AB) // (DC) )

Dans le triangle DBC:

N et J sont les milieux de [BD] et de [BC] respectivement

Donc: (NJ) // (DC)

et puisque (MJ) // (DC)

(MN) // (DC)

ayoubmath a écrit:

bon je propose
probleme25
soit ABCD un trapèze tel que (AB)//(DC) et M le milieu [AC] et N le milieu [DB] avec DC>DB
1-montrer que (MN)//(DC)
2-montrer que MN=(DC-AB)/2

bonne chance

Solution du problème 25
2)D'apres la solution de Hammouda on a (MJ)// (DC) et (NJ)// (DC) d'ou (MJ)// (NJ) donc les points M.N.J sont allignés d'ou MN=MJ-NJ
Dans le triangle (BDC) ona M le milieu de BD et J le milieu de BC donc MJ=DC/2
Dans le triangle (ABC) on a J le milieu de BC et N le milieu de AC donc NJ=AB/2

On a : MN=MJ-NJ
MN=DC/2-AB/2
MN=(DC-AB)/2

Problème 26

Soit a,b,c des nombres strictement positif tel que
(2a+3)(2b+3)(2c+3)=288

Montrez que : abc=<6

Bonne chance

salut
pour le problème 26
on a 2a+3>=2sqrt(6a)
et 2b+3>=2sqrt(6b)
et 2c+3>=2sqrt(6c)
donc (2a+3)(2b+3)(2c+3)>=48sqrt(6abc)
288>=48sqrt(6abc)
6^2>=6abc
abc=<6

voici mon problème
problème 27:
factoriser A et B:
A=x^8+x+1
B=x^10+x^5+1

slt ... pour l'exo de abdelkrim-amine je ne l'ai po encore résolu (mais je vais espérons)
en tous cas voila un nouveau exo POUR NE PAS RETARDER NOTRE FABULEUX JEU (phrase typique n'est ce pas ?? )
problème 28:
trouve une polynôme f(x) tel que

SALAM
Moi aussi j'a pas trouvé la réponse pour le problème abdelkrim-amine
et pour l'exercice de maths-au-feminin il est simple {mini-EF }
voilà ma méthode:
on a f(x) est une polynôme et donc alors f(x) s'écrit sous la forme
d'où




donc

d'où

conclusion:

pose ton problème ali-mes