Préparations aux olympiades de Terminale (2012)

salut!
solution du problème 15
on a:
a+b+c =3 donc:
-a-b-c=-3
donc: ab-a+bc-b+ac-c=ab+bc+ca-3
et selon chebichev , si on pose a<b<c :
on aura : (a+b+c)*(b+c+a)/3<ab+bc+ca
donc:a+b+c<ab+ac+bc
donc:: a(b-1) +b(c-1)+c(a-1)>=0

et on a:
a^3 +b ^3+c ^3 -3abc=(a+b+c)*(a²+b²+c²-ab-bc-ac)
=3(4-abc-ab-bc-ac)
donc: a^3 +b ^3+c ^3=3(4-ab-ac-bc)
d'après chebichev encore une fois,on a:
(a+b+c)(a²+b²+c²)/3<a^3 +b ^3+c ^3
donc a²+b²+c²<a^3 +b ^3+c ^3
et on sait que d'après cauchy schawrz:a²+b²+c²>=3
donc a^3 +b ^3+c ^3>=3
donc: 4-ab-ac-bc>=1
donc: ab+bc+ca=<3=a+b+c
et donc :
a(b-1) +b(c-1)+c(a-1)=<0

donc::: a(b-1) +b(c-1)+c(a-1)=0
donc:: ab+bc+ca=a+b+c
et (a+b+c)²=4-abc+2*3=9
donc::abc=1
et a²+b²+c²=a+b+c
donc a=b=c=1

manazerty a écrit:

salut!
solution du problème 15

et selon chebichev , si on pose a<b<c :
on aura : (a+b+c)*(b+c+a)/3<ab+bc+ca
donc:a+b+c<ab+ac+bc
donc:: a(b-1) +b(c-1)+c(a-1)>=0

Je pense que l'application de chebychev est fausse car les suites ne sont pas croissante.

OMG!! je retire ce que je viens d'écrire!

Solution au problème 15:
Posons p=a+b+c=3, q=ab+ac+bc, r=abc.
Les coditions du problème sont équivalentes à : 5+r=2q et p=3.
Par Schur (t=1) nous avons 27+9r>=12q => r>=1.
D'autre part I.A.G donne : p^3=27>=27r => r<=1.
Ainsi on déduit que r=1 ce qui donne q=3 soit p²=3q => (a-b)²+(a-c)²+(b-c)²=0 => a=b=c et ainsi S={(1,1,1)}

Mehdi.O a écrit:

Solution au problème 15:
Posons p=a+b+c=3, q=ab+ac+bc, r=abc.
Les coditions du problème sont équivalentes à : 5+r=2q et p=3.
Par Schur (t=1) nous avons 27+9r>=12q => r>=1.
D'autre part I.A.G donne : p^3=27>=27r => r<=1.
Ainsi on déduit que r=1 ce qui donne q=3 soit p²=3q => (a-b)²+(a-c)²+(b-c)²=0 => a=b=c et ainsi S={(1,1,1)}

pourquoi??

et si mehdi.o le permet ,je vais poster un nouveau problème:
problème 16:
Trouver tous les entiers x tels que le produit des chiffres de l'écriture décimale de x est égal à x2-10x-22

manazerty a écrit:

Mehdi.O a écrit:

Solution au problème 15:
Posons p=a+b+c=3, q=ab+ac+bc, r=abc.
Les coditions du problème sont équivalentes à : 5+r=2q et p=3.
Par Schur (t=1) nous avons 27+9r>=12q => r>=1.
D'autre part I.A.G donne : p^3=27>=27r => r<=1.
Ainsi on déduit que r=1 ce qui donne q=3 soit p²=3q => (a-b)²+(a-c)²+(b-c)²=0 => a=b=c et ainsi S={(1,1,1)}

pourquoi??

Dans: 27+9r >= 12q
On remplace: q par (5+r)/2 ce qui donne: 27+9r>=6(5+r) ==>3r>=3r ==> r>=1

ok,je vois,j'ai pas fait attention à la condition: 5+r=2q
merci

Solution pour le problème 16:

On suppose que x à m>1 chiffres dans son écriture décimale; et A est le premier chiffre de son écriture décimale .
On note P(x) le produit des chiffres de l'écriture décimale de x tq P(x)=x^2 -10x-22 .
Donc P(x)=<A.(9^(m-1))< A (10^(m-1))=<x
On P(x)-x>0 ==> x^2 -11x-22 >0 ==> x>=13
et P(x)<0==> x=<11
Donc la seule solution possible est 12.

Pour m=1
On a p(x)=x qui n'a pas une solution entière.
Donc la seule solution est x=12

Problème 17:
Déterminer tout les nombres premiers positifs p tq 8p^4 - 3003 est un nombre premier positif.

@expert-run : Pourquoi P(x)<=A.9^{m-1} ??

bien expert run,à toi maintenant de poster un nouveau problème.

Mehdi.O a écrit:

@expert-run : Pourquoi P(x)<=A.9^{m-1} ??

Puique p(x) est le produit des chiffres de l'écriture décimale de x donc
P(x)<=A.9^{m-1}

Mehdi.O a écrit:

@expert-run : Pourquoi P(x)<=A.9^{m-1} ??

on a m chiffre dans x et si le premier chiffre est A donc il reste m-1 chiffre et ces chiffre au maximum sont égaut à 9 donc le produit devient: a*9*9*9....=a*9^m-1

Merci manazerty.
@ expert-run : Ton problème est trivial, il vaudrait mieux que tu le changes.
Il suffit d'appliquer AlKashi pour trouver l'équation :^2n^3-n²-25n-12 =0, qui a une seule solution entière naturelle ( n=4)

Mehdi.O a écrit:

Merci manazerty.
@ expert-run : Ton problème est trivial, il vaudrait mieux que tu le changes.
Il suffit d'appliquer AlKashi pour trouver l'équation :^2n^3-n²-25n-12 =0, qui a une seule solution entière naturelle ( n=4)

Ok je vais éditer .

expert_run a écrit:

Solution pour le problème 16:

On suppose que x à m>1 chiffres dans son écriture décimale; et A est le premier chiffre de son écriture décimale .
On note P(x) le produit des chiffres de l'écriture décimale de x tq P(x)=x^2 -10x-22 .
Donc P(x)=<A.(9^(m-1))< A (10^(m-1))=<x
On P(x)-x>0 ==> x^2 -11x-22 >0 ==> x>=13
et P(x)<0==> x=<11
Donc la seule solution possible est 12.

Pour m=1
On a p(x)=x qui n'a pas une solution entière.
Donc la seule solution est x=12

Problème 17:
Déterminer tout les nombres premiers positifs p tq 8p^4 - 3003 est un nombre premier positif.

dans la solution ,s'agirait-il d'une infinité de nombre ou de nombres à valeur précise?

..

euuuuh...non, ce n'est point suffisant il y a bien d'autres choses: p=/=5k+1 et =/=5k+4 ....
je laisse tomber ...

manazerty a écrit:

expert_run a écrit:

Solution pour le problème 16:

Déterminer tout les nombres premiers positifs p tq 8p^4 - 3003 est un nombre premier positif.

dans la solution ,s'agirait-il d'une infinité de nombre ou de nombres à valeur précise?

je croix qu'il s'agit de nombre a valeur précise .

Problème 18 :
Montrer que si n un entière positive fini par le chiffre 5 donc 2009 divise 20^n+15^n+8^n+6^n .

az360 a écrit:

Solution Au Problème 17 :

Spoiler:

Fermat s'applique sous la condition: p se différe de a dans la formule a^{p-1}-1=0[p] .

M.Marjani a écrit:

az360 a écrit:

Solution Au Problème 17 :

Spoiler:

Fermat s'applique sous la condition: p se différe de a dans la formule a^{p-1}-1=0[p] .

Ce n'est pas Fermat mais juste de simples congruences modulo 5. Tu peux vérifier cela facilement en classe d'équivalence modulo 5 dans Z/5Z ( en excluant bien sûr 0 modulo 5 vu que p est premier )

Solution au problème 18:
Remarquer d'abord que 2009=49.41 et puisque pgcd(49,41)=1 alors il suffit de prouver que 49|A=20^{n}+15^{n}+8^{n}6^{n} et 41|A.
- Travaillons modulo 41 :
Tout d'abord la condition que n est un entier qui finit par le chiffre 5, veut dire que n est multiple de 5 mais pas de 10, soit il s'écrit sous la forme : n=5k=5(2k'+1)=10k'+5.
Nous avons : 20^{n}=20^{5k}=(20^{5})^{k} =(32)^{k}(mod 41)
De même on trouve 15^{n}=(14)^{k}(mod 41) et 8^{n}=(9)^{k} (mod 41) et 6^{n}=(27)^{k}(mod 41).
Ainsi A = ((32)^{k}+(9)^{k})+((14)^{k}+(27)^{k})=0(mod 41) ( puisque 32+9=41 et 14+27=41 et puisque k est impaire donc on obtient la facotrisation a^{k}+b^{k}=(a+b)(...))
Ainsi 41|A
Et on procédant de la même façon on trouve que 49|A
Ainsi 2009=49.41|A

Mehdi.O a écrit:

M.Marjani a écrit:

az360 a écrit:

Solution Au Problème 17 :

Spoiler:

Fermat s'applique sous la condition: p se différe de a dans la formule a^{p-1}-1=0[p] .

Ce n'est pas Fermat mais juste de simples congruences modulo 5. Tu peux vérifier cela facilement en classe d'équivalence modulo 5 dans Z/5Z ( en excluant bien sûr 0 modulo 5 vu que p est premier )

.