Préparations aux olympiades de tronc commun (2011-2012 )

Solution Pb 44
On a d'après IAG puis la formule du binôme de Newton :

Or :

Ainsi :

La conclusion s'en suit.

salut
je pense que la question est :
xi des réels positives. .Prouver que pour tous les entiers n>1:

Nayssi a écrit:

Solution Pb 44
On a d'après IAG puis de la formule du binôme de Newton :

Or :

Ainsi :

La conclusion s'en suit.

Désolé je n'ai pas vu votre msg

Pas de probleme

Pb 45
Trouver tous les nombres premiers p, q,r tels que 15p + 7pq + qr = pqr

Pb 46
Soit I le centre du cercle inscrit d’un triangle ABC. Les droites (AI),(BI),(CI) coupent le cercle
circonscrit de ABC en respectivement D, E, F
Montrer que (AD) et (EF) sont perpendiculaires.

Solution au problème 45 :

Soit p,q et r trois nombres premiers strictement positifs vérifiant 15p+7pq+qr=pqr, nous avons : p(15+7q)=qr(p-1), ainsi puisque pgcd (p,p-1)=1 on obtient par Gauss que p|qr et p-1|15+7q, la premier congruence nous donne soit p|q ou p|r soit p=q ou bien p=r , ainsi :
-> Si p=q : donc nous obtenons p-1|15+7p et ainsi p-1|(15+7p)-(7p-7)=22 ainsi on obtient p € {2,3,23} en rappportant à l'équation on ne trouve aucune valeur de r correspondante.
-> Si p=r : on obtient q=(p²-p-15)/7 mais cela constitue une contradiction vu que (p²-p-1) n'est jamais congru à 0 modulo 7.
Ainsi pas de solutions.

Solution au problème 46 :
Il est bien connu que AE=EC=EI, ainsi on note X l'intersection de AD et EF, nous avons angle{XAE}+angle{XEA}=angle{IAE}+angle{FEA}=(180-angle{AEB})/2+angle{FCA}=90- 1/2angle{ACB}+1/2angle{ACB}=90. Et ainsi AD et EF sont perpendiculaires.

Pour le 46, je pense que ta solution est bonne (mais j'ai trouvé une autre).
Sinon pour le 45 : essaye (2;2;29) et il y'en a d'autres !
Et si t'as des problèmes à poser, n'hesite pas

Nayssi a écrit:

Pour le 46, je pense que ta solution est bonne (mais j'ai trouvé une autre).
Sinon pour le 45 : essaye (2;2;29) et il y'en a d'autres !
Et si t'as des problèmes à poser, n'hesite pas

Oui en effet j'ai fait une faute de calcul en rapportant les valeurs de p, mais en gros c'est ça l'idée tout ce qui reste c'est juste des calculs.

P#47:
On considère un échiquier, dont on découpe la case en haut à gauche et la case en
bas à droite. Peut-on paver les 62 cases restantes avec des dominos ?

Voici ma réponse pour problème 46, sans l'utilisation du fait que D est le centre du cercle circonscrit au triangle BIC (même chose pour E et F, bien entendu):

Soit: X=(DA)⋂(EF), on a: <XED+<XDE=<FED+<ADE=<FAD+<ABE=<FAB+<BAD+<B/2=<FCB+<A/2+<B/2=<C/2+<A/2+<B/2=90. d'où le résultat voulut.

salut a tous
P#48 :
Résoudre dans (IN*)² :

Dans IR ??

nn dsl
c'est (x,y)£(IN*)²

S#48:
Il est bien clair que si x=y l’équation n'a aucune solution
1)x<y donc x!|(x!+1)==>x!=1d'où x=1 en remplaçant dans l'équation impossible
2)y<x donc (x!+1)|x! ==>x!=0 impossible!
Conclusion:aucune solution

diablo902 a écrit:

P#47:
On considère un échiquier, dont on découpe la case en haut à gauche et la case en
bas à droite. Peut-on paver les 62 cases restantes avec des dominos ?

[quote="diablo902"]Réponse :2 Je vais ajouter 2 autre exo :
Exercice 5 :



a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-4ab-4ac-4bc=a^2+b^2-c^2-2ab-2ac=(a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2-a^2-b^2-c^2
(a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2-a^2-b^2-c^2=<0
a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-4ab-4ac-4bc=<0
(a+b+c)^2=<4(ab+bc+ab)

J'ajoute un autre!
P#49:
Combien existe-t-il de couples (x, y) d’entiers relatifs tels que : |x| + |y| =< 1000 ?

Solution de l'Exo 49
" />

Amicalement,

solution probléme 47
vu que les 2 cases sont de meme couleur (coins opposés par rapport au centre), il reste (sans perte de généralitée) 32blanches et 30noires, sacahnat que chaque domino sera posé sur exactement une noir et une blanche, il restera 2 cases vides

problem 50
combien ya til de termes distincs dans [1+(x^7)+(x^13)]^100?

probleme 51:

resoudre en R
x=12-sqrt(12-sqrt(x))